iomeldar (1021896), страница 93
Текст из файла (страница 93)
!ла ~ с.'а еыг ~ =8,92 а!о (м! -)-116'35') а. Цса ыг й 16.4. Определение свободных составляющих Свободные составляющие должны быть найдены из однород- ных дифференциальных уравнений ~~',1„=0; ~~', ( г(„+ Š— "+с! 1 („Ж~~=О, выражающих законы Кпрхгофа для свободных токов. Их решение находят, как известно, в виде показательной (экспоненциальной) функции времени т„=- А ага позволяющей алгебраизировать дифференциальные уравнения.
Действительно, учитывая, что а!ааа ! (', лета а „ ! — =РАел =р(„и 1 !а,И= — = —, можно уравнения по второму закону Кирхгофа привести к виду ~~,'(г„+Риал+'« ~=т (г+Р~+ф) „=О, означающему, что алгебраическая сумма свободных напряжений в любом замкнутом контуре равна нулю. Значения показателя р в выражении 1„, удовлетворяющие этому требованию, опреде- ляются как корни характеристического уравнения, а значения постоянных А — из начальных условий. й 16.6. Составление характеристического уравнения Свободное напряжение на ветви, содержащей г, й и С и„= (г+ РЕ+ — ) 1„~, равно свободному току !'„, Умножен! ному на оператор сопротивления а(Р)=г+Ре.+ с ° 1 532 отличающийся от комплексного сопротивления этой же ветви.
2 (гго) = г+гго1. + —. 1 )твС тем, что )ы заменено через р. Очевидно, что и входные сопротивления Л,„Цго) и Я,„(р) могут быть получены одно из другого с помощью такой же замены. Но произведение тока какой- нибудь й-й ветви на соответствующее входное сопротивление равно внешней э. д.
с., включенной в эту ветвь. Для свободного процесса внешние электродвижущие силь1 равны нулю, поэтому га„Яа„„(р)=0 или Яь,„(р)=0. Это и есть искомое характеристическое уравнение для тока й-й ветви. Несмотря на то, что входные сопротивления различны для разных ветвей данной цепи, характеристическое уравнение получается обычно одним и тем же, если нет короткозамкнутых ветвей; объясняется это тем, что входные сопротивления разветвленных цепей представляют собой дроби, различающиеся /' Я— только знаменателями, числители же у них одинаковы: каждый числитель равен определителю системы (алгебраизированных уравнений, что пока- рал, !6.2 вано в методе контурных токов): поэтому равенство нулю любого входного сопротивления эквивалентно равенству нулю определителя системы, Иногда проще исходить из представления о внешнем источнике тока; тогда характеристическое уравнение принимает внд У,„(р) = О, где У,„(р) †входн проводимость относительно любой пары узлов, Пример И.й.
Составить характеристическое уравнение и вычислить его корни для цепи, данной в примере 16.1. р е ш е н и е. Оператор входного сопротивления можно найти нз схемы приведенной иа рнс. 16.2. Например, для первой ветви 1 РС рагЬС+РС+г К «(Р)=р(+ —,= + 1 ргС+1 РС Для второй ветви ! т ( ) 1 РС Р гьС+Рй+г рг. +— РС Для третьей ветви Р( р'гас+ рх. + ~ах (Р)= С +-+ — у= 533 Таким образом, равенство нулю л~абого лаз(р) приводит к характеристическому уравнению р'гСС+ рС+ г = О, Тот же результат можно получить, если приравнять нулю определитель системы или входную проводимость относительно узлов 1 1 У,„(Р)= — + — +рС.=-О.
рд Получается характеристическое уравнение второй степени. Его решение дает два корня: Р,=( — 314+1314) 1/сек; Р,=( — 3!4 — 13!4] 1)сек. Этим двум корням соответствуют два частных решения для каждой составляющей. Таким образом, общее решение принимает вид: з,=-з,вр+з,св-— -гзвр+Лзе '+ 4зе"*!. 1з=(звр+(зев=(з яр+ пзе ' + з" з ! 1з — ззвр+зззв=ззвр+Се ' +С~ел*' ис = ис ар+ ис за = ис ззр+ Дзе ' + Взел (если р р р то решеззне ~меер анд 1 1 + 4ерг+ атер!). Для полного решения задачи осталось определить постоянные. Следует заметить, что часто бывает проще найти постоянные только для одной из искомых величин, а остальные величины выразить через нее с помощью законов Кирхгофа.
Так, например, для схемы, изображенной на рис. 16.1, пелесаобразна определить ис! тогда з',=С вЂ”, за= —, лис ис сн ' ' г зз Зз зз й !6.6. Начальные условия; определение начальных значений токов и их производных Если характеристическое уравнение имеет и-ю степень, то общее решение для каждого тока (или напряжения) содержит и постоянных (по числу корней). Постоянные определяются из начальных условий, согласно которым найденное решение для искомой величины и л — 1 производная от этого решения при (=О должны быть приравнены начальным значениям этой же величины и се п — ! производной, вычисленным в соответствии с законом коммутации и выраженным через исходные начальные значения ( (О) и и.(0).
Нетрудно убедиться в том, что, подставив значения !', (О) и и (О) в уравнения, составленные по законам Кирхгофп, можно определить начальные значения остальных токов и первых производных от !': число неизвестных и теперь равно числу всех 534 токов ~ сколько известных ! (О), столько же неизвестных ( ~1 си~ Ь вЂ” ) 1 и, следовательно, равно числу уравнений.
Если же и! г'г в1 продифференцировать все уравнения один' раз и подставить в них только что найденные значения (Š— у! , то окажется й(гг= возможным вычислить начальные значения первых производных остальных токов и вторых производных от ! и т. д. Пример 16.3. Вычислить начальные значения напряжения на конденсаторе, всех токов и их первых производных для цепи, данной в примере 16.1, для двух случаев: 1) и(!)=1000 в; 2) и(!).=2000з(п(314!+90'), Решение. Первый случай.
Из режима до коммутации следует: ЕГ 1000 !Е(0-)=!г(0 )= — = — =!оа; г !00 ис(0' )=0 Подстановка этих значений в уравнения Кирхгофа й=!в+'в Š—. + г(, = (!) Й, ж,— иС=О (16.4) дает 10 = 1, (0) -(- й (О); ( "') е М + 1001, (о) =1000! и! /Г=в 100(,(о) =О, откуда 1,(0) =О; г, (0) .=10и; (Š— ') =1Ооов; (!)1, так как 1, (0) = С ( — ~ то ( — у! = — в(свк.
г'г(ис ! Екпс д И! Если проднффереицировать уравнения (!6.4); й!г Й, г((в — = — *+ — ' си лт с(1 Е,— +г — '=— ив(, с(!з г(и (!) 1 'с(!в й! й! в!и А~С г — — — =0 Й! й( (16.5] (конденсатор не был предварительно заряжен). Таким образом, согласно вакону коммутации, !г (0) =(, (О) =1Ои; ис(0) =О.
и подставить в ннх найденные начальные значения, то (!6.6) откуда После подстановки этих знайеннй в уравнения (16.41 получается: !О= !з (0)+ (з(0); (") Ь вЂ” '\! +!001,(0)=2000з!п90'=2000; ~! /! э !00!, (0) = О, откуда 1,(0)=0; !,(0)=10а; (!. — '~ =2000в; !1 — С~ = — асах. Ц! /'!, ' (,б! )з, С Эти начальные значения следует подставить в уравнения ()6.5); — (/ !ОΠ— '1 ~! /1= С / «,ма !ьо.в ЕК Г (3,)у откуда Пример !6.4. Найти закон изменения во времени всех, токов и напряжения на конденсаторе после включения рубильника в схеме, изображенной иа рис. 16 1, в двух случаях: !) и(!) = 1000 а, 2) и (!)=2000з!и(ы!+90 !. Р еще н и е. В обоих случаях целесообразно начать с определения ис.
Первый случай. Общее решение имеет вид (см. предыдущие примеры): ас=исаз+ис,.=1000+1>~ел '+)),е" ° Так как постоянных — две, то следует найти выражение дли первой производной: аас р! с — =Р,В,е -1- Рз0зер ° . — 1 з о " «!е!)с,!, Второй случай, )То коммутзцни ток катушки Г(/ е"' 1,=1ш ~ "' е/'"! ~ =1О т' 2 з!и !.+!ы5 а напряжение на конденсаторе равняется нулю. коммутации (1=0) !! (0) =!,(0) =10 )/2 з!и 45'=10а; В меняется по закону (и!+ 45') а, Таким образом, в момент ис(0) =О.
!"'"('3 т -'~ ('(З(-РЗ ) ис (О) =О= 1000+ р +(14 ()-- 4(ис Т 10 — ) = — =РО+Р(), 4(! ~ С г' г= При (=О откуда !О 1ОООР,+— 500 !500= 500 )1 2 е!"; Р1 — Рз 1О С 1 = — 500+ !500= — 500 Р 2 е Р1 — Рз ' .6 500 )/2 е-1144(е! \11 ° г ° 1'1, е-!(ычг+41'!) =1000 — 1000 )' 2 е "4! саз (3141+45'). и, окончательно Теперь можно найти токи: '4=С с=!ое 'мгсоз3141; иис 4 — 4! 1, = — ~ = 10 — 10 )4' 2 е и'! соз (314! + 45'); г 1,=4,-1-1,= по — !О р 2 е ""соз(314!+45')+10е и'!соз314!. Последние даа слагаемым могут быть преобразоваиы в одночлен. Так как А соз (от! -1-а) -1- В соз (ю! + !1) =.
5 соз (ы ! + а), где Яед4 = А еж + Ве'К то — 10 $' 2 ерм +10= — 10 — !10-1-10=10е 1= 10+ 1Ое и'! соз (314! — 90') =!О+ 10е и'! з!и 314!. Далее производная =Р1А1елг+Р Аьез,г. 4(!1 4(! 1 1 При (=О 1, (0) = 10 = 10+ А, -1- А,; (').— 'Л1! ! !000 — = — =Р,А,+Р,А„ 1=4 откуда 1000 5 А,= — А,= ' й (Р1 — Р1) е/414! е - 1114! 4,=!О+бе "" .
=10+10е 414!а!п(314!). ! 5ЗТ Каждый из токов можно найти и непосредственно. Так, иапример, дли 1, общее решение имеет вид 4',=4,,+11 а = 10+ Агел !+А ел г, Второй случай. Общее решение имеет вид ис = ис, + ис = 1785 Мп Р)41+ зо35) + Оел '+ Отел !. Первая производная — с = 560 49!Усов (314! + 26'35') -1- Р,О,ер~! -1- РзОзел~в. Ж Начальные условия; ис(0) =0=1765 з1п 26'35'-1-О, + Он (.)..= = лис~ !о — ) = — =560 490сов26'35'+р,О,+р О„ Лв ) !.,= С = откуда О,= — 445ейм . О 445е - !аз'.
Таким образом, ис = 1785 вш (3141 + 26'35') — 445е "" [е ! !'"' " !+ +е ' (ым " 1= 1785 з!п(314!+26'35 ) — Ъ90е зм! в1п (314!+64 ). лис -в Ток (з=С вЂ” С=15 95 10 ' 1785 314 сов(314!+26'35') — 15,95 10 ' 890е зы!Х с(1 х [3 14 в|и (314! + 64') — 314 сов (3141 + 64')1 = 8 92 мп (3141+ 116'35 ) + + 6,3е "" в1п (314!+19'). .Ток 1,= с =-17,85 в!п(3!4!+26'Зр')' — 8,9е зыс в!п(3141+64'). Наконец, ток и= ~в+ 1,= 20 в1п (314!+53'10') +6,3е мн в!п (3141 — 71'35').
$16.7. Последовательность расчета переходных процессов Изложенное в предыдущем параграфе дает возможность наметить следующий порядок расчета переходных процессов классическим методом: а) рассчитывается принужденный режим после коммутации; б) составляется характеристическое уравнение Яз,„(р) =0 для схемы, полученной после коммутации, и определяются его корни; в) рассчитывается режим до коммутации и определяются значения вс(0) и и (О). Если этих величин недостаточно для определения постояйных интегрирования, то составляются уравнения для схемы, получившейся после коммутации с помощью законов Кирхгофа для мгновенных значений, вносятся в них значения 1 (О) и и (О) и определяются начальные значения остальных йскомых величин (пример 16.3)1 г) искомая величина записывается как сумма принужденной и свободной составляющих.
Если последняя состоит из и слагаемых (по числу корней) с п постоянными, то следует выписать все производные по времени до а — 1 порядка включительно; д) полученные п уравнений переписывают вторично, полагая в правых частях 4=0 и заменяя левые части их начальными значениями. Из этих уравнений определяются и постоянных. ф 16.8. Свободный процесс в цепи с индуктивностью Пусть цепь, изображенная на рис. 16.3, присоединенная к активному двухполюснику, внезапно замыкается накоротко.
В образовавшемся таким образом контуре (рис. 16А) ток прекращается не сразу. г ~г В этом случае э. д. с. А Р самоиндукции стремится поддержать ток за счет энергии, запасенной в магнитном поле. По мере того как энср- Рис 46 3 Рис И4 гня магнитного поля переходит в тепло, ток в цепи постепенно уменьшается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
