iomeldar (1021896), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Сопоставить результат с условиями «безразличного» резонанса. 16.7. При каком соотношении между сопротивлением, индуктнвностью и емкостью контура в нем возникает апериодический и колебательный разряды конденсатора? 16.8, Каков характер свободного процесса, если корни характеристического уравнения действительные числа? Могут ли они быть положительными? Глава ХИ! ОПЕРАТОРНЪ|Й МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ; ЭЛЕМЕНТЪ| СИНТЕЗА ЦЕПЕЙ Г (р) = ) е а'1(1)й. (17.1) $17.1.
Краткие математические сведения Оригиналом называется любая функция ?(1) действительного аргумента С удовлетворяющая условиям Дирихле, равная нулю при ? ( О и ограниченная в своем росте требованием !)(1))(Ме»и(М) О; э,~О). Иэображением этой функции (по Лапласу) называется функция г" (р) комплексного переменного р = в+)о, определяемая соотношением очевидно также, что ~А,~а=; ~ч~~АьРз(р). (17.8) Если оригиналу 1(г) соответствует изображение Р(р) Ж) =:Р(р) то производной — 1(г) соответствует изображение ие ~ е '"' ф я'1 = РР (р) — 1 (О), (17.4) в или „вЂ” '~ 1'(1) ='РР(р) — 7(0), (17.5) где 1(0) =7(1)~=,— начальное значение оригинала.
Интегралу ~ М) 1(1) яг' соответствует изображение - ~ 1 ~ ~(г) й=.' — '"'. о Изображение показательной функции (экспоненты) (17. 7) изображение постоянной величины (равной нулю при г (О) А=; —. (17.8) Р Наконец, если изображение Р (р) представляет собой рациональную дробь, равную отношению двух многочленов от р УМ) ' (17.9) то соответствующий оригинал находят при помощи теоремы разложения ~(1) = ~~~~ (гь) еяьс П' 'газ) (17.10) Соответствие между оригиналом 1(1) и изображением Р(р) символически записывается в виде: ) (г) =' Р (р), или Р (р) ~~(т).
Из свойств определенного интеграла (17.1) следует, что, если оригинал умножается на некоторую постоянную А, то и изображение умножается на эту же постоянную А7 (г) Ф АР (р); (17.2) где р — некратный корень знаменателя, определяемый из уравпения ))((р) =0; п — число этих корней, равное степени многочлена Л'(р)а (эта степень всегда выше степени многочлена М (р). Действительно, из (17.4) следует, что Е(р) = — ) е ' — й! + — !(0)4 1 Г 1й! р п прп р оо изображение г (р) = †', стремится к нулю. М (р) гг (р) й 17.2. Законы Кирхгофа в операторной форме Расчет переходных процессов классическим методом сводится к непосредственному интегрированию дифференциальных уравнений„составленных на основании законов Кирхгофа для мгновенных значений: (17.! 1) Эти законы значительно упрощаются, если нх подвергнуть преобразованию Лапласа (17.1), Действительно, для отдельных слагаемых (17.11) операционные соответствия на основании (17.2), (17.5), (17.6) и (17.8) принимают следующий вид: 1 (!) =' ! (р); г( =' г! (р); !.
— =' (р ! (р) — й! (0); с 3!"г= с ' " (О)= Г .. г(р) . яс(0) Р Р о тогда уравнения (17.11) можно записать в виде: ~~!(р)=01 ~ [г7(Р)+!.р7(р) — )л(0)+ С(Р~+ с ~~ =~Е(р). Ср Р Если в последнем уравнении взять за скобку 7(р) и перенести в другую часть равенства слагаемые, содержащие начальные значения токов в катушках и напряжений на конденсаторах, то получится ~! (Р) (г+ р!. + — ) = ~~ [Е(р) -1- Пь (0) — "с ( ~~ . Если Р (р) = М(р , то теорема разложения принимает вия (р — а) гт' (р) ' М (и) е"~ М (ра) е "а' 1(0 = — — + ~ — а — — -- и называется формуяой вкаюкекия, )У (а) 2 ° (Ра- а) гт '1Ра! и=! Правая часть этого равенства представляет собой алгебрацческую сумму изображений э.
д. с. как внешних, так и внутренних, обусловленных начальными запасами энергии магнитных и электрических полей цепи, причем направление э. д. с. Е(ь(0) совпадает с направлением гь(0), а полярность источпс (0) ника с( ) совпадает с полярностью и (0). Р с Левая часть равенства выражает алгебраическую сумму про- 1 изведений изображений токов на операторы Е(р) г и+рЕ+ —, РС ' характеризующие сопротивления (теперь уже пассивных) участков цепи. Такин образом, законы Кирхгофа в операторной форме ~7(р)=0; ~ч'7(р) (р)=-Е'(р)„,, „„,„ аналогичны законам Кирхгофа для постоянных токов, что дает возможность находить неизвестные ! (р) любым расчетным методом, известным из теории цепей постоянного тока. Это изображение, как правило, представляет собой рациональную дробь типа (17.9) )(р) = —.
ги (р) сг (р) н соответствующий ему оригинал определится по формуле (!7.10) а г(()=- р — '„-е ь . ч 7И(ра) р г ~. рр(рь) Пример !7.!. Пользуясь операторным методом, определить ток г, и условиях примера !6 4 (рпс. 16.!), Рещение Первый случай.
и(г)=У=!000 а ьг,(р,) Рис. !7! При атом условии П 1000 (l (р) = — —; гь (О) = 10а, и с (О) = О. р 557 Операторная схема имеет вид, показанный на рнс. !7.1. Источники оказались в первой ветви включенными последовательно, Поэтому и — +Е! (О) р с 10р'+ 314 30р+314' 20 М (р! 1 р(р'+2 314р+2 314') !У(р) рб+— рС 1 г+— рС Таким образом, М (р) = 10р'+ 30 314р + 20. 314з. зу (р)=р (р +2 314р-1-2.314'). Корни многочлева !У(р) получаются нз уравнения Л(р)=0, откуда р,=О; р,=( — 314+!314) 1,'сек; р,=( — 314 — !314) 1(сея. Далее Лз' (р) =р'+3!4 2р+2 314'+2р'+2 314рх М (р) = 20.
314'1 М (р) = гГ2 10 314* е" "; М (р) = тГ2.! О 3 14' е !У' (р) = 2 314'! 1У' (р) = 2 У2 314' е (з эю; !У' (р) = — 2 )з 2 314' е(з зз, Подстановка этих величин в формулу (17.12) приводит к искомому решению: (!) Чз М(рй) еайз 10+бе — ззэз [еу <эззз-ээ ) -~- (рй) -1-е 1(зззз-зз'!) (10-1-10е зыгззп314!)д Второй случай: и (1) = 2000 з!п (3141+90')= 2000 совы! э. Для определения зх(О) и ис(0) необходимо рассчитать режим до коммутации.
Так как Г Ег ! (из+ !1 'зс(ю() =(ю ~ . ~ =10 р 2з!п(м! -1-43'), — +1-Е то 1,(О)=!О н, по-прежнему, ис(О)=О. Изображение напряжения У(р) можно найти, учитывая, что Е! з!п(ю(+90')=(! созют=йе(ЕГ еу ') ф Ег„К ГЕ!„(р+Гь»~ = Ке ".' =Ке зЕ р — ую Е р' 4- Таким образом, О (Р) =- ЕГ р р +аз ! * РЕКОМЕНДУЕтен ВВОДИТЬ В РаСЧЕт СИНУСОИДУ а=Ам З1П(ЮГ+а) В ВИДЕ,' а=Ее(Амешиз+о "!], так как в противном случае могут выпасть из решения слагаемые, обусловленные начальными значениями !з (0) и ис(0).
бб8 и, согласно схеме, изображениой нз рис. 17.1, (у„р р'-(-и* у ( [(у (р)+1лс(0) (ро+ыз)1 (ргС+1) М (р) 1 (рз+ыо) (рзг(С+ру+г) ~мур) рй+— рС 1 г+— рс Корни знаменателя очевидно равны: р,= — !то= — 1314 !усек; р,=+ 1314 1,'сек, р,=-( — 314+1314) !усек; р,=( — 314 — 1314) 1,'сек, Производная знаменателя Л" (р) = 2р (р г(С+ ру. + г) + (гргу С+ у) (р'-(- ыо), Подстановка корней в М (р) и рр (р) дает: М (р,) = — уж(у (1 — учогС) = — 1000м (1+12); Ло (р,) = — у2ы ( — оуз гЬС вЂ” (тау. + г) = — у2ы ( — 50 — у 100-1- 100) = = — — 100ы (2+ В; М (р,) = — 1000оэ (1 — у2); М (р,) = — 314.500(1-1-у); Л" (р,)= — !00ы(2 — у); Л'(р,)=3!4 100(2~.1); м (р ) = — 314 500 (1 — 1); л" (р ) = 314 ° юо (2 — 1).
Искомый ток у, (у) = ~Ь~, (ро) есы =120 з!о (3141+ 53'10') 4- +21гуое и" з!и(314! — 71'30'))со !2,Ду .аегг Уго,ус' 7р $17.3. Приведение цепи к нулевым начальным условиям Чем больше в цепи ненулевых начальных условий, т. с чем больше токов у,(0) и напряжений и (О), не равных нулю, тем больше дополнительных источников приходится учитывать в операторной схеме и тем более громоздкими становятся изображения искомых величин. Расчет и изображения будут проще, если производимую коммутацию заменить эквивалентным включением в одних случаях источника напряжения, в других — источника тока в цепь при нулевых начальных условиях (иачальных усчовиях покоя). Включение ветви.
Пусть напряжение на зажимах рубильника (которым включается ветвь) равно и„„(у)=-и„(у). Схема расчета, удовлетворяющая теореме об активном двухполюснике (в применении к задаче из примера 16.4), приведена на рис. 17.2. Включение рубильника в схеме, показанной на рис.
17.2, а, аналогично выключению рубильника в схеме, изображенной на рис. 17.2, б; расчет этой схемы, иа основании принципа наложения, сводится к расчету двух схем: схемы, в которой имеет 559 место докоммутационный режим (рис. 17.2, в), и схемы с единственным источником напряжения, включаемым в пассивную цепь (рис.
17.2, г). Схему, изображенную на рис. 17.2, г, целесообразно рассчитать операторным методом. Действительные токи будут равны: 1,=1,+1,; 1,=1,— 1,; 1,=1,. а) а„11! а,(1! Рис. 17.г Отключение ветви. Пусть ток ветви до ее отключения равнялся 1,(1). После отключения (если это не противоречит закону коммутации) этот ток станет равным нулю, что эквивалентно включению в рассматриваемую ветвь (пассивной схемы) источ- Ф Рис. 17.3 ника со встречным током 1, (1).
Схема расчета приведена на рис. 17.3. Изменение параметров ветви, Пусть в ветвь (рис. 17.4, а) вводится дополнительный параметр (положительный или отрицательный), напряжение на котором, обусловленное прежним током 1(1), равняется пи(1). Схема, изображенная на рис. !7.4, б, эквивалентна схеме, представленной на рис. 17,4, а. В схеме, показанной на рис. 17.4, в, оставлен источник напряжения, компенсирующий ие(т), поэтому в ней существует докоммутациониый режим. На этот режим налагается режим схемы, изображенной на Рис. !7А рис.
17.4, г, который целесообразно рассчитывать операторным методом. В этом случае (7е(Р) =1 (Р) ~ге+ Рйа+ ~ ) 1 й 17.4, Формула (интеграл) Дюамеля Формула Дюамеля дает возможность найти переходный ток (или напряжение) любого участка линейной цепи при включении ее под действие произвольного напряжения, если известен закон изменения этого тока (или напряжения) при включении в цепь постоянного напряжения. Из предыдущего известно, что в последнем случае ток (или напряжение на участке) равен произведению постоянного напряжения У иа некоторую функцию времени. Эту функцию называют переходной проводииосгпью д(1) или переходной функцией и(т) (если она безразмерна): 1(1)=(7и(1); и (1) =и и(1). Так, например, переходная проводимость для тока в контуре (г, Е) Е(11 1 1 тт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
