iomeldar (1021896), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Применение разложения на гармоники для расчета несинусоидальных режимов в линейных цепях Разложение периодических функций на гармоники дает возможность рассматривать действительный несинусоидальный установившийся режим в линейных или линеаризованных цепях как совокупность взаимно налагающихся сину- Рис. И.З соидальных режимов кратных частот. Так, например, если периодическая функция в виде э.д.с. несинусоидальна„ то можно считать, что одновременно действует целый ряд синусоимальных э.д.с. кратных частот: е(У) =Е, + —,г, (Еапа — Еьпа).
)У „, ' Р'2 Для каждой э.д.с. должна быть известна частота (или номер гармоники) и комплексное значение э.д.с. Е,, Если цепь линейн а, то действие каждой из э.д.с. можно рассматривать независимо. При этом для каждой частоты (гармоники э.д.с.) цепь должна быть представлена схемой замещения с соответствующими параметрами, если они зависят от частоты. 33е 515 В числе активных параметров' схем замещения могут быть н задающие токи, разложение которых на гармоники производится так же, как и э.д.с. Схемы замещения, составленные для каждой из кратных частот, получаются при этом взаимно независимыми.
В каждой нз нпх токи и напряжения могут иметь только ту же частоту, которую имеют все активные параметры — задающие токи и э.д.с. Токи и напряжения, найденные с помощью таких схем, определяют частичный рабочий режим цепи. Действительные токи и напряжения для какого-либо участка цепи могут быть определены путем суммирования всех гармоник. Для каждого частичного сннусоидального режима справедливы те же законы электрического состояния цепей: для узлов и для контуров хг„у =хи . Поэтому для расчета цепей применимы, в частности, такие методы.
как метод контурных токов, метод узловых потенциалов, уравнения многополюсников и т. д. Таким образом, расчет несинусоидальных режимов для линейной цепи сводится к расчету ряда синусоидальных режимов кратных частот и суммированию гармоник. й !5.3. Особенности несинусоидальных режимов Сопротивления отдельных ветвей любой цепи различны дль разных частот. Прежде всего это относится к реактивным сопротивлениям (проводимостям). Так, индуктивное сопротивление ветви, обладающей постоянной индуктивностью 1„ хи ™ а емкостная проводимость ветви, обладающей постоянной емкостью С, бьс Поэтому функции тока и напряжения для одной и той же ветви могут существенно различаться. Так, например, для ветви, обладающей значительным реактивным сопротивлением индуктнвности прн основной частоте (по сравнению с активным сопротивлением), каждая высшая гармоника напряжения имеет относительную величину значительно больше, чем у тока.
Наоборот, для ветви, обладающей большой емкостной проводимостью (по сравнению с активной проводимостью — при основной частоте), каждая высшая гармоника тока имеет озносительную величину значительно больше, чем у напряжения. 5!а Пример 15.2. Напряжение, приложенное к катушке нндуктивности. несинусондально. Гармонический анализ приводит к следующим результатам. основная частота — 100лл, третья гармоника — 5л,', пятая — Злб, седьл:ая — 29ю девятая — 1,55е и одиннадцатая — 19э.
Последующие гармоники имеют меньшие значения и поэтому не принимаются во внимание. Определить гармонический состав функции така, приняв, что активное сопротивление достаточно мало (приблизительно равно пулю). Решение. Если величину тока основной частоты принять за 100л'„ то третья гармоника тока равна — 5:3.=1,67',ю пятая — 3:5=0,6г', седьмая— 2 7=-0,29тл, девятая — 1,5:9=0,16ллл и одиннадцатая — 1:11=0,09лю Таким образом, функция тока оказывается достаточно близкой к синусоиде, так как практически заметной является только одна третья гармоника, составляющая менее 2лгл ат основной.
Пример 15.3. Определить ток в ветви конденсатора при той же функции приложенного к нему напряжения (пример 15.2). Принять, что активная проводимость конденсатора очень мала (близка к кулю). Решен ив. Если величину тока основной частоты принять за 100лб, то третья гармоника тока равна 5 3.=-!5эю пятая — 3 5=153ю седьчая— 2 7=-14лю девятая — 1,5 9=- !4,59л н одиннадцатая — 1 11=11%. Таким образом, фчнкция тока содержит значительно большие гармонические составляющие, чем функция напряжения, существенно отличаясь от синусоиды. Не исключена возможность, что для более правильной оценки этой функции нельзя ограничиваться принятым ранее решением, так иак снижение величины гармоники с повышением ее порядка оказывается сравнительно небольшим.
Следует иметь в виду, что активное сопротивление ветви так же измекяется при изменении частоты, Однако эта зависимость определяется более сложнычи физическими явлениями н поэтому излагается в теории электромагнитного поля при рассмотрении поверхностного эффекта. В пределах каждого частичного режима (гармоники) могут возникать резонансные явления: резонанс напряжений в неразветвленной цепи, когда хьх=хдп, н резонанс токов при параллельном соединении емкости и индуктнвности, тогда ььх=зьш В таких условиях функция напряжения (в случае резонанса напряжений) или тока (в случае резонанса токов) может получиться значительно отличающейся от синусоиды даже при почти сикусоидальных измененияк возмущающих снл.
Прн этом особо выделяется слагающзя той гармоники, частота которой равна (илн достаточно близка) частоте собственных колебаний соответствующего эквивалентного контура. Иногда при резонансе вазлюжно возникновение нежелательных явлений в виде перенапряжений, но в других случаях резонансные явления с успехом можно использовать на практике. Так, например, настраивая контур радиоприемника на определенную частоту, можно выделить желаемые колебания при наличии многих других в воздействующей возмущающей силе. Пример 15.4. В неразветвленной цепи, состоящей из активного сопротивления г =5 ом, индуктивности 5=1 мгн н емкости С=1 мкф, действует иесинусоидальная э.д.с.
е !00 з!и в(+ 10 (з(ц Зв!+ Мп бв!+ з(п 7в!) при основной частоте (л=1000 гц. Определить ток в цепи. Решение. Т(ля первой гарчоникн 517 1 клд=йи(ль 6,3 ом; 1 ко= — = 159,3 ам. л 2п!лс Поэтому слагающая тока основной частоты практически определяется емкостным сопротивлением: У27,= =0,70а или 1=0,7з1п1том+ — ). 100 l лд 159.3 — 6,3 — 2). Ток третьей гармоники при «,с=18,8 ом и «,с=53,1 ом так же в большей мере определяется емкостным сопротивлением: У27,— =0.3а клн 0=0,3з!п 3~е!+— 10 Г / мЛ Рис. 15.4 Ток пятой гармоники прн х,с=31,5 ом и х,с= 31,9 ом почти полностью определяется активным сопротивлением, так как хьь — х,с=31,9 — 31,5=0,4 ~«, У21 20а 10 5 1,=-2 з!п бе!.
Ток седьмой гармоники при х,с=44,1 ом н х,с=22,6 ом определяется, главным образом, индуктивмостью 1О У2 т= 44 1 226=0,45а !т=0,45з!п ~7 (е! — )1. 518 Таким образом, с точностью до седьмой гармоники (=и+1,+1,+Ц 0,7з(п(ю(+ — )+ +05 з(п ] 3 (ой+ — ) ] +2з1п(5юС)+О 45 з(п [7 (ю( — Я. В данном случае. в результате резонанса напряжений, на частоте пятой составляющей ток втой гармоники оказывается значительно больше, чем иа любой другой частоте (рис 15.4). Чем меньше активное сопротивление, тем резче выявляется резонансный аффект. й !5.4.
Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений; коэффициенты, характеризующие форму кривой Действующие значения тока и напряжения определяются так же, как н при синусоидальном токе и синусоидальном напряже« ннн, с помощью формул: / т ,Г т ~= ~'-,~'() ж "=1~'Я" ().~ О О Если представить синусоидальную периодическую функцию гармоническим рядом, то г=у ф([с -~+( ~ г„',)]*а. ало Так как интегралы вида т т 1 Р Г ° ° ь а т~ (таят- и-) ггг= т~ (1 тала) "г=дд о о а все остальные равны нулю (каждый из них может быть графически представлен замкнутой окружностью), то ток 7= ~Я ь=ь н, следовательно, напряжение У=1/ ,'Я'Ье.
дна Таким образом, квадрат действующего значения тока и напряжения равен сумме квадратов действующих значений всех гармоник. В случаях нечетных функций постоянная составляющая отсутствует, и поэтому ) 1 + 7а. РЭ 5!9 где 1,' „= .д,г'ь учитывает действие всех высших гармоник. а же Пример 15.5. Фуннння тока задана уравнением 1 = 100 з( п (он) + 20 з1п (Зыг) + 1О Мп (5он) — 5 ып (7 юг ) .1 3 а<п ~9 ( ом +— б /1' Определить действующее значение тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
