Учебно-методическое пособие (для очной формы обучения) (1021370), страница 7
Текст из файла (страница 7)
.Согласно формуле Тейлора разность между значениями функцииf (x) и частичной суммой ряда Тейлора с номером (n 1) этой функцииравна остаточному члену формулы Тейлора Rn (x) . Поэтому справедливоследующее утверждение.Теорема. Для того чтобы при некотором значении x значениефункции f (x) совпадало с суммой ряда Тейлора этой функции необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора при этомзначении x стремится к нулю с возрастанием n :lim Rn ( x)n0.Теорема.
Если функция f (x) в некотором интервале с центром вточке x0 имеет производные всех порядков и все производные для всехx из этого интервала ограничены одним и тем же числом:f ( n ) ( x)M,то ряд Тейлора этой функции сходится к самой функции на данном интервале.Это утверждение применимо к таким элементарным функциям какe x , sin x , cos x . Например, функции sin x и cos x дифференцируемывсюду бесконечное число раз, и все их производные ограничены по модулю единицей. Значит, эти функции можно разложить в ряды Тейлорана любом интервале с центром в любой точке.Теорема (о единственности представления функции степеннымрядом).
Если функция f (x) представима на некотором интервале с центром в точке x0 степенным рядом f ( x)an ( x x0 ) n ,то этот ряд являетсяn 0рядом Тейлора этой функции.66Доказательство. Полагая x x0 в формуле f ( x)an ( x x0 ) n , поn 0лучим f ( x0 ) a0 . Применим к данному степенному ряду теорему опочленном дифференцировании:f ( x)x0 ) n 1 ,an n ( xn 1an n (n 1) ( x x0 ) n 2 ,f ( x)n 2...f ( k ) ( x).......a n n (n 1) ... (n k 1) ( xx0 ) nk,n k..........Полагая в этих равенствах x x0 , получимf ( x0 )a2 2 1 ,f ( x0 )........ak k (k 1) ...
2 1 ,f ( k ) ( x0 ).a1 1 ,.......Значит, для коэффициентов ряда справедливы формулы:a0f ( x0 ) ,a1f ( x0 ),1!a2f ( x0 ), … ,2!akf ( k ) ( x0 ), … ,k!т.е. данный ряд является рядом Тейлора этой функции. Теоремадоказана.Замечание. Теорема единственности позволяет доказывать некоторые тождества. Для этого раскладывают некоторую функцию двумяспособами в степенной ряд. В силу теоремы единственности коэффициенты в обоих рядах при одинаковых степенях x совпадают.67Разложение основных элементарных функцийВыпишем разложения в ряды Маклорена основных элементарныхфункций.x2xn......
,2!n!1 xexx(),,xx33!x5x2n 1... ( 1) n... ,5!(2n 1)!x(,cos x 1x22!x4x 2n... ( 1) n... ,4!(2n)!(,),sin xln(1 x)(1 x)x1x22xnx3n 1 x... ( 1)3n(1)2!x 2 ...Последнее разложение при11 x1 xx2(x... ,x1)...(n!),( 1,1] ,n 1)x n ... ,x ( 1,1) ,1 принимает вид... ,... ( 1) n x nx ( 1,1) .Заменяя x на ( x) , приходим к стандартной формуле для суммы геометрической прогрессии11 x1 x x 2 ... x n ... ,x ( 1,1) .Пример. Разложить функциюf ( x) sin 2 x в ряд Маклорена.Найти производную n -го порядка в точке x0 0 .Решение.ством sin 2 xВоспользуемсятригонометрическимтожде-1 cos 2 x, а затем табличным разложением функции cos x ,2заменяя переменную x на переменную (2 x) :sin 2 x121( 2 x) 2122!( 2 x) 4( 2 x) 2 n... ( 1) n4!(2n)!...682n 123 4n 1 2x ...
( 1)x 2 n ... ,4!(2n)!2 2x2!Всилуf ( 2 n ) (0) ( 1)n1теоремы22 n 1(2n)! ( 1)n(2n)!1(x).,единственностиимеем22 n 1, f ( 2n 1) (0) 0 .(2n)!Пример. Разложить функцию f ( x) ln( x2 5x 6) в ряд Тейлора вокрестности точки x01 , т.е. по степеням переменной ( x 1) . Найтипроизводную n -го порядка в точке x01.Решение. Пользуясь свойствами логарифмической функции, выполним тождественные преобразованияyln( x 2 5x 6)ln 1 ( x 1)ln ( x 2)( x 3)ln 2 ( x 1)ln( x 2) ln( x 3)ln 2 ln 1 ( x 1)ln 1x 1,2а затем применим табличное разложение функции ln(1 x) , делаясоответствующие заменыy ln 2( 1)nn 11( x 1)nn( 1)nn 11( x 1)n2n nln 2n( 1)nn1111( x 1)n .n2Чтобы найти значения x , для которых справедлива полученнаяформула, решим систему неравенств1x 1 11x 1121 x 1 12x0.В силу теоремы единственности имеем f ( 1)(n)( 1)nnПример.
Разложить в ряд Маклорена функцию yпроизводную n -го порядка в точке x0 0 .1112nn!.arctg (x) . Найти69Решение. Воспользуемся табличным разложением для представления степенным рядом производной этой функции11 x21 x2dxx1 x20x33(arctg ( x))yxТогда arctg ( x)xx 4 ... ( 1) n x 2 n ... ,x ( 1,1) .x5x2n 1n... ( 1)... ,52n 1x [ 1,1] .Заметим, что производная представляется степенным рядом на интервале ( 1,1) , а сама функция – на отрезке [ 1,1] .Всилутеоремы1(2n 1)! ( 1)n2n 1f ( 2 n 1) (0) ( 1)n1единственности(2n)! ,имеемf ( 2n) (0) 0 .3.
Применение теории рядовРассмотрим различные примеры применения степенных рядов.Приближенные вычисления значений функцийПример. Вычислить 3 2 с точностью до 5 знаков после запятой.Решение. Для решения задачи воспользуемся табличным разложе1:3нием функции (1 x) при(1 x)3231311x3128 12564 12513113x22!54128125313111211 233x 3 ... 1xx3!3953141251351141251(125) 25 3x ...81175 (125) 2....Последнее выписанное слагаемое этой суммы меньше, чем 10 5 .Кроме того, полученный числовой ряд является знакочередующимся рядом Лейбница, поэтому ошибка при замене суммы ряда на частичнуюсумму не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда.70Значит, для достижения заданной точности достаточно учесть первыетри члена ряда:35(1 0,008 0,000064) 1,25992 .42Приближенные вычисления значенийопределенных интеграловПример.
Вычислить с точностью до 3 знаков после запятой120arctg ( x )dx .xРешение. Воспользуемся полученным разложением функцииarctg (x) в ряд Маклорена1212arctg ( x)dxx03xx32105x52x237x72...x4512012x67... dx12 32312 52512 727... .Получен знакочередующийся ряд Лейбница, последнее выписанное слагаемое меньше, чем 10 3 . Отбрасывая это слагаемое, получимприближенное значение интеграла с заданной точностью12arctg ( x)dx 0,5 0,01389 0,00125 0,487 .x0Вычисление предела последовательностиТеория рядов используется в теории последовательностей.Пример. Доказать, что limnnn(3n)!0.71Решение. Составим рядn 1nn. Для изучения его сходимости(3n)!применим признак Даламбера:xlimxlimn 1nnnlimnn 1n(n 1) ( n 1) (3n)!(3(n 1)! n nnlim 3(3nnlimnn 11)(n 1)(3n 2)(n 1)n 1(3n 1)(3n 2)(3n 3) nne 0 0 1.По признаку Даламбера ряд сходится и, следовательно,nnlim x lim (3n)!nn0.nВычисление значения производной функции в точкеЕсли функцияf (x)представима на некотором интервале сцентром в точке x0 степенным рядом: f ( x)an ( x x0 ) n , то этот рядn 0является рядом Тейлора этой функции по теореме единственности.
Приэтом anf ( n ) ( x0 ).n!Тогда для нахождения значения n-ой производнойфункции в точке x0 используется формулаПример. Найти производнуюf ( x)sin xприxx0n –го порядка для функции0 , n = 6 и n = 99.Решение. Разложим функциюокрестности точки x0sin xxf ( n) ( x0 ) an n! .1sin xxf ( x)sin xxв ряд Тейлора в0:1(xxx33!x55!x77!...) 1x23!x45!x67!...721, где f (6) (0)7!Коэффициент a616!7!1. Коэффициенты при7нечетных степенях х в данном разложении равны нулю, в частностиa990 и, тогда f (99) (0) 0 .Применение теории рядов к решению линейныхдифференциальных уравненийОдним из методов решения линейных дифференциальныхуравнений с переменными коэффициентами является применениетеории рядов.
Данный метод использует известное утверждение изтеории дифференциальных уравнений.Теорема. Если все коэффициенты и правая часть линейногодифференциального уравнения n-го порядкаy ( n)a1 ( x) y ( n1)... an ( x) yf ( x)разлагаются в степенные ряды в некоторой окрестности точки x0 ,торешениеy (x)этогоудовлетворяющего условиям y( x0 )дифференциальногоA0 , y' ( x0 )уравнения,A1 ,..., y ( n 1) ( x0 )An 1 ,также разлагается в степенной ряд в указанной окрестности.Пример.
Решить задачу Коши y' y 2 x 3 , y(0)1.2Решение. Подставим в уравнение y' y 2 x 3 начальные условия.Тогдаy' (0)y21.4(0)дифференцированиеy' ' (0)2 y(0) y' (0)Аналогично,2Найдемнеявной1 12 41.4вторуюфункциипроизводную,y' ' 2 yy ' 3x 2 .применяяТогда73y' ' ' 2( y ) 22 yy ' ' 6 x ,2( y (0)) 2y' ' ' (0)y ( 4)2 y(0) y' ' (0)214221 12 4216146163,84 y' y' ' 2 y' y' ' 2 yy ' ' ' 6 6 y' y' ' 2 yy ' ' ' 6 ,y ( 4) (0) 6 y' (0) y' ' (0) 2 y(0) y' ' ' (0) 61261636427461 11 36 62664 42 816 16и т.д.Поскольку решение уравнения ищем в виде рядаy ( x)y(0)y' (0) xy' ' (0) 22! xy' ' ' (0) 33! xy ( 4) (0) 4...
,4! xто, подставляя найденные коэффициенты, получим ответy ( x)12121x411 23 3 27 4xxxx ...44 2!8 3!4 4!.1 2 1 3 9 4xxx ...81632Обратим внимание на то, что исходное дифференциальноеуравнение не решается в квадратурах. В примере приведен один из двухметодов решения задачи Коши с помощью теории рядов.4. Ряды ФурьеПри решении многих технических задач приходится иметь дело спериодическими процессами, для описания которых требуются периодические функции. Простейшей периодической функцией периода 2является функция sin( xsin( x1) , sin(2 x2) . При сложении периодических функций) , … , sin(nxn) , периоды которых равны соответ-74ственно 2 , , ... ,2, получим периодическую функцию с периодом 2 .nЕстественно возникает обратный вопрос: можно ли заданную периодическую функцию f (x) с периодом 2представить в виде суммы конеч-ного или бесконечного числа простейших периодических функций видаsin(nxn):f ( x)An sin(nxA0n) ?n 1Постоянное слагаемое A0 можно считать периодической функциейс любым периодом, в том числе и с периодом 2 .В механике функция sin(nxn) описывает простейшее гармони-ческое колебательное движение.
Представление периодической функцииf (x) в виде суммы простейших периодических функций можно рас-сматривать как разложение сложного колебания на отдельные гармонические колебания. Функции вида sin(nxn) , входящие в состав разло-жения периодической функции f (x) , называются гармоническими составляющими этой функции или просто гармониками. Пользуясь тригонометрическим тождеством sin(nxзначая An sinnan ,An cosnn)sinncos nx cosnsin nx , и обо-bn ,разложение периодической функцииf (x) можно переписать в видеf ( x)(an cos nx bn sin nx) .A0(1)n 1Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты ФурьеПусть функция f (x) определена на всей числовой оси, периодичнас периодом 2и является непрерывной или кусочно-непрерывной на75отрезке.,Напомним,чтофункцияназываетсякусочно-непрерывной на отрезке, если она непрерывна во всех точках этого отрезка за исключением конечного числа точек, в которых функция терпитразрыв первого рода, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
