Учебно-методическое пособие (для очной формы обучения) (1021370), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Интегрирование выполнимнаxотрезкеxn x n 1dx( x)dxxnn 1 00n 1Тогда ( x)x1 x0, x ,x1 xполагая,чтоx( 1,1).1. Искомая сумма S(1 x) 213111323.4Теорема (почленное дифференцирование). Пусть функции un (x)( n 1, 2, 3, ... ) определены и непрерывны на отрезке a, b и имеютна этом отрезке непрерывные производные u n (x) . Рядun ( x) сходится,n 1а рядu n ( x) сходится равномерно на отрезке a, b .
Тогда сумма S (x)n 1рядаun ( x) дифференцируема на отрезке a, b , причем производнаяn 1суммы равна сумме ряда из производныхu n ( x) ,S ( x)т.е.n 1u n ( x) .u n ( x)n 1n 11Пример. Вычислить сумму числового рядаn 12nРешение. Рассмотрим функциональный рядn 1n.xn, который схоnдится на интервале ( 1,1) . Обозначим исходную сумму числового рядаS , а сумму функционального ряда S (x) . Тогда SS1. Рассмотрим ряд257из производныхx n 1 . Этот ряд сходится равномерно на любом отрезn 1ке, принадлежащем интервалу ( 1,1) , т.к.
мажорируется сходящимсячисловым рядом, Применим к данному ряду теорему о почленном дифференцированииS ( x)xn1n 1xnn 0Учитывая, что S (0) 0 , получим SSS12ln 11211 x.ln(1 x) . Искомая суммаln 2 .Степенные рядыОпределение. Степенным рядом называется функциональный рядвидаan x na0a1 x a2 x 2 ....n 0Рассматриваются также степенные ряды более общего видаan ( x x0 ) na0a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) 2 ... , которые с помощью заменыn 0( x x0 ) на новую переменную сводятся к рядам видаan x n , изучениемn 0которых можно ограничиться. Выясним, какой вид имеет область сходимости степенного ряда.Теорема Абеля. Если степенной рядan x n сходится в некоторойn 0точке x0 0 , то он абсолютно сходится в любой точке x , такой чтоxx0 .58Доказательство.
Из сходимости рядаa n x 0 следует, что его обnn 0щий член стремится к нулю, а, значит, ограничен, т.е. существует положительное число M такое, что an x0 nM , n 0, 1, 2, 3,... .Возьмем произвольное x , для которого xan x n .Оценимегоx0 и рассмотрим рядобщийчленn 0an x nan x0nxx0nan x0nxx0nM qn ,xx0где q1.Общий член рассматриваемого ряда меньше, чем соответствующие члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит,степенной ряд сходится абсолютно в точке x . Теорема доказана.Интервал и радиус сходимости степенного рядаЗаметим, что любой степенной рядan x n сходится при x0 .
Рас-n 0смотрим рядn! x n . Применим для нахождения его области сходиn0мости признак Даламбера nlimx(n1)! x nn! x n1x lim (nn0 . Значит, данный ряд сходится только в одной точке x01), если0.Предположим, что для степенного ряда существуют отличные отнуля значения x , при которых он сходится. Если множество этих значений не ограничено, то согласно теореме Абеля ряд сходится всюду, причем абсолютно.Пусть множество значений x , при которых степенной ряд сходится, ограничено, и положительное число R – точная верхняя грань этогомножества.
Если xR , то найдется значение x0 такое, что xx0R,59при котором ряд сходится. Тогда согласно теореме Абеля ряд сходитсяабсолютно в точке x . Итак, степенной ряд сходится абсолютно в интервале ( R, R) и расходится вне этого интервала. На концах интервала, т.е.при xR может иметь место как сходимость, так и расходимость ряда.Определение.
Интервал ( R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда, а число R – радиусом сходимости.Если степенной ряд сходится на всей числовой оси, то его радиуссходимости R, а если ряд сходится только в одной точке x 0 , тоR 0.Замечание. Степенной ряд видаan ( xx0 ) n сходится или в интер-n 0вале ( x0 R, x0 R) с центром в точке x0 , или на всей числовой оси, илитолько в точке x x0 .Замечание.
Интервал сходимости степенного ряда может бытьнайден с помощью признаков Даламбера или Коши. Для установлениясходимости или расходимости на концах интервала требуется дополнительное исследование с помощью других теорем.Радиус сходимости степенного ряда: Rственно,Rlimnnlimnanan 1и, соответ-1,если эти пределы существуют (конечные| an |или бесконечные).Пример.
Найти область сходимости степенного рядаn(n 1) nx .2n0Решение. Применим признак Даламбераlimn(n2) x n2n 112n(n 1) x nxn 2lim2n n 1x21x22x2.60( 2, 2) – интервал сходимости, R2 – радиус сходимости.Исследуем сходимость на концах интервала. Обозначая общийчлен ряда un (x) , вычислим его значения на концах интервала:( 1)n (n 1) ,un ( 2)При xn 1.un (2)2 не выполняется необходимое условие сходимости, сле-довательно, на концах интервала ряд расходится.Пример.( 1) nn 2Найтиобластьсходимостистепенногоряда( x 1) n.3n ln nРешение.
Применим признак Даламбераlimn(xn 131) nln( n13n ln n1) ( x 1) nПри вычислении limnlimt1x3nln nln( n 1)1x3.ln nиспользуется правило Лопиталяln( n 1)1t 1lim t limt1 ttt 1ln tln(t 1)lim1limnln nln( n 1)1.Интервал сходимости определяется из неравенстваx 131x 13( 4, 2) – интервал сходимости, R3x 1 34x3 – радиус сходимости.Исследуем сходимость на концах интервала. При xположительный рядn2.4 получим1.
Сравним его с гармоническим рядом2 ln nn1.1 nПокажем, что для любого номера n 2, 3, 4,... выполнено неравенство1ln n1nln n1 . Для этого рассмотрим функцию f ( x)nln xи вычислимx61ееf (2)производную:ln 21, f (3)2f ( x)ln 31,31 ln xx2при0x e.Таккака при x e f (x) убывает, то ее значенияменьше 1 при всех n 2,3,4,...
. Члены полученного ряда больше, чем соответствующие члены гармонического ряда, т.е. при xдится. При x 2 получим рядn4 ряд расхо-( 1) n, который сходится условно как2 ln nзнакочередующийся ряд Лейбница.Пример. Найти область сходимости степенного рядаnxn.0 n!Решение. Применим признак Даламбера:xn 1n!limn(n 1)! x nx limn1n10 при всех x .Следовательно, область сходимости данного ряда –вся числовая ось.Теорема (о равномерной сходимости степенного ряда).
Степеннойрядan x n сходится равномерно на любом отрезке, принадлежащем инn 0тервалу сходимости.Доказательство. Пусть ( R, R) – интервал сходимости степенногоряда и a, b – произвольный отрезок, принадлежащий этому интервалу.Обозначим x0 – максимальное из чисел a , b . Тогда для всех xдет выполняться неравенство xa, b бу-x0 . Степенной ряд сходится абсолютнов точке x0 , т.к. x0 ( R, R) . Кроме того, an x nan x0 , Т.е.
степенной рядnмажорируется на отрезке a, b сходящимся положительным числовым62рядом, а, значит, согласно теореме Вейерштрасса, сходится на этом отрезке равномерно. Теорема доказана.Степенные ряды обладают свойствами равномерно сходящихсяфункциональных рядов.1. Сумма степенного ряда непрерывна на любом отрезке, принадлежащем интервалу сходимости, а, значит, непрерывна на всем интервале.2. Интеграл от суммы степенного ряда S (x) на любом отрезке,принадлежащем интервалу сходимости, равен сумме ряда, полученногоиз данного степенного ряда путем почленного интегрирования на том жеотрезкеbbS ( x)dxan x n dx .n 0aaЕсли в качестве отрезка интегрирования взять отрезок 0, x , где xпринадлежит интервалу сходимости, то равенство приобретает видxS ( x)dxn0an nx0n 11nan 1 nx ,1 nТ.е.
в результате почленного интегрирования степенного ряда наотрезке 0, x получается также степенной ряд. Пользуясь, например,признаком Даламбера, можно показать, что радиус сходимости полученного ряда совпадает с радиусом сходимости исходного ряда.3. При почленном дифференцировании степенного рядаan x n поn 0лучим также степенной рядan n x nn 11an1(n 1) x n с тем же радиу-n 0сом сходимости.
Это означает, что сумма степенного ряда дифференцируема на интервале сходимости, и производная суммы равна сумме рядаиз производных.63Почленное дифференцирование можно применить повторно к рядуиз производных первого порядка, второго и т.д. Значит, сумма степенного ряда имеет внутри интервала сходимости производные всех порядков.Замечание. При почленном интегрировании и дифференцированиистепенного ряда интервал сходимости сохраняется.
Сходимость на концах интервала следует проверять отдельно.Пример. Найти сумму ряда( 1) nn 11xn.nРешение. Данный ряд сходится на промежутке1, 1 . ОбозначимS (x) его сумму и применим теорему о почленном дифференцировании:S ( x)( 1) n1xn1( 1) n x nn 1n 011 x.Полученный в результате почленного дифференцирования степенной ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится на интервале ( 1,1) .
Учитывая, что S (0) 0 , найдем S ( x) ln(1 x) .Пример. Найти сумму ряда(n 1) x n .n 0Решение. Данный ряд сходится на интервале ( 1,1) . ОбозначимS (x) его сумму и применим теорему о почленном интегрировании:xS ( x)dxxn1n 00xnn 1x1 x.Полученный в результате почленного интегрирования степеннойряд является суммой геометрической прогрессии и сходится на интервале ( 1,1) .Сумма рядаS ( x)x1 x1.(1 x) 264Ряд ТейлораЧастичными суммами степенных рядов являются многочлены, чтоделает степенные ряды удобным средством для приближенных вычислений. Вопрос о представлении функций степенными рядами имеет особое значение.Предположим, что заданная функция f (x) в некотором интервалес центром в точке x0 имеет производные всех порядков.
Тогда согласноформуле Тейлора для всех значений x из этого интервала выполняетсяравенствоf ( x)f ( x0 )f ( n ) ( x0 )(xn!f ( x0 )(x1!x0 )nx0 )f ( x0 )(x2!x0 ) 2...,гдеRn (x)Rn ( x),остаточный член формулы Тейлора. Он записывается разными способами, например, в форме Лагранжа Rn ( x)x1f( n 1)( x1 )(x(n 1)!x0 ) n 1 , где( x0 , x) .При этом n можно выбрать сколь угодно большим, т.е. учитыватьв этой формуле сколь угодно большие степени переменной ( x x0 ) . Естественно возникает вопрос о возможности представления функции f (x) ввиде бесконечной суммы или в виде степенного рядаf ( x)f ( x0 )f ( x0 )( x x0 )1!f ( x0 )( x x0 ) 2 ...2!f ( n ) ( x0 )( x x0 ) n ... .n!Такой ряд, независимо от того, сходится он или не сходится кфункции f (x) в некотором интервале, называется рядом Тейлора этойфункции, а его коэффициенты – коэффициентами Тейлора. Если x0 0 ,то данный степенной ряд называется рядом Маклорена65f ( x)f (0)f (0)x1!f (0) 2x2!...f ( n ) (0) nxn!...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
