Учебно-методическое пособие (для очной формы обучения) (1021370), страница 9
Текст из файла (страница 9)
,2k 1 нечетное число, k0,1,2,3,... .Так как рассматриваемая функция является непрерывной всюду,то сумма ее тригонометрического ряда Фурье равна данной функции привсехxf ( x)32122(2k 1) x3.(2k 1) 2cosk 0Полагая в этом равенстве x 0 , получим3321221k 0(2k 1) 221илиk 0(2k 1) 28.Выпишем для этого разложения равенство Парсеваля. С этой целью вычислим интеграл32(3 x) 2 dx3032 ( x 3)333 0Равенство Парсеваля принимает вид22796.8669214414k 0,(2k 1) 441откудаk 0( 2k1) 496.Итак, с помощью разложений функций в тригонометрические ряды Фурье, можно получать значения сумм некоторых числовых рядов.2) Разложение по синусамДоопределим функцию f (x) на промежутке3, 0 нечетным обра-зом, изменим значение функции при x 0 , полагая f (0) 0 и продолжимее на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 6.Согласно теореме Дирихле сумма тригонометрического рядаФурье такой функции будет равна функции при всех x .
Вычислимкоэффициенты Фурье этой функции:32n x(3 x) sindx303bn2(3 x)323f ( x)sin6n 19n3n39n23n xcos3 02n xsin3 03n3cos0n xdx36, n 1, 2, 3, ... .nn x3 . Полагая в этой формуле xn3, получим28732n2 .nsin6n 1Учитывая, что sinsinn2(2k 1)2sinsinn2sin k( 1) k , если nk20 , если n 2k - четное число и чторепишем полученный результат в виде:k2k 1 - нечетное число, пе-( 1) k0 2k 14.5.
Интеграл ФурьеПусть дифференцируемая функция f (x) задана на всей числовойпрямой и не является периодической. Предположим, что f (x) абсолютно интегрируема, т. е.( f ( x) dxM.Разложим f (x) в ряд Фурье на отрезкеa02f ( x)Здесьak cos(kl, lx) bk sin(kx) .(1)k 1k, а коэффициенты определяются по формуле ЭйлераlkФурьеla01f (t )dt ,l lllak1f (t ) cos(l lk t ) dt ,bk1f (t ) sin(l lkt )dt .Подставляя эти значения в ряд (1), получимf ( x)12ll1f (t )dtlkllf (t ) cos( k t ) cos(1 lkx) sin( k t ) sin(kx) dt(2)8812ll1f (t )dtlkllf (t ) cosk(t(3)x).1 lПерейдем в этом равенстве к пределу при l.Первое слагаемое в правой части (3) стремится к нулю при l,поскольку12ll12lf (t )dtllM2lf (t ) dtl0.Второе слагаемое в правой части (3) можно рассматривать как интегральную сумму для интегралаg ( )dот функции0gl ( )1lx)dt , что можно показать следующим образом.f (t ) cos (tlПустьkТогдаkl1lkk,kl.lf (t ) cosk1(t x)dt1 lgl ( k )k.k 1Формальный предельный переход в (3) при lприводит к ра-венству1f ( x)df (t ) cos (t(4)x)dt0Это равенство называется формулой Фурье, а интеграл в правойчасти равенства (4) – интегралом Фурье.
Интеграл Фурье будем обозначать через Ф(x) , т.е.Ф(x)1df (t ) cos (tx)dt .0Положимa( )1f (t ) cos( t )dt ,Формулу Фурье можно записать в видеb( )1f (t ) sin( t )dt .89a( ) cos x b( ) sin x d .f ( x)(5)0При такой форме записи видна аналогия с рядом Фурье: представлению функции в виде суммы гармонических колебаний по натуральному параметру соответствует интеграл по непрерывному параметру.Приведенные рассуждения, безусловно, не являются доказательством, а скорее их нужно рассматривать как некоторые наводящие соображения (которые и привели Фурье к интегральной формуле). Точныеформулировки приводятся далее.Формула Фурье, преобразование Фурье: основные понятияТеорема Фурье.
Пусть функция f (x) имеет на каждом конечноминтервале не более конечного числа точек разрыва, и абсолютно интегрируема на всей прямой. Тогда в каждой точке дифференцируемостиf (x) справедлива формула Фурьеf ( x)1dx) d .f ( ) cos (0В точках разрыва функции f (x) при условии существования односторонних производных интеграл Фурье равен среднему арифметическому односторонних пределов функции1f (t ) cos (tdx)dtf ( x 0)f ( x 0)(6)20Формулу Фурье можно переписать в комплексной форме:f ( x)1dei (t x )f (t )dt12ei xdei tf (t )dtФормулу Фурье (7) принято разбивать на два равенства(7)90fˆ ( )12f ( x)12ei t(8)f (t )dt ,fˆ ( )ei x d .(9)Функция fˆ ( ) называется преобразованием Фурье функции f (илиfˆ ( ) = F ( f ) . Здесь F -образом преобразования Фурье) и обозначаетсяоператор Фурье, применяемый к функции f :F: ffˆ .
Формулу (9)называют обратным преобразованием Фурье и пишутf ( x)F 1 ( fˆ ) .(10)Замечание. Часто преобразование Фурье определяют равенствомfˆ ( )ei tf (t )dt , при этом формула (9) обратного преобразованияФурье принимает вид12f ( x)fˆ ( )ei x d .Преобразование Фурье по существу является функцией, описывающей амплитуду и фазу каждой гармоники, соответствующей определенной частоте. Отметим, что при внешнем сходстве формул (8) и (9),они по существу различны. Первая – это определение, а второе – теорема. Кроме того, в (9) интеграл понимается в смысле главного значения,т.е.f (x)limA12Afˆ ( )ei x d .AВ случае периодической функции f (x) разложение в ряд Фурьесостоит из отдельных гармоник с частотамиnln .
Зависимость ам-плитуды этих гармоник от частоты называется дискретным амплитудным спектром функции. Если функция f (x) не является периодической,то роль ряда Фурье играет интеграл Фурье (9), а амплитудным спек-91тром (непрерывным) называется функция A( ) | fˆ ( ) | (с точностью до1),2множителяваетсяпри этом называется частотой. Функция fˆ ( ) назы-спектром (спектральной функцией) сигнала f (x) , функция( ) arg fˆ ( ) (с точностью до знака) называется фазовым спектром.Пример. Емкость С 1 ф , имеющая электрический заряд q 1 k вмомент времени t 0 начинает разряжаться через сопротивлениеr 1 ом . Ток изменяется по законуf (t )e t, t0,0, t0.Найти преобразова-ние Фурье функции f (t ) , амплитудный спектр и представить f (t ) интегралом Фурье в комплексной форме.Решение.Преобразование Фурье12fˆ ( )ei t12f (t )dt1 e t (i 1)2 (i 1) 0ei te t dt011.2 1 iПоследнее равенство справедливо, посколькуlim ett (i1)lim e t cos tt0.i sin tАмплитудный спектр A( )12112.По формуле Фурье в точках непрерывности f (t ) , т.е.
при t 0f (t )12fˆ ( )ei t d1 eit d2 1 iПри t 0 интеграл в правой части равен 1 2 .92Интеграл Фурье для четных и нечетных функций.Косинус- и синус- преобразования ФурьеФормулу Фурье перепишем в следующем видеf ( x)1df (t ) cos (t x)dt01cos( x)df (t ) cos( t )dt1sin( x)d0f (t ) sin( t )dt(11)0Случай четной функции: f ( x)f ( x) .Перепишем первый внутренний интеграл в формуле (11) в виде0f (t ) cos( t )dtf (t ) cos( t )dt .f (t ) cos( t )dt0В силу четности функции f (x) имеемf (t ) cos( t )dt2f (t ) sin( t )dtf (t ) cos( t )dt и0.0Формула Фурье для четной функции примет видf ( x)2cos( x)df (t ) cos( t )dt0Положимfˆc ( )(12)02a( )f (t ) cos( t )dt(13)0Тогда равенство (12) перепишется в видеf ( x)2fˆc ( ) cos( x)d.(14)0Формула (13) называетсякосинус- преобразованием Фурье, аформула (14) – обратным косинус- преобразованием.93Случай нечетной функции: f ( x)f ( x) .Аналогично предыдущему случаю нетрудно проверить, что интегральная формула Фурье примет вид2f ( x)f (t ) sin( t )dt .sin( x)d0(15)0В этом случае равенствоfˆs ( )b( )2f (t ) sin( t )dt(16)0определяет прямое синус- преобразование Фурье, а равенство2f ( x)fˆs ( ) sin( x)dx(17)0задает обратное синус- преобразование Фурье.Таким образом, имеем полную аналогию с рядом Фурье для четной и нечетной функции.Итак, формула Фурье для четной функцииf ( x)2fˆc ( ) cos( x)d ,(18)0Гдеfˆc ( )2a( )f (t ) cos( t )dt .0Формула Фурье для нечетной функцииf ( x)2fˆs ( ) sin( x)d ,(19)0гдеfˆs ( )b( )2f (t ) sin( t )dt .0Пусть функция f (x) определена на полупрямой 0,лив функцию на интервал.
Доопреде-,0 четным или нечетным образом, полу-94чим, что её интеграл Фурье можно представить как в виде (18), так и ввиде (19).Пример. Найти косинус- преобразование Фурье для функцииf ( x)1, 00, xx a,a.Представить функцию с помощью интегралаФурье.Решение. Считая, что f (x) продолжена на всю прямую четным образом, получим2fˆc ( )acos tdt2 sin a.0По формуле (18)2f ( x)2 sin afˆc ( ) cos( x)d0cos( x)d .0В точке x 0 функция f (x) (точнее её четное продолжение) непрерывна. Следовательно, f (0)2 sin ad .0sin aОтсюда, в частности, получаем0d2.
Таким образом,формулу Фурье можно использовать для вычисления интегралов.6. Решение уравнения колебаний струны методомФурьеМетод Фурье широко используется при решении многих задачматематической физики. Проиллюстрируем основные идеи этого методана примере решения задачи о колебаниях закрепленной струны.Будем рассматривать свободные, малые, поперечные колебанияструны, закрепленной в точке x 0 и x l оси x , с положениемравновесия вдоль оси x .Пусть u( x, t ) - отклонение точки струны с95абсциссой x в момент времени t .
В математической физике для изученияфункции u( x, t ) , описывающей форму струны в момент временивыводится уравнение2ut2Уравнениеa2(1)2u, где a - некоторая константаx2рассматриваетсяс(1)граничнымиусловиями(закрепленность на концах)u(0, t )0,u(l , t )(2)0Пусть начальная форма струны описывается функциейначальная скорость(x) ,(x) , ат.е. уравнение (1) рассматривается сначальными условиямиu ( x,0)( x),ut ( x,0)( x), 0x(3)lПервый шаг метода Фурье – решение вспомогательной задачи:найти решение уравнения (1) видаu( x, t )(4)X ( x)T (t ),не равное тождественно нулю и удовлетворяющее граничнымусловиям (2). Подставляя (4) в (1) и разделяя переменные, получимT (t )a 2T (t )X ( x).X ( x)(5)Левая часть равенства зависит только от t , правая – только от x .Отсюда вытекает, что обе части равенства равны константе.
Обозначимэту константу. Получим два обыкновенных дифференциальныхуравненияT (t )X ( x)a 2 T (t )0( 6)X ( x)0(7 )Из (2) следует, что для уравнения (7) должны выполнятьсяграничные условия96X (0)0.X (l )(8)Найдем сначала нетривиальные решения (7), удовлетворяющиеграничным условиям (8). Эта задача называется задачей ШтурмаЛиувилля. Значениясобственными, при которых задача имеет решения, называютсязначениями,асоответствующиерешения–собственными функциями.Рассмотрим отдельно случаи1) Пусть2,0,0,0.0.Общее решение (7) записывается в видеX ( x)C1exC2 e x .Граничные условия X (0) X (l ) 0 приводят к однородной системелинейных уравнений относительно C1 и C 2 с ненулевым определителем.Следовательно, C1 C20 и X ( x)2)0 . Общее решение (7)X ( x)C1 C2 X .0.Граничные условия приводят к системеОтсюда C1 C20 и, следовательно, X3) ПустьX ( x)2C1 cos x,C10,C1 C2 l0.0.0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
