Учебно-методическое пособие (для очной формы обучения) (1021370), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для частичных сумм с нечетныминомерами справедливо равенство S 2n 1 S 2n a2n 1 , из которого следует,чтоlim S 2 nnlim (S 2n1a2n 1 )nlim S 2 nnlim a2nn1S.Итак, частичныесуммы с четными и нечетными номерами имеют один и тот же предел и,следовательно, ряд сходится, и его сумма равна S .Определение. Знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, называется рядом Лейбница.Замечание.
Частичные суммы с четными номерами приближаютсяк сумме ряда S , возрастая, а частичные суммы с нечетными номерами –убывая, т.е. справедливо неравенство: S 2n0SSВ частности,a1 .Если первый член ряда Лейбницаa1S 2n 1 .Sa1отрицателен,то0.В любом случае сумма ряда имеет знак его первого члена и меньше его по модулю.Остаток ряда Лейбница также является рядом Лейбница. Следовательно, сумма остатка имеет знак своего первого члена и меньше его помодулю. Так для ряда Лейбница легко оценивается разность между суммой и частичной суммой.Пример.
Исследовать на сходимость ряд( 1) nn 2Решение.ln n, где a nnln n.nДля проверки выполнения условий теоремы Лейбницавведем функцию f ( x)ln xи докажем, что она монотонно убывает,x48начиная с некоторого значения x , и стремится к нулю при xчислим производнуюf ( x)1 ln xx20 дляx. Вы-e.Это означает, что, начиная с номера n 3 , верно неравенствоan1an . Как уже было показано,limnln nn0 . Следовательно, условиятеоремы Лейбница выполнены, и ряд сходится.Замечание. Составим ряды из модулей членов рассмотренных рядов:n1,1 nnln n.2 nОба эти ряда расходятся. Первый из них являетсягармоническим, а члены второго, начиная с n 3 , больше, чем членыгармонического ряда.Абсолютная и условная сходимостьПусть дан произвольный знакопеременный рядa n , а рядn 1ann 1составлен из модулей его членов.Теорема.
Если сходится ряд из модулей членов данного ряда, тосходится и сам знакопеременный ряд.Доказательство. Пусть сходится ряд из модулей. Тогда согласнокритерию Коши для любого0 найдется номер N такой, что для лю-бого номера n N и любого натурального k будет верно неравенство:an1an...2an.kДля знакопеременного ряда получим оценкуan1an2... ankan1an2...ank,что означает, что условие сходимости для него выполняется, т.е.сам знакопеременный ряд сходится.49Определение. Если сходится ряд, составленный из модулей членовданного ряда, то сам знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.Определение.
Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится, то такой ряд называетсяусловно сходящимся.При установлении абсолютной сходимости можно пользоватьсявсеми признаками сходимости положительных рядов.Пример. Исследовать на сходимость ряд( 1) n 1n 13n 15n 3n.Решение. Применим радикальный признак Коши к ряду из модулейlim n annlimn3n 15n 331.5Значит, данный ряд сходится абсолютно.( 1) nПример.
Исследовать на сходимость ряд.3nn 1Решение. Ряд из модулей является расходящимся как обобщенныйгармонический ряд с показателем1. Однако, для данного ряда вы3полнены условия теоремы Лейбница, т.е. ряд сходится условно.Без доказательства отметим свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный произвольной перестановкой его членов, также сходится и имеет ту жесумму. (Другими словами, абсолютно сходящийся ряд обладает переместительным свойством так же, как и конечная сумма).50Если ряд сходится условно, то надлежащей перестановкой егочленов можно изменить сумму ряда на любое заданное число, а такжесделать ряд расходящимся.2.
Функциональные рядыОпределение.Пустьданапоследовательностьфункцийu1 ( x), u2 ( x), ..., un ( x), ... , определенных на некотором множестве X . Вы-ражение вида u1 ( x) u2 ( x) ... un ( x) ...un ( x) называется функциональn 1ным рядом, а множество X – областью определения этого ряда.При подстановке произвольного значения x из множества Xфункциональный ряд становится числовым, причем при одних значениях x числовой ряд может быть сходящимся, а при других – расходящимся.Определение. Множество значений переменной x , при которыхфункциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.Например, рядыxn ,n 11определены при любых значенияхxn 1 nx . Областью сходимости первого из них является интервал ( 1, 1) , а об-ластью сходимости второго – промежуток (1,) .
Сумма функциональ-ного ряда S (x) представляет собой функцию, определенную на областисходимости ряда.Равномерная сходимость функционального рядаОпределение. Пусть функциональный рядun ( x) сходится наn 1множестве X . Sn ( x), S ( x) – частичная сумма и сумма этого ряда соот-51ветственно. Функциональный рядun ( x) называется равномерно схоn 1дящимся на множестве X , если для любогоN , что для всех номеров nравенство0 найдется такой номерN и для любого x| rn ( x) | Sn ( x) S ( x)X будет выполнено не-.Другими словами, ряд сходится равномерно на множестве X , еслиразность между частичной суммой и суммой ряда становится скольугодно малой, начиная с некоторого номера, одновременно для всех x ,принадлежащих множеству X .Теорема Вейерштрасса (достаточное условие равномерной сходимости).
Если члены функционального рядаun ( x) при всех x , приn 1надлежащих множеству X ,n 1, 2, 3, ... , где anрядаудовлетворяет неравенству un ( x) an ,0 - члены некоторого сходящегося числовогоan , то функциональный рядn 1un ( x) сходится абсолютно иn 1равномерно на множестве X .Доказательство. Абсолютная сходимость функционального рядапри всех x X следует из признака сравнения и из сходимости числового ряда. Покажем, что функциональный ряд сходится равномерно намножестве X .
Из условия теоремы следует, что для любого натурального числа k и для любого x X верно неравенствоun 1 ( x) un 2 ( x) ... un k ( x)u n k ( x)an1an2... anu n 1 ( x)kn, гдеun 2 ( x) ...n– остаток числового ря-да. Переходя в этом неравенстве к пределу при условии kчим rn ( x)n, полу-, где rn (x) – остаток функционального ряда.
По условию тео-52ремы числовой ряд сходится, поэтому для любого0 найдется такойномер N , что для всех номеров n N будет выполнено неравенство, а, значит, и для остатка функционального ряда rn (x)nxдля всехX , т.е. функциональный ряд сходится равномерно на множестве X .Определение. Числовой рядan , удовлетворяющий условиямn 1теоремы Вейерштрасса, называется мажорирующим числовым рядомдля функционального рядаun ( x) или числовой мажорантой.n 1cos nxсходитсяn2n 1Пример. Доказать, что функциональный рядравномерно при всех x .Решение.
Мажорирующим числовым рядом для данного функционального ряда является рядряд12n 1 n1, т.к.2n 1 ncos nxn21при всех x . А так какn2сходится, то данный функциональный ряд сходится равно-мерно на всей числовой оси.xПример. Доказать, что функциональный рядn 1равномерно на промежутке 0,n3x3сходится.Решение. Члены данного функционального ряда неотрицательныпри x0,.
Для построения мажоранты найдем при каждом фикси-рованном n максимальное значение функции un ( x)Для этого вычислим производнуюn32 x233 2(n x )3un ( x)n3 x 3 3x 3(n3 x 3 ) 22 x 3 n3(n3 x 3 ) 2.xn3x3.53Производная un (x) 0 при x3n, и эта точка является точкой мак2симума функции un (x) (проверить, вычислив вторую производную). Мак-симальное значениеun ( x )maxunn32n32n3n3221233 2 n34 1.3 n2Значит, члены функционального ряда на множестве 0,влетворяют неравенству 0 un ( x)34 1. Поскольку числовой ряд3 n2сходится, то числовой ряд, общий член которого равен3удо12n 1 n4 1, также3 n2сходится. В силу теоремы Вейерштрасса данный функциональный рядсходится равномерно на промежутке 0,.Свойства равномерно сходящихся рядовРассмотрим рядnx2, который сходится при всех x и все2 n0 (1 x )члены которого непрерывны на всей числовой оси. Сумма рядаS ( x)xx2111 x21 x2 ,если x 0 ,S (0)0 , терпит разрыв в точке0 , несмотря на то, что члены ряда непрерывны при всех x .
Это объ-ясняется неравномерностью сходимости данного ряда на любом множестве, содержащем точку x 0 . Покажем, что ряд не является равномерносходящимся, оценивая остаток ряда при x 054x2(1 x 2 ) nrn ( x)Посколькуlim rn ( x)x 0x2(1 x 2 ) nx2(1 x 2 ) n...111 x2110 (1 x 2 ) n 1limx11.(1 x 2 ) n 1, то остаток ряда не мо-жет быть сколь угодно мал одновременно при всех x ни для какого номера n .
Следовательно, ряд сходится неравномерно на множестве, содержащем точку x 0 .Перейдем к изучению свойств функциональных рядов, сходящихся равномерно на некотором отрезке.Теорема (непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда).Пусть функции u n (x) ( n 1, 2, 3, ... ) определены и непрерывны на отрезкеa, b , а рядu n ( x) сходится равномерно на этом отрезке. Тогда суммаn 1ряда S (x) непрерывна на этом отрезке.Доказательство. Зафиксируем произвольную точку x0 , принадлежащую отрезку a, b , и для любого значения x , также принадлежащего отрезку a, b , оценим разностьS ( x) S ( x 0 )S ( x ) S n ( x)(S ( x) S n ( x)) (S ( x0 ) S n ( x0 ) (S n ( x) S n ( x0 ))S ( x0 ) S n ( x0 )Выберем произвольное числоS n ( x) S n ( x 0 ) .0 . В силу равномерной сходимо-сти ряда можно фиксировать номерS ( x) S n ( x)3будет выполнено для всех xnтакой, что неравенствоa, b , в том числе и для x 0 .При фиксированном n частичная сумма ряда S n (x) является непрерывной на отрезке a, b как сумма конечного числа непрерывных функций.55Поэтому для выбранного0 найдется такое числого x , удовлетворяющего неравенству x x0венство S n ( x) S n ( x0 )30 , что для любо-, будет выполнено нера-.Тогда разность S ( x) S ( x0 )333, что доказывает непрерыв-ность суммы ряда в точке x0 , а т.к.
x0 выбрано произвольно на отрезкеa, b , то S (x) непрерывна на a, b .Другие свойства равномерно сходящихся рядов сформулируем бездоказательства.Теорема(почленноеинтегрирование).Если( n 1, 2, 3, ... ) непрерывны на отрезке a, b , а рядфункцииun (x)un ( x) сходится равn 1номерно на этом отрезке, то интеграл от суммы ряда S (x) на отрезкеa, b представляется в виде суммы интегралов от членов этого рядаbbS ( x)dxu n ( x)dx ,n 1 aaт.е.bb(au n ( x))dxn 1u n ( x)dx .n 1 aЗамечание. Интегрирование можно выполнить на любом отрезке,принадлежащем отрезку a, b .Пример.
Вычислить сумму числового рядаnРешение. ПустьSSn.n1 3- искомая сумма, представим S в виде1n. Рассмотрим функциональный ряд3 n 1 3n 1n x n 1 . На любом отn 1резке, принадлежащем интервалу ( 1,1) , этот ряд сходится равномерно,56т.к. мажорируется сходящимся числовым рядом. Пустьго ряда, тогда(x) – сумма это-1 1( ) . Применим к построенному функциональ3 3Sному ряду теорему о почленном интегрировании.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
