Учебно-методическое пособие (для очной формы обучения) (1021370), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Общее решение (7)C2 sin xГраничные условия дают0X (0)0X (l )C1 ,C1 cos lПоскольку C2C2 sin l0 , то sin(C2 sin l.l) 0 иn , n 1,2,....lСледовательно, нетривиальное решение задачи Штурма-Лиувилля(7)-(8) возможно только приттl2, n 1,2,.....97ЭтимсобственнымзначениямсоответствуютсобственныефункцииX n ( x)ПритTn (t )nx, nlsin1,2,.....общее решение уравнения (6) запишется в видеAn cosn atln at.lBn sinТаким образом, функцииX n ( x)Tn (t ) удовлетворяютu n ( x, t )уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых An и Bn .В силу линейности и однородности уравнения (1) рядu ( x, t )u n ( x, t )n 1An cosn 1n atlBn sinn atn xsinll(9)вслучаеегодифференцирования посходимостии txивозможностидваждытакже является решением (1) иудовлетворяет граничным условиям (2).Определим коэффициенты An и Bn так, чтобы выполнялисьначальные условия (3).
Дифференцируя ряд почленно, получимut ( x, t )n 1n alAn sinn atlBn cosn atn xsinll(10)Полагая в (9) и (10) t 0 , получим( x)An sinn 1n x,l(11)( x)n 1n an xBn sin.llРавенства (11) суть разложения функцийпо синусам на отрезке 0, l . Следовательно,(x) и(x) в ряд Фурье982lAnl( x ) sin02Bnn al0n xdx,ln x( x) sindxl(12)Таким образом, равенство (9) дает решение исходной задачи (1)(3), если коэффициенты An , Bn определены в соответствии с (12).Рассмотрим частный случай колебаний струны без начальнойскорости, т.е. ( x) 0 .
Поскольку Bnu ( x, t )An cosn 1Ann 10 , имеемn atn xsinll1nsin(x2lat )sinn(xlat )12( x at )( x at ) .Таким образом, решение представляется в виде полусуммы двухразбегающихся волн. Под (x) здесь понимается продолжение исходнойфункции, определяющей начальную форму на отрезке 0, l , сначала –нечетное наl, l , а затем периодическое на всю прямую.99ЗаключениеТеория рядов имеет широкое применения в различных дисциплинах, используется при решении прикладных задач.В математическом анализе степенные ряды применяются для вычисления предела функции, при выполнении приближенных вычислений, вычислении значений производной функции в точке, нахождениисуммы ряда. Теория рядов используется в теории функций комплекснойпеременной. В курсе обыкновенных дифференциальных уравнений спомощью рядов решают задачу Коши. Для математической физики методом Фурье решают уравнения колебаний струны, теплопроводности идр.В теории вероятностей и в теории случайных процессов к рядамобращаются при рассмотрении вопросов нахождения характеристикслучайныхвеличин,нахождениипроизводящейфункции,дляспектрального разложения стационарных случайных процессов и др.В курсе радиотехники с помощью рядов Фурье изучаютсяпериодические сигналы, строятся амплитудные и фазовый спектры.
НаосновеинтегралаипреобразованияФурьеизучаютсяспектрынепериодических сигналов.Преобразование Фурье – это математическая основа теории автоматического управления. При разработке прикладных проблем курсового и дипломного проектирования также применяют данную теорию (вопросы надежности разрабатываемой системы, вопросы анализа функционирования объекта и др.).100Для более глубокого изучения вопросов решения задач на основетеории рядов в различных дисциплинах рекомендуется дополнительнаялитература.Дополнительная литература1. Тихонов А.Н., Самарский А.А.
Уравнения математической физики. Издательство Московского Университета, 1999.2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационноеисчисление. 4-е издание. М.: Эдиториал, УРСС, 2000.3. Коренев В.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.:Наука, Главная редакция физ.-мат. лит., 1971.4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.Теория вероятностей и ееинженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000.5. Атабеков Г.И. Основы теории цепей.
СПб.: Издательство«Лань», 2009.6. Харкевич А.А. Основы радиотехники. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.7. Игнатов В. А. Теория информации и передачи сигналов. М:Радио и связь, 1991.8. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.: Энергия, 2008.9. Воронов А.А., Ким Д.П., Лохин В.М., Макаров И.М., ПоповичП.Н., Рахманкулов В.З. Теория автоматического управления. М.: Высшая школа, 1986.10. Ким Д.П.
Теория автоматического управления. Т1. Линейныесистемы. М.: ФМЛ, 2003.10111. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Физматлит, 1996.12. Малыгина О.А. Формирование основ профессиональной мобильности в процессе обучения высшей математике. М.: URSS, 2010.13.
Malygina O.A., Rudenskaya I.N., Shuhov A.G. Generalized NPSApproach for Education on Quality Rate// Progress in Analysis/ Procedings ofthe 8-th Congress of the ISAAC 2012 vol.3 М.: РУДН, 2012. С. 133-141.102СодержаниеВведение…………………………………………………………….3Методические указания……………………………………………4Часть 1.
Числовые ряды……………………………………………9Часть 2. Типовой расчет……………………………………………13Приложение…………………………………………………………30Заключение………………………………………………………….99.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
