Учебно-методическое пособие (для очной формы обучения) (1021370), страница 8
Текст из файла (страница 8)
в этих точках существуют конечные односторонние пределы функции, не равные друг другу.Предполагая, что f (x) представляется в виде суммы простейшихтригонометрических функций, найдем коэффициенты ряда (1). С этойцелью проинтегрируем обе части равенства (1) на отрезке,, чтооправдано, например, в случае равномерной сходимости на этом отрезкефункционального ряда, стоящего в правой части равенства (1). Воспользуемся тем, что cos(nx)dxТогдаf ( x)dxsin(nx)n0,A0 2 , откуда A0cos(nx)nsin( nx)dx120.f ( x)dx .Для вычисления коэффициентов an умножим обе части равенства(1) на cos nx и проинтегрируем на отрезкеcos(kx) cos(nx)dx 0 ,любыхkиf ( x) cos(nx)dxоткуда ann,если k n ,cos 2 (nx)dx,. Пользуясь тем, чтоsin(kx) cos(nx)dx 0 ,1 cos(2nx)dx2, если n 0 , получимan ,1Аналогично bnf ( x) cos(nx)dx ,1(nf ( x) sin(nx)dx ,1,2,3,...) .(nдля1,2,3,...) .76Чтобы формулы для коэффициентов выглядели единообразно,обозначим: a0 2 A01f ( x)dx .Итак, для любой функции f (x) , кусочно-непрерывной на отрезке,, можно вычислить коэффициенты1anf ( x) cos(nx)dx ,(n0,1,2,3,...) ,(2)1bnf ( x) sin(nx)dx ,(n 1,2,3,...) ,которые называются коэффициентами Фурье этой функции, и поставить в соответствие этой функции рядf ( x)a02(an cos(nx) bn sin(nx)) ,(3)n 1который называется тригонометрическим рядом Фурье этойфункции.Определение.
Система функций1, cos x, sin x, cos(2 x), sin(2 x), ... , cos(nx), sin(nx), ... ,на основе которой построен тригонометрический ряд Фурье, называется основной тригонометрической системой функций.Эта система на отрезке,обладает свойством ортогонально-сти: интеграл от произведения любых двух функций этой системы наотрезке,равен нулю.Сходимость ряда ФурьеПредполагая, что функция f (x) является кусочно-непрерывной наотрезке,, поставим этой функции в соответствие ее тригонометри-77ческий ряд Фурье. Предположим теперь, что функция является кусочнодифференцируемой на отрезке,.
Это означает, отрезок,можно разделить на конечное число отрезков, внутри которых функциядифференцируема, а на концах отрезков имеет не только конечные предельные значения, но и односторонние производные при условии замены на концах этих отрезков значений функции на соответствующие предельные значения.Теорема Дирихле устанавливает условия сходимости тригонометрического ряда Фурье и связь между значением самой функции и суммой ее тригонометрического ряда Фурье. Сформулируем теорему Дирихле без доказательства. В формулировке теоремы используем выражения f ( x0 0) и f ( x0 0) для обозначения односторонних пределов функции f (x) при условии, что x стремится к x0 слева и справа соответственно.Теорема Дирихле. Пусть функция f (x) определена и кусочнодифференцируема на отрезке,. Тогда тригонометрический рядФурье этой функции сходится в каждой точке отрезка,, и суммаS (x) этого ряда удовлетворяет следующим условиям.1) S ( x0 )f ( x0 ) во всех точках интервала (; ) , в которых f (x)непрерывна.2) S ( x0 )1f ( x0 0)23) S ( ) S ()f ( x0 0)1f(20)во всех точках разрыва функции.f(0) .Замечание.
Теорема остается справедливой в случае, когда функция f (x) определена на всей числовой оси, является периодической спериодом 2и на отрезке,кусочно-дифференцируема. Точнее, в78этом случае тригонометрический ряд Фурье этой функции сходится навсей числовой оси, и сумма S (x) этого ряда удовлетворяет условиям:1) S ( x0 )f ( x0 ) во всех точках прямой () , в которых f (x) не-;прерывна;1f ( x0 0)22) S ( x0 )во всех точках разрыва функции.f ( x0 0)Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) периода 2 , заданную следующим образом,f ( x)x,x0,0 x.Обосновать сходи-мость ряда Фурье. Нарисовать график суммы ряда Фурье.Решение. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции:01a0(dxx)dx01an32,a023,40cos(nx)dx(x) cos(nx)dx.01(1 cos(n ))n21(1 ( 1) n )n2Если n 2k - четное число, то an a2k0.Если n 2k 1 - нечетное число, то an a2 k 1bn10sin(nx)dx(x) sin(nx)dx02.(2k 1) 2cos(n )n( 1) n.nТригонометрический ряд Фурье S (x) , соответствующий даннойфункции, имеет видf ( x)sin xS ( x)sin 2 x2342 cos x12sin 3x3...cos 3x32cos 5 x52....79Поскольку данная функция непрерывна во всех внутренних точкахотрезка, то согласно теореме Дирихле для всех x (,, ) имеетместо равенство f ( x) S ( x) .
Например, полагая x 0 , получим3421132На концах отрезка152,или...21k 0( 2k1) 28.сумма ряда Фурье имеет следующеезначение:S()1f(20)f(0)12.На рисунке показаны графики функции f (x) и суммы S (x) ее рядаФурье.Сходимость в среднем ряда Фурье. Пусть функция f (x) определена на отрезке a, b , и ставится задача о наилучшем приближении этойфункции с помощью другой функции g (x) из определенного классафункций, определенных на этом же отрезке. Если требуется обеспечитьблизость функций во всех точках отрезка, то в качестве критерия близоf ( x) g ( x) , и функция g (x)сти рассматривается величина, равная maxx [ a ,b ]80выбирается так, чтобы эта величина принимала наименьшее возможноезначение. В этом случае обеспечивается равномерная на всем отрезкеблизость функций.Если требуется обеспечить близость функций на отрезке в среднем, то в качестве критерия близости рассматривают величину, равнуюb2f ( x) g ( x) dx .aДля достижения наилучшего приближения в среднем требуетсяминимизировать эту величину.Пусть функция f (x) кусочно-дифференцируема на отрезке,.Тогда согласно теореме Дирихле тригонометрический ряд Фурье этойфункции во всех точках непрерывности сходится к этой функции.
Мож2но показать, что величинаf ( x) S n ( x) dx , характеризующая от-nклонение в среднем частичной суммы S n (x) тригонометрического рядаФурье от кусочно-дифференцируемой функции f (x) на отрезкестремится к нулю при n:limn,,0.nЭто означает, что тригонометрический ряд Фурье сходится в среднем на отрезке,к своей сумме, а коэффициенты Фурье функцииf (x) удовлетворяют равенству2a02(an22bn )1f 2 ( x)dx ,n 1которое называется равенством Парсеваля.Равенство Парсеваля является аналогом теоремы Пифагора в бесконечно-мерном пространстве функций, кусочно-дифференцируемых наотрезке,. Действительно, если считать, что квадрат «длины функ-81f 2 ( x)dx , что основная тригонометри-ции» в этом пространстве равенческая система функций является базисом этого пространства, а рядФурье – разложением функции по этому базису, то согласно равенствуПарсеваля квадрат «длины функции» равен сумме квадратов ее координат.В частном случае, когда функция f (x) непрерывна на отрезке,и имеет кусочно-непрерывную производную на этом отрезке, тоее тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках этого отрезкак функции f (x) , причем равномерно.Представление рядом Фурье функциипроизвольного периодаПусть функция f (x) определена и кусочно-дифференцируема наотрезкеl, l , или f (x) определена на всей числовой оси, периодична спериодом 2l и кусочно-дифференцируема на отрезкеlмену переменной x t , получим f ( x)f tlg (t ) .Если функция f (x) была определена на отрезкеg (t ) определена на отрезке,l, l .
Сделав за-l, l , то функцияи удовлетворяет на этом отрезке усло-виям теоремы Дирихле. Раскладывая в ряд Фурье функцию g (t ) и возвращаясь к исходной функции, получим для нее следующее представление рядом Фурьеf ( x)a02an cosn 1nxnx,bn sinllкоэффициенты которого вычисляются по формулам(4)82l1nxf ( x) cosdx ,l llan(n 0, 1, 2, 3,...) ,(5)lbn1nxf ( x) sindx ,l ll(n1,2,3,...) .Теорема Дирихле остается в силе с той лишь разницей, что в случае произвольного отрезкаxl, lточки xзаменяются на точкиl:S (l )1f ( l 0)2S ( l)f (l 0) .Равенство Парсеваля принимает видl1 2f ( x)dxl l2a02(an22bn ) .n 1Ряд Фурье для четных и нечетных функцийЛегко убедиться в том, что если кусочно-непрерывная функцияf (x) , определенная на отрезкеl, l , является четной, то0lf ( x)dxlf ( x)dxllf ( x)dx0l0Действительно, сделав замену t00f ( x)dxx , вычислимlf ( t )dtl2 f ( x)dx .lf (t )dt0lf ( x)dx .0Аналогично устанавливается, что в случае нечетной функции f (x)0lf ( x)dxll0lf ( x)dxf ( x)dx0lf ( t )dtllf ( x)dx0lf (t )dt0f (t )dt00.83Предположим теперь, что кусочно-дифференцируемая функцияf (x) , определенная на отрезкениеf ( x) cosnxll, l , является четной.
Тогда произведе-также является четной функцией, а произведениеnx- нечетной. Вычислим коэффициенты Фурье четной функции:lf ( x) sin1lanlll1nxf ( x) sindxl llbnl2nxf ( x) cosdx ,l 0lnxf ( x) cosdxl0,(n 0, 1, 2, 3,...) ,(n 1, 2, 3,...) .Таким образом, тригонометрический ряд Фурье четной функциисодержит только косинусы: f ( x)a02an cosn 1а равенство Парсеваля приобретает видЕслифункцияf (x)является2lnx,l2lf 2 ( x)dx0нечетной,тоa022an .n 1произведениеf ( x) cosnxlf ( x) sinnx- четной. Вычислим коэффициенты Фурье нечетной функции:lтакже является нечетной функцией, а произведениеlan1nxf ( x) cosdxl lllbn1nxf ( x) sindxl ll0,(n 0, 1, 2, 3,...) ,l2nxf ( x) sindx ,l 0l(n 1, 2, 3,...) .Тригонометрический ряд Фурье нечетной функции содержиттолько синусы: f ( x)bn sinn 1nx,l84l2 2f ( x)dxа равенство Парсеваля приобретает видl 02bn .n 1Разложение функций, заданных на полупериоде, в ряд Фурьетолько по косинусам или только по синусамПусть функция f (x) определена и кусочно-дифференцируема наотрезке 0, l .
Желая получить разложение этой функции в ряд Фурье,доопределим ее на промежуткеl , 0 произвольным образом, сохраняялишь требование кусочной дифференцируемости. Это дает возможностьполучать различные разложения одной и той же функции в тригонометрические ряды Фурье на отрезке 0, l .Если определяя функцию на промежуткечто f ( x)f ( x) для всех xl , 0 , будем полагать,0, l , то получим четную функцию, триго-нометрический ряд Фурье которой будет содержать только косинусы.Если определяя функцию на промежуткечто f ( x)f ( x) для всех xl , 0 , будем полагать,0, l , то получим нечетную функцию, три-гонометрический ряд Фурье которой будет содержать только синусы.Пример. Разложить функцию f ( x) 3 x , заданную на отрезке 0, 3в тригонометрический ряд Фурье по косинусам и в тригонометрическийряд Фурье по синусам.
Обосновать сходимость каждого ряда Фурье.Нарисовать графики суммы для каждого ряда Фурье.Решение.1) Разложение по косинусамДоопределим функцию f (x) на промежутке3, 0 четным обра-зом и продолжим ее на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 6.85Вычислим коэффициенты Фурье этой функции:3a02(3 x)dx30an2n x(3 x) cosdx3033,2a023,332n23n x(3 x)sin3n3 033nn xcos3 00,если n12(2k 1) 22, если n6n223n6(1 cos n )n2k четное число, k223sin0n xdx31 ( 1) n1,2,3,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
