Учебно-методическое пособие (для очной формы обучения) (1021370), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Нарисовать график суммы ряда Фурье. Найти амплитудныйспектр Anan2 bn2 , гдеВарианты 21-24.a n и bn - коэффициенты Фурье.Разложить функцию, заданную на полупериодеl;0 функцией, равной0; l , в ряд Фурье, продолжая ее на интерваленулю. Исследовать сходимость полученного ряда Фурье. Нарисоватьграфик суммы ряда Фурье. Записать равенство Парсеваля.Варианты 25-28.u (t ) с периодомTРазложить в ряд Фурье периодический сигнал2l . Исследовать сходимость полученного рядаФурье. Нарисовать график суммы ряда Фурье.вариантвариант1y2 x 6, x152y0;30;23y 3x 3, x 0;1y 8 2 x, x 0;4y 3x 15, x 0;517u(t ) 4t , lu(t ) 3t 1 , lu (t )2t , l4 2 x, x18u(t )2t 3 , l19u (t )t 1, ly 6 4 x, x 0;3y x 2, x 0;420u(t )4t 1 , l21y 1 3x 2 , x45678y 1 x, x0;216229y2 x 5, x0;52310y6 3x, x0;424ysinx, x20;yxcos , x20;111225260;1x, x 0;33xy 2 sin , x 0;1,53y 2 x 2 3, x 0;2yututcos2 3t ,0 t 2t 2,2 t 02t 1,0 t 1t 1,1 t 0251314x2, xyyx3270,1280,1x, xcos t ,2t 1,ututt 2 1,0 t 0,50,5t 001,2t20tЗадача №2.9.
Представить интегралом Фурье функцию, заданнуюна интервале 0,, продолжив её на всю числовую ось четным и не-четным образом.вариантвариант1f x2f x151, 0 x 11,x 120,x 11 x, 00,x 1f x16x 112 3x, 0 x 40,3 5 x, 0f x41x, 0 x 220,x 22 3 x, 0xf x0,523x4 x 1, 0xf x0,6f xsin x, 00,14xxx231735x5 6 x, 0 xf x0,1856x3 8 x, 0 xf x0,14xf x0,3x 41938x56384 5 x, 0 xf x0,2035f xx454518 3x, 0 x 60,x 6267f x8f x21cos x, 0 x1,x20,xe x, xf x0,02285x6 7 x, 00,5 7 x, 0xf x0,10577 2 x, 0 xf x0,117x2f x1372f x0,14243 7 x, 00,26282976xf x4376xf x29x7 6 x, 0 x2527f x43xf x10310x32 9 x, 0 x0,f xx 310 3x, 0 x67x4 3 x, 0 x0,80,x39 3 x, 0 x 30,230,838 3 x, 0 xf x12x5767xf x9858 5 x, 0 x37x3716 4 x, 0 x 40,x 414314x314 3x, 0 xf x0,sin 2 x, 0x2f x0,x2Задача №2.10.*1) Представить интегралом Фурье функцию, заданную на интервале0,, продолжив её на всю числовую ось четным и нечетным образом271,1,20,f x01,xx1,x1.С помощью полученных интегралов Фурье вычислить следующие несобственные интегралы:0sin xdx ,x0sin 2 xsin 3 xdx ,xx02dx .2) Найти косинус- и синус-преобразование Фурье функции0 , представить её интегралом Фурье на интервалеf xe x, x0;.
С помощью полученных интегралов Фурье вычислить следу-ющие несобственные интегралы:0cos xx sin x1 x1 x2dx ,20dx .3) Найти косинус- и синус-преобразование Фурье функцииf x0;1a2x20 , представить её интегралом Фурье на интервале, a. С помощью полученных интегралов Фурье вычислить следу-eющие несобственные интегралы:axcos xdx ,eaxsin xdx .00(Задача №2.10. не является обязательной, включается в типовойрасчет по указанию преподавателя).Задачи по теме «Волновое уравнение»Задача №2.11. Методом Фурье найти решение уравнения колебанийструныd 2Udt 2d 2Udx 2длиныl=2,закрепленнойнаконцах:28u 0, tu 2, tям: U x,00 и удовлетворяющей следующим начальным условиdU x,0dtf x,вариантx.f xx1x,22 x, 1 x 2032 x,40x,3(2 x),368004 x 2 x2 , 0 x0x 1x 2, 1 x01012x, 00x242(2 x), 1 x00x,02x20x 1x222 x,x22020x,x2 2 x, 0 x 2x 11 x20x 19112 x x2 , 0 x2( x 2), 1 x 20570x 128x 4 x2 , 0 x20203 x,0x 13( x 2), 1 x 213143x 2 6 x, 0 x020x,50 x 1(2 x) 1 x 2,529154 x 2 x2 , 0 x16170x2219x2x,0262(2 x), 1 x028002, 101 x2x24x 1x,02x202x2 2 x, 0 x 2x 1x20x 12 x,xx 14 x 2 x2 , 0 xx 2, 1 x 20x,022527x 10x 11 x25(2 x), 1 x 200231 x0x,2( x 2),20x 1020x,3(2 x),305 x,x2,04x22224x020212x,32( x 2),3x, 01802022 x x2 , 0 x230ПриложениеПодробно содержание «Приложения» изложено в учебном пособии:Аксененкова И.М., Малыгина О.А., Чекалкин Н.С., Шухов А.Г.
«Ряды.Интеграл и преобразование Фурье. Приложения». М.: МИРЭА, 2015.Данное учебное пособие рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки РоссийскойФедерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебныхзаведений (инженерно-технические направления подготовки).Содержание «Приложения»:- числовые ряды, признаки сходимости; понятие абсолютной иусловной сходимости; действия с рядами;- функциональные ряды, область сходимости; понятие равномернойсходимости ряда; признак Вейерштрасса; непрерывность суммы функционального ряда; почленное интегрирование и дифференцирование ряда;- степенные ряды и их свойства; теорема Абеля; ряд Тейлора; разложения элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена);- приложения степенных рядов;- ряд Фурье; сходимость ряда Фурье; представление периодическойфункции рядом Фурье;- интеграл Фурье, преобразование Фурье;- решение волнового уравнения методом Фурье.311.
Числовые рядыЧисловой ряд, сходимость числового рядаОпределение.Пустьзаданачисловаяпоследовательностьa1 , a2 ,..., an ,... . Составленное из членов этой последовательности выра-жение a1 a2 ... an ... называется числовым рядом,члены последова-тельности называются членами этого ряда, a n - общий член ряда. Обычно числовой ряд кратко записывается в видеan .n 1Рассмотрим суммы S1 a1 , S 2a1a2 , . . .
S na1 a2 ... an .Определение. Сумма S n a1 a2 ... an называется n-ой частичнойсуммой ряда. Частичные суммы образуют новую числовую последовательность S1 , S 2 ,..., S n ,... .Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.S . Число S называется суммой ряда.lim S nnОпределение. Числовой ряд называется расходящимся, если пределпоследовательности частичных сумм равен бесконечности или не существует.Рассмотрим примеры на вычисление суммы ряда по определению.Пример. Вычислить сумму рядаn12)1 (3n 1)(3n12 511......
.5 8(3n 1)(3n 2)Решение. Представим общий член ряда в виде разности1(3n 1)(3n 2)13(3n 1)13(3n 2)и вычислим частичную сумму с номером n3213 2Sn13 513 513 813 (3n 1)...13 (3n 2)12 313(3n 2)Существует конечный lim S n = 1 6 . Значит, данный ряд сходится и егоnсумма равна 1 6 .Пример. Исследовать на сходимость ряд(2n 1)1 3 5 ... (2n 1) ... .n 1Решение. Вычислим частичную сумму этого ряда1 (2n 1)n21 3 5 ... (2n 1)SnSnВ этом примере limnn2., следовательно, данный ряд расходится.Пример.
Исследовать на сходимость ряд( 1)n11 - 1 1 - ... (-1)n1... .n 1Решение. У этого ряда все частичные суммы с нечетными номерами равны 1, а частичные суммы с четными номерами равны 0. Значит,предел последовательности частичных сумм не существует, и ряд расходится.Геометрическая прогрессия и гармонический рядОпределение. Геометрической прогрессией называется числоваяпоследовательность b, bq, bq 2 , .. . , bq n 1 , ...
(b 0, q 0) . Суммируя членыгеометрической прогрессии, получим рядb qn 1 .n 1Теорема. Рядb qn1сходится при условии q 1 , и его суммаn 1равнаb1 q. Если q 1 , то рядb qn1расходится.n 1Доказательство. Запишем частичную сумму этого ряда33Sn1b bq bq 2.. . bq n двумя способами:Sn1b q(b bq.. . bq n 1 )Sn1(b bqb q Sn ,..
. bq n 1 ) bq nbq n .SnПриравнивая эти выражения: b q S nbq n ,Snполучим S n (1 q) b(1 q n ) .Предполагая, что q 1 , выразим S n : S nb(1 q n ).1 qВ случае, когда q 1 , очевидно, что S nn b и lim S nn, т.е. рядрасходится.qnЕсли q 1 , то limnсумма Sb1 q0 и1 qn, т.е. ряд сходится, и его.qnЕсли q 1 , то limnесли qblim S nи limSnn, т.е. ряд расходится. Наконец,1, то частичные суммы попеременно принимают значенияbи 0. Предел последовательности частичных сумм не существует. Рядрасходится.
Теорема доказана.Определение.Рядn11 n1121...31n... называется гармони-ческим рядом.Каждый член гармонического ряда, начиная со второго, являетсягармоническим средним соседних с ним членов:1an1 12 an 11an.1Покажем, что гармонический ряд является расходящимся. Для этого воспользуемся тем, что последовательность11nnявляется моно-341тонно возрастающей и lim 1nnne (2-ой замечательный предел). Всеn1nчлены этой последовательности меньше числа e . 1e , n 1,2,3,...
.Прологарифмируем данное неравенство по основанию en1nln 1ln en lnn 1n1n1ln( n 1) ln n . Полу-ченное неравенство справедливо для всех натуральных значений n :1 ln 2 ln 1;12ln 3 ln 2 ;131nln 4 ln 3 ;. . .Складывая эти неравенства, получим 112ln( n 1) ln n .11...3nln( n 1) . Этоозначает, что с возрастанием n частичные суммы гармонического ряданеограниченно возрастают и, следовательно, гармонический ряд расходится.Необходимое условие сходимости числового рядаТеорема.
Если числовой ряд сходится, то его общий член стремитan, т.е. limnся к нулю при nanСледствие. Если limn0.0 , то ряд расходится.Доказательство теоремы. Для сходящегося рядаlim S nnlim annlim (S nn1S.Sn 1 )АSтакSкакanSnSn 1 ,lim S nnS ито0.Доказанная теорема – это лишь необходимое условие сходимости.При нарушении этого условия ряд заведомо расходится.35anЕсли limn0 , то, как показывают примеры, приведенные ни-же, ряд может сходиться или расходиться.
Так, для рядовnиn11 n12)1 (3n 1)(3nнеобходимое условие сходимости выполнено, но первый изних является сходящимся, а второй – расходящимся.Необходимое условие сходимости удобно применять для доказательства расходимости рядов.Пример. Исследовать рядn2n 1на сходимость.21 3nlimРешение. Посколькуn2n 13n 2230 , то заданный ряд расхо-дится по необходимому условию (оно нарушено).Пример. Исследовать рядn 1Решение. Рядn 13n 1limn3n 2n3n 13n 23n 13n 2nна сходимость.nявляется расходящимся, т.к.1lim 1n3n 2(3n 2 )n3n 2e1313e0 , т.е. необхо-димое условие не выполняется.Определение.
Если отбросить первые n членов рядаa k , то поk 1лучится рядakan1an2an3... an k ... , который называется остат-k n 1ком данного ряда с номером n .Теорема. Ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится любойиз его остатков.36Следствие. Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияетна сходимость ряда.Теорема. Если ряд сходится, то сумма его остатка стремится к нулю с возрастанием номера остатка.Критерий Коши сходимости рядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
