Учебно-методическое пособие (для очной формы обучения) (1021370), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Задачи, аналогичные задачам этой части, включены в экзаменационный (зачетный) билет.Основные определения и теоремы, а также разбор решения задач почасти 1 приведены в Приложении.Задача №1.1. Найти сумму S числового ряда.19n11n( n 1)10n11(2n 1)( 2n 1)11n11(3n 2)(3n 1)12n11n( n 3)11(2n 1)( 2n 5)14n11n(n 1)( n 2)234n561n12nn 13n2n6nn 12n( 1) n3nn 11n 14n 2 113n 2 n 1n 1n 1n 117nn 2107152n 1n2 12n 1221n n 1n 2n8n3nn 12n6n16n 11016)(n(n17)Задача №1.2. Установить сходимость или расходимость числового ряда.Указание. В №1-№15 использовать необходимое условие сходимости.13)5n 49810(2n 3) sin(n 12n 2 arctg (n 13n4n25)5n6n 175n 2 15n 2 8n 18nn 12nn ln61)13)nn 1003n 13n 5n 1n2n2 n 1n2 n 1n 1142n 53n 73nn 13n 12n 12n125n 2n 12171 100ncos(3n113n 2 (1 cos )n15n (e8n3n 12n3lnn 115n2 6n3n 1n 105n 34n 2n 12n 13n 110n 11Указание.
В №16-№30 использовать признаки сравнения.161n 1n17n2ln n1 n236n 10nn 1n 124n 3 arctg (n 13n 5 15)11183n2nnn 134n19n204n 351 3n1n 121n225n 1261227n 3 6n 10 (3n 1)11ln n 1n28n(n 1)2 n 51 n n29n5 4n3n 21 2222n2 5n 12n83n 2 14n 3 7nsin 2 n2n14n (e1n1) sinn 130tg 21n4n 1n 1Указание. В №31-№38 использовать признак Даламбера.31n32(5n 6) 32n13n 1n 133n34nn335n3682nn 1375n1 n!n!n2n13nn1 n!n 1 3nn 2 sinn 1382n2n 1 !!n 13n n!Указание. В №39-№50 использовать радикальный признак Кошиили интегральный признак Коши.39n 1n 13n 4n45n12 n ln n12403n 13n 4n 141nn3n arcsin nn 1n472nnn 11 ln424346n21 n 1nn1244n 113n 1 n ( 2 ln n 5)4841n 1n ln n ln ln nn 349n23n ln n ln ln nn 3503n5n 24n 115ln n2 n9nenn 1Задача №1.3. Исследовать на абсолютную и условную сходимостьзнакопеременный ряд.11n 12nn68n 164n 3n 191n14n 13n 19n 2410n 12n 51n 2n ln nn 21n ln n51 n 1 lnn 17nln n1( 1) nn 11213n 1n87n 17n 51 n!nnn1 n arctg (n 11n)n2nn 21 (2n 3) sin (n 1163 n ln n (ln ln n)11n1 (5n 4)2nn 1nn 16nn 111n 11 n 1 tg141n 1n5n 1n3n 11)n413Часть 2Типовой расчетРешение задач части 2 позволяет успешно подготовиться к контрольной работе №2.
Часть 2 содержит задачи типового расчета. Задачи, аналогичные задачам этой части, включены в экзаменационный(зачетный) билет. Наличие выполненного типового расчета являетсянеобходимым условием допуска студента к сдаче экзамена (зачета) покурсу.Основные определения и теоремы, а также разбор решения задачпо части 2 приведены в Приложении.Задача №2.1. Исследовать на сходимость числовой ряд.вариантвариант136n 76n 4nn 124n (e8n15n21)n 2 (1 cos(n 15n 161724) 5n 1 n (7 ln n45n 2n 13n8n16n 13n 1n!( n 3)!( 2n)!))n!nn(3n 1) 24 9n 5n 1 n nnn2ln( n 5)n 5n 118cos 4 nn 119n 120n 1(3n 5)532n 2 111(1 cos( ))n 5nn 1n 3n3 2 n147n 1812n 19n 11021n 5n 2lnn2n 52n 1n21(2n 3) sin ()n 1n 1n 112n 113n 1145n 35n 4n34n 98n 1 9n 15n2 1n2 1n22(5n3sin 2 n4) nn 1 (6 n1) n2n 13nn 1( n 1)!nn 22323n 5n!41132) 5 ln( n 2)n 1 (n24n(n 4) arcsin(n 125n 12645nn1 2nn44n25)n n95(3n2) (10n51)n 127nnn 128n2n235sin( ) cos()nn 21Задачи по теме «Функциональные ряды»Задача №2.2.
Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.вариантвариант1n( x 6) n1 ( n 1) ln( n 1)2n( x 7) nn 19n 2 115n 12n2n 5163nx 4x 1 2nn 1n2n1n 1n153nx 2n 1n13 n n 1172 n ( x 1) n184n 15n 16n 1711( x 1)n 1n 1nn 3n lnx 2n11213n 214nn 1n 3n( x 3) n sin(( x 2) n (e)3n1)nnx 5n ln 3 n5( x 4) n actg ( )n128x 2nnn 2n5n 127n2n 2x 111n 2 n ln nn25n132n ln nn 1(n 1)! ( x 5) nn3 2n 1263n xn 1222n x 33n 12nn 1n24n2))n4x 172n 1 ln 2n 123n 3n 1n11( x 3) n (1 cos(21arctg nx 5nn 2112 nnn 13n 1x 1nnn 1n3n3 3ln n 1x 71 n 120nnn 1x 1 ln10n( x 5) nn 1n 1919n3n 13n 2x 10 nnn 1n( x 100) nn 12n 1 nxnn 1n 18n 1n n2 11n1n( x 3) n sin 4 (n 11n) tg (4)5n 116Задача №2.3.* Найти область сходимости функционального ряда.(Задача не является обязательной, включается в типовой расчет поуказанию преподавателя).вариантвариант1101n 1n22 2n 1n 2 e n xx111n 113xsinn 14x122nn 113cos nxn2 xe15n16n 1e9n 11n1n arctg 2 nx171nxsin nx 2n2x 13x 5n 1n 1nxn2nx 2 1n 1xn 18n2ne nxn 12xx 1142nn 1nxnxn 1xx ntg7n 1nn2n 161nsin nx51n cos 2 nxn 1182nnsin nx 29n1Задача №2.4.
Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать, чтофункциональный ряд сходится равномерно в указанной области.вариантвариант1nsin nx,x1n n x0;15x 2en 1nx,x0;172n 11xsin , xnn3cos nxn 1e2nn x4xnn4n 1x456n4n,x2x2nncos nx,x1 n n78xnn21n9x2210nnxn 1n312x13n 1n6,xn,x3n2 x2 )14xnxn 1n6x6n221;11;22,x35;;;,xx50;0;,xn n 1;arctg nx,x2n3n 1 x24sin 4 2nxn n4 1n 126,xx52 x2ln(1n 1,x0;cos 3 nx250;,x,x23,xx5n 512 n211;1;nx3n 1nx6520;1nx3n 1n;,xx6nx 2nnxnn 13 (119n 1n2 nxn!1112;26;,xx4n2 x2n 1n;,xn 1 x 2nn 141n181;1,xx4nxn,x41n17;,xsin 3nx 2,x22x3n1x2nxnn 12160;;,x;xn), xn30;1( x 1) sin 2 nx, x [ 3;0]nn1n 1271xn 128nn 12xn1nn,x3;5nx,x2;318Задача №2.5.
Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Указать область сходимости полученного ряда.Указание. Использовать разложения элементарных функций в степенные ряды.вариантвариант1y( x 4)3 e2y(3x 2ye4y1 x e5y( x 7)3 tg x 7 , x0367y3x 5, x0x 1)e 2 x 1 , x0x2 6x5x4x2 3, x03x 4, x02x 3, x0x 5x 69yx 2 sin 9 x cos 9 x, x010yx 5 cos 2 3x , x0121314yy6 x 7 , x03x 2, x0x 2x 32x 3 ln322, x0( x 5) 3, x08x 116y( x 5) 2 e3 x 4 , x017y 6 ch(5 x), x0018y 8 sh(7x), x219y ( x 4) ln 3 2x , x020yln 2 x 2 3x 2 , x0 121y(xyln230052) 5 tg x542 , x02 x, x02 x212yx 2, x03x 7224y x (1 sin 2 6 x), x0 025y2601 x, x01 xx 4 e5 x000y2212y sin 4 x, x070yy0, x0 14 sin 2 3x 211153y84y8x 4 arcsin( 2 x), x01 3x 2 , x00027y( x 4)3 ln 3x 18 , x028y5x 3 arctg(4 x), x00419Задачи по теме «Применение степенных рядов»Задача №2.6.Варианты 1-6.
Найти производную n-го порядка функции f (x) вточке x0 , используя разложения элементарных функций в степенныеряды.вариант12n вариант24f ( x) ( x 2) 20 e x 4 x , 27x0 21805,f ( x)x2x031f ( x)x02x 7x248x,5x 66f ( x)252x sin 8x , x00f ( x) ( x 3) 5 arcsin(5x 15) , 100x0 3f ( x) ln(6 x 11) x 2 , x0 11Варианты 7-10. Решить задачу Коши, используя теорию рядов.Вариант12xy' ' xy ' y e , y(0) 1, y' (0)78y' y 29y' ' xy 210y' 'x 3 , y(0)y' , y(0)x sin( y ' ), y (1)02, y' (0) 30, y' (1)2Варианты 11-21. Вычислить приближенные значения определенного интеграла с точностью до 10вариант11, используя теорию рядов.вариант0.501241 x0.5e016dx-x 24dx0.5017n900.20ln 1 x 2x2dxarctg (2 x)dxx150201318sin x 2dxx01140.815031 x 2 dx01951 x dx00.30.61arcsin x 2dxx2020ln 1 xdxx0.51 x021114dxcos x 3 dx0Варианты 22-28.Вычислить сумму числового ряда, используяразложения элементарных функций в степенные ряды.вариант22вариант2n2612 n!n231 1 1...2! 3! 4!249 273n4......2! 3!n!1 11n1......3! 5!2n 1 !251n 1...n 1!2728( 1) nn115222422nn...(1)...5 2! 53 4!52 n 1 (2n)!11 11n......3 52n 1Задача №2.7.
Вычислить сумму ряда, используя дифференцирование или интегрирование степенного ряда.вариант1223n 1......25 55n2 2 4 23 6 252n 2 2 n...3333532 n 111...213821 242 2 3 22(n 1) 2 n1......3323n2 2 23 3 25n 22 n 1......3333532 n 15832 3611 272387 921 2910111243372 9 32 34 34213 3... ( 1) n523 46353 2421512 3843 415 32... ( 1)... ( 1) n73 9 43 41n 18 n 1n (n 1)...5 n 1n (n 1)2n32 n 1......... ( 1) n5 443... ( 1) n17 33...
( 1) n17n 9 n 1n (n 1)n (n 1)4n 21(2n 1) 3n2 5 3 521)5 nn (n...(1)7727n1 23n... ( 1) n 1 2 n 1 ...355 5551131213 1!1...4 2!1412213 1!222n... ( 1) n...4 2!(n 2) n!15311 4161223!1752523 1!535n 1... ( 1) n...4 2!(n 2) n!18122 713!3 724!19211 4322 5333 n... ( 1) n 13 6n (n 3)3...4!222 51...(n 2) n!333 6n(n 1)!...... ( 1) n......(n 1) 7 n(n 2)!2 nn (n 3)..................222021222324123n... ( 1) n 1 3n 1 ...2585555351 2 2 23 2n 22 n 1......7737572n 12 2 3 22(n 1) 2 n1......3323n2 2 23 3 25n 22 n 1......7737572n 11313 32251332362612271 23n...
( 1) n 1 2 n 1 ...354 4442 1 3 2 4 3 5 4n (n 1)... ( 1) n02333333n 228212 315 3333917 34...... ( 1) n1( 1) nn33n222 n1n 1... ( 1)3 4n (n 1)1(2n 1) 3n...1.........Задачи по теме «Ряд Фурье. Интеграл Фурье»Задача №2.8.Варианты 1−5. Разложить функцию, заданную на интервале 0; l ,в ряд Фурье по синусам. Исследовать сходимость полученного рядаФурье. Нарисовать график суммы ряда Фурье.
При помощи полученногоразложения вычислить сумму числового рядаk 0( 1) k.2k 11Записать равенство Парсеваля, найти сумму рядаk21k.Варианты 6−10. Разложить функцию, заданную на интервале 0; l ,в ряд Фурье по косинусам. Исследовать сходимость полученного ряда23Фурье. Нарисовать график суммы ряда Фурье. При помощи полученного1разложения вычислить сумму числового рядаk 02k 12.1Записать равенство Парсеваля, найти сумму рядаk 02k 14.Варианты 11, 12. Разложить функцию, заданную на интервале0; l , в ряд Фурье по косинусам. Исследовать сходимость полученногоряда Фурье.
Нарисовать график суммы ряда Фурье. При помощи полу1ченного разложения вычислить суммы числовых рядовk 1k( 1) n.211 4n4n21Записать равенство Парсеваля, найти сумму рядаk 1( 4n21) 21,.Вариант 13. Разложить функцию, заданную на интервале 0; l , вряд Фурье по косинусам. Исследовать сходимость полученного рядаФурье.
Нарисовать график суммы ряда Фурье. При помощи полученного1kk2разложения вычислить суммы числовых рядовk 1сать равенство Парсеваля, найти сумму рядаk1,k1 . Запи21k1 .41kВариант 14. Разложить функцию, заданную на интервале 0; l , вряд Фурье по синусам. Исследовать сходимость полученного рядаФурье. Нарисовать график суммы ряда Фурье. При помощи полученногоразложения вычислить сумму числового рядаk 0( 1) k.( 2k 1)3Записать равенство Парсеваля, найти сумму рядаk1 .61kВарианты 15-20. Разложить в ряд Фурье периодический сигналu (t ) с периодомT2l . Исследовать сходимость полученного ряда24Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
