Учебно-методическое пособие (для очной формы обучения) (1021370), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Линейные действияс рядамиТеорема (критерий Коши сходимости ряда). Для сходимости числового рядаa n необходимо и достаточно, чтобы для любого0 су-n 1ществовал такой номер N, что для всех n N и для всех натуральныхчисел k выполнялось неравенствоan1an2... ank.Сходящиеся ряды обладают следующими свойствами.Теорема.1) Если рядan сходится и его сумма равна A , то рядс ann 1n 1также сходится и его сумма равна cA , где c - любое число.Другими словами, если члены сходящегося ряда умножить на однои то же число, то его сходимость не нарушится ис ann 12) Если рядыan иn 1ответственно, то ряд(ann 1bn )(a nbn сходятся и их суммы равны A и B соbn ) также сходится и его сумма равна A B ,bn .ann 1n 1n 1n 1т.е.an .сn 137Числовые ряды с положительными членамиОпределение.
Положительными называются ряды, все члены которых неотрицательны: an 0 .Последовательности частичных сумм таких рядов монотонно возрастают, т.к. S n 1 S n an 1 S n , n 1, 2, 3,...Как известно (теорема Больцано-Вейерштрасса), монотонная последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда, когдаона ограничена. Отсюда вытекает следующее утверждение.Теорема. Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когдапоследовательность его частичных сумм ограничена.Непосредственное применение этого утверждения для доказательства сходимости обычно бывает затруднительным. Проще использоватьдругие средства, о которых идет речь ниже.Признаки сравненияТеорема (первый признак сравнения).
Пусть даны два положительных ряда:an(1) иn 1bn(2) . Если для всех номеров n (илиn 1для всех номеров n , бóльших некоторого номера N ) выполнено неравенство anbn , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), аиз расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).Доказательство.Будем предполагать, что неравенство anbnвыполнено для всех номеров n . В противном случае можно отброситьконечное число членов ряда, для которых неравенство не выполнено,чтоa1неa2... anповлияетb1b2... bn .насходимостьряда.Тогда38Если ряд (2) сходится, то его частичные суммы, согласно теоремеБольцано-Вейерштрасса, ограничены, т.е.
b1 b2 ... bnS для любогоn , где S - некоторая константа. Но тогда ограничена и последователь-ность частичных сумм ряда (1), и ряд (1) сходится.Если же ряд (1) расходится, то, предполагая, что ряд (2) сходится,получим противоречие. Теорема доказана.1Пример. Исследовать на сходимость рядn 1Решение. Рассмотрим рядn12nn.1, который сходится, как суммаn1 2геометрической прогрессии со знаменателем qсправедливо неравенство2nn1.
Для всех номеров n21. Согласно первому признаку срав2nнения данный ряд также сходится.Пример.1Исследовать на сходимость рядn 1n.Решение. Рассмотрим для сравнения гармонический рядn1, ко1 nторый, как уже было доказано, расходится.
Для всех n 2 справедливонеравенство1n1, следовательно, данный ряд также расходится поnпризнаку сравнения.Теорема (предельный признак сравнения). Пусть даны два положительных ряда:an ,(1)n 1bn , ( bnn 10 , начиная с некоторого номера n ).(2)39Если существует конечный, отличный от нуля limnan, то ряды (1) и (2)bnоба сходятся или оба расходятся.Доказательство. Предположим, что ряд (2) сходится. ОбозначимlimnanbnA , A 0 . По определению предела для любого положительногои достаточно больших номеров n будет выполнено неравенствоanbnAили an(A) bn .Т.к. ряд (2) сходится, то согласно свойству сходящихся рядов сходится иряд)bn , а, значит, по первому признаку сравнения сходится и(An 1ряд (1).Рассматривая limnbn, который также существует, конечен и отлиanчен от нуля, придем к выводу, что из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2).
Итак, если один из рядов сходится, то другой такжесходится.Далее, предполагая, что один из рядов расходится, а другой сходится, получим противоречие с уже доказанным утверждением. Теоремадоказана.Замечание. Если limnсходимость рядаbnan0 , то из сходимости рядаan вытекаетn 1bn .n 1Еслиlimnмость рядаbnanan .n 1, то из расходимости рядаbn вытекает расходиn 140Пример.
Исследовать на сходимость рядn1.21 nРешение. Пользуясь определением сходимости, т.е. рассматриваяпредел частичных сумм, уже было доказано, что рядnсходится. Значит, сходится рядn1,21 n12)1 (3n 1)(3nт.к. предел отношения общихчленов этих рядов конечен и отличен от нуля1n2limn1(3n 1)(3n 2)limn(3n 1)(3n 2)n2lim 3n1n2n39.Признак ДаламбераТеорема. Пусть дан положительный рядanи существуетn 1limnan 1anD .
Если D 1, то ряд сходится, если D 1 , то ряд расходится.1 D2Доказательство. Пусть D 1. Возьмем0 . Согласноопределению предела, начиная с некоторого номера N , будет выполнено неравенствоan 1anDОтсюда получим a N. aNkD11 D2aN q ,aN1 D22aNq 1.1qaN q 2 , .....a N q k , т.е. члены ряда оказываются меньше, чем члены бесконеч-но убывающей геометрической прогрессии. Значит, согласно первомупризнаку сравнения, ряд сходится.41Если D 1 или D, то члены ряда оказываются больше, чемчлены бесконечно возрастающей геометрической прогрессии, и, значит,ряд расходится.Пример. Исследовать на сходимость рядnn.n1 3Решение.
Вычислим предел отношения последующего члена рядак предыдущемуn 1n 1lim 3nn3nlimnn 1 3nn 3n 111lim 1n3n11,3т.е. ряд сходится попризнаку Даламбера.Пример. Исследовать на сходимость рядnnn.1 n!Решение. Вычислимlimnan 1anlimn(n 1) n 1 n!(n 1)! n nlimn(n 1) n n!n!nnlimnn 1nnlim 1n1nne 1,и, согласно признаку Даламбера, данный ряд расходится.Радикальный признак КошиТеорема (радикальный признак Коши). Пусть дан положительныйрядan и существует lim n ann 1K1 , то ряд расходится.nK . Если K1 , то ряд сходится, если42Доказательство.Пусть1 K21 . ВозьмемK0 . Согласноопределению предела, начиная с некоторого номера N , будет выполнено неравенствоnили ananK1 K2K1 K2q 1,q n , т.е.
члены ряда оказываются меньше, чем члены бес-конечно убывающей геометрической прогрессии. Значит, ряд сходится.Если K 1 или K, то члены ряда оказываются больше, чемчлены бесконечно возрастающей геометрической прогрессии и, значит,ряд расходится.Пример.
Исследовать на сходимость рядn 1n 13nn.Решение. Вычислимlim n anlimnnn 13n13limn13n11,3значит, ряд сходится порадикальному признаку Коши.Пример. Исследовать на сходимость рядn111nn1 2n2.Решение. Применим радикальный признак Коши:lim n annlimn1112nne1 , значит, ряд расходится.2Замечание. Признаки Даламбера и Коши не дают ответа на вопросо сходимости ряда в случае, когда соответствующие пределы равны 1.Например, вычислим эти пределы для гармонического рядаnдимость которого была доказана:limnan 1anlimnnn 11,1, расхо1 n43lim n ann1nlim nnlim n1nln nnlim enlimennln nne01.При вычислении последнего предела было использовано правилоЛопиталя для раскрытия неопределенностиln xx: xlim1lim xx1limx1x0.Такой же результат получим, рассматривая сходящийся рядnn2limn(n 1) 2alim n 1nanlim annn1lim 2nnlim nn2nnlimnlim en2n1,n 12 ln nn1:21 ne2 limnln nne0 1 .Интегральный признак КошиТеорема (интегральный признак Коши) .
Пусть дан положительный рядan , общий член которого совпадает со значением некоторойn 1функции f (x) при x n :anf (n) . Предположим, что функция f (x)определена, положительна, непрерывна и монотонно убывает при x 1 .Тогда рядan сходится, если сходитсяn 1f ( x)dx , и расходится, если этот1интеграл расходится.Доказательство.
Для иллюстрации рассмотрим график функцииyf (x) , удовлетворяющей условиям теоремы, и построим ступенчатыефигуры, одна из которых вписана в криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции yf (x) , осью Ox и прямыми x 1 , xдругая описана около этой трапеции.n, а44Площадь вписанной ступенчатой фигуры равнаплощадь описанной фигуры равнаволинейной трапеции равнаna1a2a3... an ,a2 ... an 1 . Площадь самой кри-f ( x)dx и заключена между площадями впи-1санной и описанной фигур:a2a3 ... an <nf ( x)dx < a1a2 ... an 1 .1Пусть интегралf ( x)dx сходится, т.е. имеет конечное значение:1f ( x)dxJ . Тогда частичные суммы ряда S n ограничены:1nSna1a2...
a nf ( x)dxa1a1J.1Следовательно, ряд сходится.Еслиf ( x)dx расходится, то1nSna1a2... a nnf ( x)dx a n1следовательно, ряд расходится.f ( x)dx1, n,45Пример. Рассмотрим рядn1, который называют обобщенным1 ndxгармоническим рядом или рядом Дирихле. Интеграл1условии1 и расходится при условииный гармонический ряд сходится, еслисходится приx1 , следовательно, обобщен1 , и расходится, если1.На основе этого примера можно сформулировать следующий признак.Признак Дирихле.
Обобщенный гармонический рядnесли1 , и расходится, если1сходится,1 n1.Пример. Исследовать на сходимость рядn1.2 n ln nРешение. Соответствующий несобственный интеграл2dxx ln xd (ln x)ln x2ln(ln x) 2, а, значит, данный ряд расходится по ин-тегральному признаку Коши.Замечание. Выше приведены основные признаки сходимости положительных рядов. Есть другие, более «тонкие» признаки, дающие ответ на вопрос о сходимости рядов в тех случаях, где рассмотренные признаки «не работают».Знакопеременные числовые рядыОпределение. Числовой ряд называется знакопеременным, еслисреди его членов есть как положительные, так и отрицательные числа.Если отрицательных членов конечное число, то, отбросив их, получим положительный ряд.
Если положительных членов конечное чис-46ло, то, отбросив их, получим отрицательный ряд, который можно исследовать с помощью теорем о сходимости положительных рядов, изменивзнаки всех членов ряда. Существенно новым является тот случай, когдасреди членов ряда бесконечное число положительных и бесконечноечисло отрицательных чисел.Рассмотрим случай, когда знаки членов ряда чередуются, например, члены с нечетными номерами положительны, а члены с четныминомерами отрицательны.Определение.
Ряды представленные в виде( 1) n1илиann 1( 1) n a n ,где an0 , называются знакочередующимися рядами.n 1Теорема Лейбница (признак сходимости знакочередующегося ряда). Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю: an 1 an ,n 1, 2, 3..., и стремятся к нулю: lim a nn0 , то ряд схо-дится.Доказательство. Для определенности возьмем ряд( 1) n1an ,n 1an0.Рассмотрим последовательность частичных сумм с четными номерамиS 2n(a1a 2 ) ( a3a4 ) ... (a2n1a2n ) .Члены ряда сгруппированы так, что все слагаемые этой суммы –положительные числа. Значит, частичные суммы с четными номерамивозрастаютны S 2na1с(a 2ростомa3 ) ... (a2n2n.Сдругойсторо-a2n 1 ) a2n т.е. частичные суммы с четныминомерами ограничены первым членом ряда: S 2na1 . Следовательно, су-47ществует конечный предел lim S 2nnS .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
