Электричество и магнетизм (1019799), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Поле тонкой бесконечно длинной прямой нити, несущейзаряд с линейной плотностью λ.В качестве гауссовой поверхности возьмем цилиндр с радиусом r и высотой h, ось которого совпадает с заряженной нитью.Всю поверхность цилиндра разобьем на три части: S1 и S2 −поверхности торцов и Sбок − боковая поверхность. В силу симметрии в любой точке поверхности S вектор Е должен быть перпендикулярен заряженной нити и, кроме того, на боковой поверхности Е должен быть постоянен по модулю. Выберем произвольные точки на поверхностях S1, S2 и Sбок, вектора n1, n2, n3 и11Е1, Е2, Е3 − нормали к поверхностям и напряженности электрического поля в выбранных точках (рис 1.6).Т.к. вектора n1, E1 и n2, E2взаимно перпендикулярны, то,n2очевидно, должны выполнятьсяE2rследующие равенства∫∫ Еn dS = ∫∫ Еn dS + ∫∫ Еn dS + ∫∫ Еn dSn3SS1S2SбокE3E1= ∫∫ Еn dS = ∫∫ ЕdS = Е ∫∫ dS = Е 2πrhSбокSбокSбокПолученное выражение − леваячасть формулы (1.5).
Но заряд, заключенный внутри поверхности S,очевидно, равен λh. Откудаn1Рис.1.6Е=λ2πε 0 r(1.8)б). Поле бесконечной заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ=const.Ввиду симметрииn2 E2вектор Е должен бытьE3перпендикулярен этойплоскости. Он направn3лен от плоскости, еслиее заряд положителен, ик плоскости, если оназаряжена отрицательно.В качестве гауссовойповерхностивыберемn1 Eцилиндр с основаниями,1симметрично располоРис.1.6женными по разные стороны от плоскости, и с образующей, перпендикулярной к ней(рис.1.6).
Если S−площадь основания, то поток вектора Е черезоба основания будет 2ЕS. Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. на ней вектора Е и n взаимно перпенди-12кулярны. Следовательно, поток через всю поверхность цилиндрабудет равен ФЕ=2ЕS. Согласно теореме Гаусса тот же поток можно представить в виде ФЕ=q/ε0=Sσ /ε0. Сравнивая оба выражения,получаемЕ=σ.2ε 0(1.9)в). Поле шара радиуса R, равномерно заряженного по объему с объемной плотностью заряда ρ.Ввиду шаровой симметрии вектор Е параллелен или антипараллелен радиусу−вектору r, проведенному из центра шара вточку наблюдения.
В качестве гауссовой поверхности выбираемсферу S радиуса r. Поток вектора Е через эту поверхность 4π r2Eпо теореме Гаусса равен q/ε0. Поэтому при r≥R получаемqρR 3=.Е=4πε 0 r 2 3ε 0 r 2Таким образом, равномерноЕзаряженный шар (или сфера)создает во внешнем пространстρRве такое поле, как если бы его3ε 0заряд был сосредоточен в егоцентре.Совершенно так же вычисRляется поле внутри шара. ОноrРис.1.7определяется выражениемρrq′=.(1.10)Е=4πε 0 r 2 3ε 0График зависимости E от r представлен на рис.1.7.1.5.
Потенциальность электрического поля. Циркуляциявектора напряженности электрического поля по замкнутому контуруРассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q. Сила, действующая в таком поле на пробный заряд qпр13r⎛ 1 q r⎞r ⎟⎟F = qпр ⎜⎜34rπε⎝⎠0Пусть заряд qпр пеFремещается из точки 1 вdrαточку 2 по произвольноdlму пути 12 (рис.1.8). Работа δА, совершаемая си12rлами поля при перемещеdlнии qпр наr1r равнаrr2δА = F , dl = Fdl cos α .Но dlcosα=dr − изqменение расстояния от qпрРис.1.8до q при перемещении наdl, следовательно, δА=Fdr. Полная работа при перемещении qприз точки 1 в точку 2 будет2qqпр r2 dr qqпр ⎛ 1 1 ⎞⎜⎜ − ⎟⎟ .(1.11)А12 = ∫ Fdr =∫ 2=4πεr4πεrr10 r10 ⎝ 12 ⎠Получили, что А12 не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положения заряда qпр. Этоозначает, что центральное кулоновское поле является потенциальным (консервативным).В курсе “Механика” показывалось, что для любого потенциального поля выполняется условиеr rF∫ , dl = 0(())Lдля любого замкнутого контура L (такой интеграл называетсяциркуляцией).
После делениявыражения на qпр, получимrr данного(1.12)∫ Е , dl = 0 .()LЦиркуляция вектора напряженности электрического поляточечного заряда по замкнутому контуру равна нулю.На основании принципа суперпозиции из консервативностиполя точечного заряда следует консервативность произвольногоэлектрического поля.14() ()()r rr rr r∫ Е , dl = ∫ ∑ Еi , dl = ∑ ∫ Е , dl = 0 ,LLLт.е. соотношение (1.12) выполняется для любого электрическогополя.1.6.
Потенциал электрического поля1.6.1.Потенциал поля точечного зарядаВ курсе “Механика” было показано, что в любом потенциальном поле работа сил поля может быть представлена как убыльпотенциальной энергии:A12=W1−W2(1.13)С другой стороны для электростатического поля должно выполняться соотношение (1.11). Сравнивая (1.11) и (1.13), можно сделать вывод, что потенциальная энергия взаимодействия точечныхзарядов q и qпр равна1 qqпрW=+ const .4πε 0 rЕстественно потребовать, чтобы при удалении пробного заряда на бесконечность его потенциальная энергия обращалась вноль, откуда получается const=0.
Тогда1 qqпр.W=4πε 0 rИз последнего выражения видно, что отношение W/qпр независит от qпр и является скалярной характеристикой электрического поля. Это отношение называется потенциалом электрического поля в данной точкеWϕ=.qпрПотенциал численно равен работе, совершаемой силамиполя по удалению единичного положительного заряда из даннойточки в ту, где потенциал принят равным нулю.В СИ потенциал измеряется в вольтах [В]: 1В=1Дж/Кл.Потенциал поля точечного заряда151 q.(1.13)4πε 0 r1.6.2.Связь между потенциалом и напряженностьюэлектрического поляϕ=В курсе “Механика” , было показано, что в потенциальныхполях существует связь между силой, действующей на тело, и егопотенциальной энергией: rF = − gradW .rrДля точечной частицы с зарядом q F = qE и W = qϕ , поэтомуr⎛ ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r ⎞E = − gradϕ = −⎜⎜i+j+k ⎟⎟ .(1.14)∂x∂y∂z⎝⎠В СИ напряженность электрического поля измеряется в В/м.1.6.3.Потенциал поля системы точечных зарядовЕсли электрическое поле создано системой точечных зарядов, то, согласно принципу суперпозиции и правилам дифференцирования,rможноr записатьE = ∑ Ei = −∑ gradϕ i = − grad (∑ ϕ i ) = − gradϕ ,1qгде ϕ = ∑ ϕ i =∑ i − потенциал поля системы точечных за4πε 0 riрядов.1.6.4.Потенциал поля зарядов, непрерывно распределенных в объеме VПусть электрический заряд распределен в конечной областипространства объемом V, и задана объемная плотность зарядаρ(x,y,z).
На бесконечности потенциал считаем равным нулю. ТогдаρdV1ϕ (x , y , z ) =.∫∫∫4πε 0 V rПри непрерывном распределении зарядов с конечной плотностью ρ потенциал никогда не обращается в ноль.162. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ2.1. Электрический дипольЭлектрическим диполем называется система двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов +q и −q, расстояние между которыми много меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы.Пусть имеется два точечных заEряда +q и −q. l − радиус−вектор, проErведенный от отрицательного заряда кEθположительному.АНайдем потенциал и напряженность электрического поля в точке,r−положение которой определяется раr r+диус−вектором r (r>>l) (рис.2.1).θИз рисунка видно, что+q−qlllr+ ≈ r − cos θ и r− ≈ r + cos θ .Рис.2.122Потенциал в точке А равен1 ⎛q q⎞q r− − r+ ql cos ϑ⎜⎜ − ⎟⎟ =ϕ( r ) =≈.4πε 0 ⎝ r+ r− ⎠ 4πε 0 r− r+4πε 0 r 2Введем в рассмотрение электрический момент диполя p=ql,тогда потенциал в точке А можно записать в следующем видеr r1 ( p,r )1 p cos ϑ.(2.1)ϕ( r ) ==4πε 0 r 24πε 0 r 2Напряженность в точке А можно посчитать, перейдя в полярную систему координат и представив E = Eϑ2 + Er2(см.рис.2.1).
Проделав соответствующие выкладки, получаем1 р2Е=1+3cosϑ.(2.2)4πε 0 r 32.2. Поляризация диэлектриковДиэлектрики − вещества, не обладающие способностьюпроводить электрический ток.17Различают следующие виды диэлектриков − полярные, неполярные и ионные кристаллы.Неполярные диэлектрики (Н2, О2, N2 и др,) состоят из неполярных молекул. У таких молекул “цент тяжести” положительного и отрицательного зарядов совпадают друг с другом и их дипольный момент равен нулю.Полярные диэлектрики состоят из полярных молекул (HCl,NH, H2O и др.). “Центры тяжести” положительного и отрицательного зарядов таких молекул не совпадают и их дипольныймомент отличен от нуля.Кристаллическую решетку ионных кристаллов можно представить как совокупность двух подрешеток, одна из которых образована положительными ионами, другая − отрицательными.Под воздействием внешнего электрического поля (если ононе очень велико) происходит процесс поляризации диэлектриков.В зависимости от типа диэлектрика механизм поляризации может быть следующим.1.
В неполярных молекулах центры тяжести положительного и отрицательного зарядов смещаются друг относительно друга и молекула приобретает дипольный момент,ориентированный вдоль вектора Е внешнего поля (электронная поляризация).2. Полярные молекулы преимущественно ориентируютсвои собственные дипольные моменты по направлениюполя (ориентационная поляризация).3. В ионных кристаллах обе подрешетки сдвигаются друготносительно друга, что также приводит к поляризациидиэлектрика.Процесс поляризации диэлектрика количественно описывается с помощью вектора поляризации Р − дипольного моментаединицы объема диэлектрика.rp∑irP = ΔVΔV ,где рi − дипольный момент молекул, заключенных в физическималом объеме ΔV.18У изотропных диэлектриков любого типа вектор Р связан снапряженностью электрического поля в той же точке пространства (при условии, что напряженность внешнего поля многоменьше напряженности внутриатомныхполей) соотношениемrrР = κε 0 Е ,(2.4)где κ − диэлектрическая восприимчивость,− постоянная, зависящая от свойств данного вещества.В случае полярных диэлектриков ориентирующему действию внешнего поля мешает тепловое движение молекул, стремящееся “разбросать” их дипольные моменты по всем направлениям.
В результате устанавливается некоторая преимущественная ориентация дипольных моментов в направлении поля. Оказывается, что при постоянной напряженности поля диэлектрическая восприимчивость обратно пропорциональна температуре.2.3. Связанные зарядыНа рис.2.2 диэлектрик показан в виде параллелепипеда. Выделенные малые объемы ΔV − эллипсоиды. В отсутствии полядипольный момент объема ΔV равен нулю. При включениивнешнего поля диэлектрик поляризуется, дипольные моментыобъемов ΔV отличны от нуля.Мы видим, что на торцах параллелепипеда появляются нескомпенсированные положительные и отрицательные заряды.Это индукционные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика. Их называют связанные заряды, этим термином хотят подчеркнуть, что свобода перемещения связанных зарядов весьма ограничена.Установимсвязь между векЕ′тором поляризаЕ0=0ции Р и поверхноЕ0Е0стной плотностьюРис.2.2связанных зарядов.Пусть диэлектрик однороден и смещение зарядов одинаково19во всех точках.Возьмем диэлектрик в виде пла−σ′+σ′стины (рис.2.3).
Выделим в пластинемалый объем ΔV в виде тонкого циЕlлиндра с образующей, параллельнойαвектору напряженности внешнегоnэлектрического поля Е0. Пусть ΔS −ΔSплощадь оснований выделенного ци- nлиндра, l − длина его образующей, hh− высота цилиндра, она же толщинаΔSпластины. Очевидно,ΔV=ΔSh=ΔSlcosα.Рис.2.3Из определения вектора поляризации следует, что дипольный момент объема ΔV равенPΔV=PlΔScosα.С другой стороны, выделенный цилиндр может быть представлен как диполь с зарядами −q=−σ′ΔS и +q=+σ′ΔS (σ′ − поверхностная плотность связанных зарядов), расположенных нарасстоянии l друг от друга.Тогда PlΔScosα=σ′ΔSl, откудаσ′=Pcosα=Pn .(2.5)Поверхностная плотность связанных зарядов численно равна нормальной составляющей вектора поляризации.Т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
