Электричество и магнетизм (1019799), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для того, чтобы найтиIM rиндукцию магнитного поля, создаdB ваемого всем проводом, нужно, исdαпользуя принцип суперпозиции,найrrrти сумму векторов dBi от всех элеrdαментов dli. Но,rr очевидно, ориентацияdl αвекторов dBi одинакова, поэтомувекторное суммирование можно заменить простым интегрированием(5.9) по всему проводнику с током,Рис.5.2т.е.α2μ IB = ∫ 0 sin α dα .α 4πa1В случае бесконечного прямого тока α1=0 и α2=π, тогдаμ IB= 0 .(5.10)2πaВ общем случае индукция магнитного поля, создаваемогопрямым проводником с ток конечной длины (см.
рис.5.2) равнаμ IB = 0 (cos α 1 − cos α 2 ) .(5.11)4πaСиловые линии магнитного поля прямого тока представля-55ют из себя концентрические окружности (см. рис.5.2).5.3.2. Магнитное поле на оси кругового витка с токомВозьмем на оси кругового витка точку А, отстоящую от плоскостиdBαxrвитка на расстоянии х (см. рис.5.3).dBВыберем ось х вдоль оси витка. ВыАделимна витке с током элемент токаrdl . Ориентацияr вектора магнитнойиндукции dB , создаваемого этимr αrэлементом, показана на рис.5.3. Очехвидно,r что при суммировании векторов dB от всех элементов витка горизонтальныесоставляющие вектоrров dB взаимно компенсируются, аrRdlвертикальные составляющие (dBx)Рис.5.3складываются скалярно.
Тогда индукция магнитного поля в точке А будетRB = ∫ dB x = ∫ dB sin α = ∫ dB ,rSSSздесь S .− длина витка, R − его радиус.Согласно закону Био-Савара-Лапласаrμ0 Irdl (угол между векторами r и dl равен π/2).dB =4π r 2Окончательно2πRμ 0 IR 2πRμ0 IR μ0 IR2dl =B= ∫dl =.(5.12)23 ∫3r42πr4πr 00x2 + R2 2()5.4. Закон полного тока (теорема о циркуляциивектора индукции магнитного поля)rНайдем циркуляцию вектора B по какому-либо замкнутомуконтуру.
Рассмотрим простейший случай прямого тока, и пустьвыбранный контур L лежит в плоскости, перпендикулярной токуrI (рис.5.4). Произвольно выберем на контуре малый элемент dl и56()r rrрассмотрим скалярное произведение B, dl , здесь B − индукциямагнитногоr поля, создаваемого током I в точке, где расположенвектор dl . Из рисунка 5.4 и из (5.10) следует, чтоr rμ IμB, dl = B dl B = 0 (rdα ) = 0 I dα ,2π r2πгде rr − кратчайшее расстояние от проводника с токомдо элеменrта dl , dα − угол, под которым виден элемент dl из точки пересечения проводника и плоскости контура L.()2IIdαrB-dα1r+dαrdlРис.5.4Рис.5.5rТогда циркуляция вектора B по замкнутому контуру L будет равнаr r μ0B∫ , dl = 2π I ∫ dα .LLЕсли контур охватывает ток, то, очевидно, ∫ dα = 2π , если()Lнет, то рассматриваемый интеграл получается в симметричныхпределах 1−2 и 2−1 (см.
рис. 5.5) и ∫ dα = 0 . Таким образомr Lr(5.13)∫ B, dl = μ 0 I ,(L)где I − ток, охватываемый контуром.Аналогично рассматривается случай неплоского контура,только под dα понимают угол, на который поворачивается проекция радиальной прямой на плоскость, перпендикулярную току.57Можно также показать, что формула (5.13) справедлива длятоков любой формы.В случае нескольких токовr вrсилу принципа суперпозиции(5.14)∫ B , dl = μ 0 ∑ I i()Lгде ∑ I i − алгебраическая сумма токов, охватываемых контуромL. Причем, направление тока выбирается положительным, еслионо связано правилом правого винта с направлением обхода контура.Соотношение (5.14) называется законом полного тока.5.5.
Примеры применения закона полного тока5.5.1. Поле соленоидаРассмотрим бесконечно длинный соленоид по которому течет ток I и который имеет n витков на единицу длины. Выберемпрямоугольный контур интегрирования 12-3-4 (см.рис.5.6).
Сторона 1-2 совпадает с12осью соленоида, а 3-4 удалена на оченьбольшое расстояниеот оси. В силу симrметрии вектор B внутри соленоида должен быть параллелен его оси, т.е. внутри34соленоида магнитное поле должно бытьРис.5.6однородно.Интеграл в левой части выражения (5.14) может быть представлен какr rr rr rr rr r(5.15)B,dl=B,dl+B,dl+B,dl+B∫∫∫∫∫ , dl .(L)() (1− 22 −3)()3− 4()4−1Последний интеграл в правой части (5.15) равен нулю, т.к. набольшом расстоянии от соленоида В=0. Второй и третий интегралы в правойчасти (5.15) также равныrr нулю, т.к. для каждогоrэлементаr dl выполняетсяr условие B ⊥ dl , а на участке 1-2, очевидно, B параллелен dl r.
Тогдаrr r∫ B , dl = ∫ B , dl = Bl ,(Lгде l − длина участка 1-2.)(1−2)58С другой стороны, согласно (5.14) полученное выражениедолжно быть пропорционально сумме токов, охватываемых контуром 1-2-3-4. Рассматриваемый контур охватывает nl витков, вкаждом из которых течет ток I, тогдаBl = μ 0 (nl )I .Откуда(5.16)B = μ 0 nI .5.5.2. Поле тороидаПусть мы имеем тороид (”бублик”) с плотно намотаннымина него N витками тонкого провода с током I. Пусть R1 и R2 −внешний и внутренний радиусы тороида (рис5.7). Найдем индукциюмагнитного поля на средней линииR2тороида, т.е.
на окружности радиусаLr=(R1+R2)/2.rВ качестве контура интегрирования L в (5.14) выберем саму средR1нюю линию. В силу симметрии векrтор индукции магнитного поля B вкаждой точке контура L долженбыть направлен по касательной кРис.5.7этому контуру и быть постояннымпо модулю. Выбранный нами контур охватывает все N витков.Тогда выражение (5.14) для тороида будет выглядеть следующимобразомr rB∫ dl = B(2πr ) = μ 0 NI ,( )LоткудаB=μ 0 NI.2πr(5.17)Введя n=N/(2πr) − число витков на единицу длины илиплотность намотки, (5.17) можно преобразовать к виду (5.16).Легко убедиться, что магнитное поле сосредоточено тольковнутри тороида.
Во внешней области магнитное поле отсутствует.595.7. Закон Ампера. Основные электрические имагнитные единицыОпыты, проведенные Ампером в начале XIX в. показали,что со стороны магнитного поля на проводник с током действуетсила, которая rподчиняется следующим закономерностям:• сила F всегда перпендикулярна направлению тока в проводнике;• сила линейно зависит от длины проводника и от силовойхарактеристики магнитного поля − магнитной индукции;• при изменении взаимной ориентации вектора магнитнойиндукции и проводника сила изменяется от 0 до максимального значения.Обобщая результаты опытов, Ампер сформулировал свойзаконr rrdF = I dl , B ,(5.18)rrс токомгде dF − сила, действующая на элемент dl проводникаrI, находящийсяв магнитном поле с индукцией B Направлениеrвектора dF может быть найдено по общим правилам векторногопроизведения.Модуль силы Ампера вычисляется по формулеdF = IB rdl sinrα ,(5.19)где α − угол между векторами dl и B .Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух прямолинейных параллельных проводников с током.
Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельныхпроводника с токами I1 и I2 (направления токов указаны нарис.5.8), расстояния между которыми равно а. Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует согласно(5.18) на другой проводник с током. Рассмотрим, с какой силойдействует магнитное поле тока I1 на элемент dl второго проводника с током I2. Ток I1 создает вокруг себя магнитное поле, линиимагнитной индукции которого представляютсобой концентричеrские окружности. Направление B1 определяется правилом правого винта и его модуль согласно (5.10) равен[]60B1 =μ 0 I1.2πarrНаправление силы dF1 , с которой поле B1 действует на участок dl второго тока, показано rна рисунке 5.8.
Угол α между элементами тока I2 и вектором B1 прямой, поэтому модуль силыrdF1 , согласно (5.19), равенdF1 = I 2 B1dl ,или, подставляя значение для В1, получимμ I IdF1 = 0 1 2 dl .(5.20)2πaРассуждая аналогично,можно покаrrзать, что сила dF2 , с которой магB1rrнитное поле тока I2 действует наdFdF12I2I1элемент dl первого проводника с тоaком I1 равна по модулю (5.20) и наrправлена в противоположную стороB2ну, т.е. сила взаимодействия двухпараллельных проводников с током,Рис.5.8приходящаяся на единицу длины,равнаdF μ 0 I1 I 2f ==.(5.21)dl2πaЕсли токи направлены одинаково, то это сила притяжения, аесли токи текут в противоположные стороны − отталкивания.Выражение (5.21) используется для определения в СИ единицы силы тока − ампера.
Ток силой 1А − это такой ток, который, протекая по двум параллельным длинным проводникам, находящимся в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга, создаетсилу взаимодействия между ними, приходящуюся на единицудлины, f=2⋅10-7 Н/м. Подставив это значение в формулу (5.21),получим значение магнитной постояннойμ0 = 4π⋅10-7 Н/А2 = 4π⋅10-7 Гн/м,где генри (Гн) − единица индуктивности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
