Электричество и магнетизм (1019799), страница 3
Текст из файла (страница 3)
P=κε0E, то выполняется также следующее соотношениеσ′=κε0Еn.Если вектор Р различен в разных точках объема ΔV (поленеоднородное, диэлектрик неоднороден), то в диэлектрике могутвозникать еще и объемные связанные заряды с объемной плотностью ρ′.Можно показать, что в этом случае имеет место соотношениеrdivP = − ρ ′ .(2.6)2.4. Вектор электрического смещенияИз теоремы Гаусса в дифференциальной форме (уравнения20Пуассона (1.6)) можно найти связь между вектором напряженности электрического поля в данной точке и объемной плотностьюзаряда ρ в этой же точке. Под ρ мы понимаем плотность свободных зарядов. Но в диэлектриках источником поля служат нетолько свободные, но и связанные заряды. Следовательно, уравнение Пуассона для диэлектриков нужно переписать в видеr 1divE = ( ρ ( x , y , z ) + ρ ′( x , y , z )).ε0С другой стороны, выполняется соотношение (2.6), тогдаr 1rr r(2.7)divE = (ρ − divP ), откуда div (ε 0 E + P ) = ρ .ε0В последнем соотношении ρ − объемная плотность толькосвободных зарядов!Выражение в скобках называется электрическим смещением (вектором электрической индукции)rr rD = ε0 E + P .(2.8)Используя (2.4),r можноr записатьrrD = ε 0 E + κε 0 Е = ε 0 ( 1 + κ )Е .Постоянная 1+κ=ε называется относительной диэлектрической проницаемостью вещества.ТогдаrrD = εε 0 Е .Из (2.7) и (2.8) видно, что для изотропных диэлектриковдолжно выполняться соотношениеrdivD = ρ ,(2.9)т.е.
единственным источников вектора электрического смещенияявляются свободные заряды.2.5. Теорема Гаусса для вектора электрического смещения.Граничные условия2.5.1.Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрикеКак мы выяснили, введение вектора электрического смещения автоматически учитывает поле связанных зарядов. Так, например, для поля точечного заряда q в веществе имеем соотно-21шениеr1 q rr.D=4π r 3Следовательно, повторив выводы, приведенные в параграфе1.3, можем записатьr rD(2.10)∫ ,dS = ∑ qi ,()Sгде Σqi − сумма свободных зарядов, заключенных внутри поверхности S.Выражение (2.10) есть теорема Гаусса для поля в веществе винтегральной форме, а (2.9) − теорема Гаусса для поля в веществе в дифференциальной форме.2.5.2.Граничные условияРассмотрим плоскую границу двух диэлектриков, заполняющих все пространство.
Пусть ε1 и ε2 − их относительные диэлектрические проницаемости.Пусть существует некоеE1электростатическое поле. Из−за2влияния связанных зарядов, ε1 1bвозникающих на границе разде4Eτ13ала диэлектриков, суммарное ε2поле должно быть различным вE2Eτ2разных веществах.Рис.2.4Найдем циркуляцию вектора Е по прямоугольномуr r контуру 1−2−3−4 (рис.2.4).
Очевидно(2.11)∫ Еdl ≈ Eτ 1а − Eτ 2 а + Еb 2b ,Lгде a и b − длина и ширина выбранного контура, Еτ1 и Еτ2 − тангенциальные составляющие векторов Е1 и Е2, <Eb> − среднее значение нормальных составляющих векторов Е1 и Е2 на участках2−3 и 4−1. Расстояние а считаем настолько малым, что в его пределах составляющие Еτ1 и Еτ2 можно считать постоянными.Устремляя в (2.11) расстояние b к нулю, получаем Еτ1=Еτ2.Для вектора электростатической индукции D при этом имеем22Dτ 1 ε 1= .ε 0ε 1 ε 0ε 2Dτ 2 ε 2Теперь возьмем на границеnDD1n11ε1диэлектриковвоображаемуюповерхность в виде цилиндраh(см. рис.2.5) с площадью осноSDn2ваний S и высотой h (образуюD2n2щая цилиндра перпендикулярнаε2границе раздела диэлектриков).Рис.2.5Считаем, что S настолько мало,что в пределах этой поверхности поле можно считать однородным.Согласно (2.10) поток вектора D через такую поверхностьравен нулю, т.к.
внутри нее нет свободных зарядов. С другой стороны этот поток можно представить какФD=0=Dn1S−Dn2S+<Dn′>Sбок,где Sбок − площадь боковой поверхности цилиндра, а <Dn′> −средняя величина составляющей вектора D, перпендикулярнаябоковой поверхности цилиндра.При h→0 имеем S→0, откуда Dn1=Dn2.Для напряженности электрического поля имеемEn 1 ε 2ε0ε1En1=ε0ε2En2, откуда= .En 2 ε 1Итак, при переходе через границу двух диэлектриков, тангенциальная составляющая вектора D нормальная составляющаявектора E терпят разрыв, а нормальная составляющая D и тангенциальная составляющая Е не изменяются.
При этом выполняются следующие условия:En 1 ε 2и Еτ1=Еτ2;=En 2 ε 1(2.11)Dτ 1=Dτ 2, откудаDτ 1 ε 1= .Dτ 2 ε 2Если ε1=1 (вакуум) а ε2=ε, то в случае нормальной ориентации вектора Е имеем Е0/Е=ε, где Е0 − напряженность поля в ва-Dn1=Dn2 и23кууме, Е − напряженность поля в диэлектрике.
Таким образом,относительная диэлектрическая проницаемость ε показывает, восколько раз ослабляется электрическое поле в веществе по сравнению с вакуумом.2.6. СегнетоэлектрикиСегнетоэлектрики − полярные диэлектрики, которые в определенном интервале температур спонтанно поляризованы,т.е. обладают поляризованностью при отсутствии электрического поля.Сегнетоэлектрическими свойствами могут обладать толькокристаллические соединения, такие как сегнетова соль(NaKC4H4O6⋅4H2O), титанат бария (BaTiO3) и другие.2.6.1.Свойства сегнетоэлектриков• Диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков можетбыть очень большой и достигать значений порядка 104 (уобычных диэлектриков ε∼10).• В отличие от обычных диэлектриков, у сегнетоэлектриков зависимость Р(Е) (а, следовательно, и ε(Е)) − нелинейная.• Для сегнетоэлектриков наРблюдается явление диэлектрического гистерезиса.
Этоявление заключается в том,что поляризация Р не определяется однозначно полемЕ0 ЕЕ, а зависит также от предшествующей истории сегнетоэлектрика. График зависимости Р(Е) при увеличеРис.2.6нии и уменьшении напряженности поля Е показан нарис.2.6. Из этой зависимости видно, что даже при Е=0 в сегнетоэлектрике может существовать остаточная поляризованность.• Для каждого сегнетоэлектрика существует такая температура,24при достижении которой его особые свойства исчезают, и онпревращается в обычный полярный диэлектрик. Эта температура называется точкой Кюри.2.6.2.Качественная теория сегнетоэлектриковВ сегнетоэлектрике при сильном взаимодействии междудипольными моментами молекул возникает спонтанная поляризация, при которой отдельные дипольные моменты ориентируются в одном и том же направлении.Это приводит к тому, что диэлектрическая восприимчивость κ и, следовательно, относительная диэлектрическая проницаемость ε значительно выше, чем у остальных диэлектриков.Спонтанная поляризация является источником очень больших электрических полей.
Но с большим электрическим полемсвязана большая энергия. Известно, что любая система всегдастремится перейти в состояние с наименьшей энергией. Поэтомусегнетоэлектрик переходит в такое состояние, при котором с одной стороны существует спонтанная поляризация, а с другой −энергия его минимальна.Это может осуществиться в результате разделения объемасегнетоэлектрика на малые области в каждой из которых имеетсяспонтанная поляризация в некотором направлении. Такие области называются диэлектрическими доменами.Из−за хаотичной ориентации спонтанной поляризации отдельных доменов в отсутствии внешнего электрического полядипольный момент кристалла диэлектрика равен нулю.
При наложении электрического поля происходит частичная переориентация доменов, а также рост одних доменов за счет других. Этоведет к появлению в кристалле поляризации Р. При достиженииполем некоторого значения Е0, дальнейшее возрастание Р происходит за счет индуцированной поляризации, (все домены сориентированы вдоль вектора Е), и кривая Р(Е) переходит в прямолинейный участок. Происходит “насыщение” сегнетоэлектрика.2.7.
Проводники в электрическом полеВ проводниках имеются свободные носители зарядов, кото-25рые в пределах тела могут перемещаться на какие угодно расстояния.2.7.1.Электрическое поле внутри проводникаВ статическом случае напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю.Действительно, если бы внутри однородного проводникасуществовало электрическое поле, то оно привело бы в движениесвободные заряды. В проводнике возник бы электрический ток, иравновесие электрических зарядов было бы невозможно.Если внутри проводника Е=0, то, согласно (1.6) и (1.14),внутри проводника должны выполняться условия ϕ=const и ρ=0(ρ − объемная плотность заряда).Конечно, внутри проводника есть как положительные, так иотрицательные заряды, но они взаимно компенсируются, и в целом внутренние области проводника нейтральны.
Расчеты показывают, что образовавшийся за счет флуктуаций объемный зарядрассасывается за время ∼10−19 с.Таким образом, свободные заряды в проводнике могутбыть распределены только на его поверхности.2.7.2.Электрическое поле вблизи поверхности проводникаНапряженность электрического поля вблизи поверхностипроводника направлена перпендикулярно его поверхности.Для доказательства этогоЕвычислим циркуляцию вектораЕ по замкнутому прямоугольАBному контуру L, выбранномуЕτ C′D′вблизи поверхности проводникаΔlсимметрично относительно нееDC(рис.2.7) (направление обходаЕ=0Рис.2.7по часовой стрелке).Т.к. внутри проводника Е=0, а участки BC′ и AD′ могутбыть сделаны как малыми, то26СDABCD∫ El dl = ∫ El dl = ∫ El dl =0 ,тогда, согласно (1.12),B∫ El dl = ∫ El dl ≈ Еτ dl =0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
