Электричество и магнетизм (1019799), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Откуда Еτ=0.LAПоскольку тангенциальная компонента вектора Е равна нулю, то вектор Е должен быть перпендикулярен поверхности проводника.2.7.3.Электростатическая индукцияЯвление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике при его помещении во внешнее электрическое поле называется электростатической индукцией.Найдем поле вблизи поЕnверхности проводника. Для этоΔSго выделим на поверхности малый элемент ΔS и построим циhлиндр высотой h, пересекающий поверхность, и с образуюЕ=0щей, перпендикулярной поРис.2.8верхности (рис.2.8).Поток через поверхность цилиндра, находящуюся внутрипроводника, отсутствует, т.к. внутри проводника Е=0. Поток через участок боковой поверхности цилиндра вне проводника также равен нулю, т.к., как только что показано, вектор Е перпендикулярен поверхности проводника.Тогда, согласно теореме Гаусса,q∫ Еn dS = EΔS = , где q − заряд на ΔS.Sε0Очевидно, q=σΔS (σ − поверхностная плотность свободныхзарядов), откудаЕ=σ.ε02.7.4.Механизм образования поля вблизи поверхностипроводника27Выделим на поверхностиЕ1Е2проводника малый участок ΔS.Поле Е вблизи поверхности (внеее) складывается из поля Е1, созΔSданного зарядами, лежащими наΔS, и поля Е2, создаваемого всемиЕ1 ′другими источниками вне ΔSРис.2.9(рис.2.9).Заряды, принадлежащие ΔS, создают поле с обеих сторонэлемента, причем Е1=−Е1′.Поле Е2 снаружи и поле Е1′ внутри проводника по законунепрерывности нормальной компоненты на границе разделадолжны быть одинаковы, т.е.

Е2=Е2′.Но поле внутри проводника отсутствует, следовательно,должно выполняться условие Е2′=−Е1r′. ОткудаrrЕЕ1 = Е2 = .2Напряженность поля вблизи поверхности проводника состоит из двух равных частей, одна из которых создается зарядами данного элемента поверхности, а вторая − всеми остальными зарядами вне этого элемента поверхности.2.7.5.ЭкранировкаКак показано выше, поле и свободные заряды внутри проводника отсутствуют, следовательно, удалив внутреннюю частьпроводника, мы не внесем никаких изменений в распределениеэлектрических полей во внешней и внутренней областях проводника.Таким образом, тонкостенная замкнутая проводящая оболочка является экраном для внешних электрических полей(рис.2.10а). Этот факт используется в радиотехнике для защитыот внешних наводок чувствительных элементов радиосхем.28Е−−−−−−−−++Е=0−−+Е=0+++++++++−+−−−−−+−−−+−+q−++−+−+−−−−+q−−−−−+а)б)в)Рис.2.10Если внутрь замкнутой проводящей оболочки поместитьэлектрический заряд q (рис.2.10б), то заряд, индуцированный навнутренней поверхности оболочки, компенсирует поле заряда qвнутри проводника.

А заряд, индуцированный на внешней поверхности, во внешнем пространстве создает поле такое же, как иполе заряда q в отсутствии оболочки.Если же проводящую оболочку с помещенным внутри неезарядом q заземлить, то индуцированный заряд с внешней поверхности стекает на землю, и во внешнем пространстве полестановится равным нулю (рис.2.10в).

Т.е. заземленная проводящая оболочка является экраном для поля зарядов, находящихсявнутри нее.2.7.6.Метод электростатических изображенийПрежде всего отметим, что в теории электричества и магнетизма доказывается теорема единственности, согласно которойполе, создаваемое данной системой зарядов, определено однозначно.Допустим, что в пространстq1 ′ве имеется несколько точечныхq2 ′ 2электрических зарядов. Пусть S −q1эквипотенциальнаякакая−либоq2q3 ′поверхность, разделяющая все1q3пространство на два полупроРис.2.11странства 1 и 2 (рис.2.11).

Обозначим через q1, q2, … точечные заряды в полупространстве 1, а q1′,q2′, … − в полупространстве 2. Согласно теореме единственности29задание зарядов q1, q2, … и потенциала поверхности S однозначно определяет поле в полупространстве 1. Аналогичное утверждение справедливо для полупространства 2.Очевидно, что если поверхность S сделать проводящей (поверхность одинакового потенциала), то поле во всем пространстве не изменится.

Однако, теперь поля в полупространствах 1 и 2будут совершенно независимы друг от друга, т.к., как показано вп.2.7.5 , проводящая поверхность экранирует полупространство 2от влияния зарядов q1, q2, … и, наоборот, полупространство 1 отвлияния зарядов q1′, q2′, …. В результате мы получаем решениеследующей задачи.В полупространстве 1 по одну сторону от проводящей поверхности S находится система точечных зарядов q1, q2, ….

Найти электрическое поле в этом полупространстве. Это поле векторно складывается из поля зарядов q1, q2, … и поля зарядов, индуцированных на поверхности S. Однако, поле индуцированныхзарядов в полупространстве 1 эквивалентно полю, создаваемомузарядами q1′, q2′, …. При вычислении искомого поля проводящуюповерхность можно убрать и заменить ее точечными зарядами q1′,q2′, …. Совокупность этих зарядов+q xназываетсяэлектростатическимизображением зарядов q1, q2, … вlповерхности S.Пример. Определить поверхностα Elную плотность зарядов, индуцированныхE−+на бесконечной проводящей плоскости S−qточечным зарядом q, находящимся наEрасстоянии l от плоскости (рис.2.12).Рис.2.12Если мы возьмем заряд −q, расположенный симметрично q относительно плоскости S, то эта плоскость будет совпадать с эквипотенциальной поверхностью поля, создаваемого системой зарядов +q и −q.

Следовательно, согласно методу электростатических изображений, заряд −q есть изображение заряда q в плоскости S.Тогда поле Е в выбранной точке (см. рис.2.12) будет Е=Е++Е−. Очевидно30qlσ=, откуда4πε 0 x 2 + l 2 x 2 + l 2 ε 0qlσ( x ) =.3/ 22π (x 2 + l 2 )Е = 2 Е+ cos α = 213. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГОПОЛЯ3.1.

Электроемкость уединенного проводникаВ п.2.7.1 было показано, что во всех точках проводника потенциал имеет одно и то же значение, называемое потенциаломпроводника. Потенциал проводника, естественно, зависит от величины заряда, находящегося на проводнике. Но, как показываетопыт, если параметры проводника не изменяются, то отношениезаряда, которым обладает проводник, к его потенциалу остаетсяпостоянным.Электроемкостью (емкостью) проводника С называетсяотношение заряда q уединенного проводника к его потенциалу(3.1)С=q/ϕ.В СИ емкость проводника измеряется в фарадах (Ф),1Ф=1Кл/1В.Электроемкость характеризует зависимость потенциала наэлектризованного проводника от его размеров, формы и окружающей среды.Пример. Емкость проводящего шара радиуса R, окруженного диэлектриком с проницаемостью ε.Сообщим шару заряд q.

Тогда его потенциал, согласно определению,будет∞qdrqq= 4πεε 0 R .ϕ4πεε 0 r 2 4πεε 0 RСледует отметить, что емкость уединенных проводниковвесьма мала. Так емкость Земли всего ∼700 мкФ.ϕ=∫R=. Откуда С =313.2. Конденсаторы3.2.1.Простые конденсаторыКак уже отмечалось, уединенные проводники обладают малой емкостью. На практике же часто необходимо накапливатьбольшие заряды при относительно малых потенциалах. Известно,что емкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. На этом свойстве емкости построены конденсаторы.Простым конденсатором называется совокупность двухпроводников (обкладок), между которыми существует электрическое напряжение и все линии смещения, исходящие из одногопроводника, заканчиваются на другом.Оказывается, что разность потенциалов между обкладкамиконденсатора линейно зависит от величины их заряда.Под емкостью конденсатора понимают величину, пропорциональную заряду q и обратно пропорциональную разности потенциалов между обкладками U(3.2)C=q/U.Так же как и емкость уединенного проводника, емкостьконденсатора измеряется в фарадах.3.2.2.Примеры вычисления емкостей конденсаторова).

Плоский конденсаторПлоский конденсатор представляет из себя совокупностьдвух параллельных проводящих пластин площадью S, расстояниеd между которыми много меньше их линейных размеров.Пусть между пластинами находится диэлектрик с проницаемостью ε.Сообщаем обкладкам конденсатора заряды +q и −q. Предполагаем, что все поле сосредоточено в зазоре между пластинами, т.е. его можно считать однородным. Из (1.9) следует, что наσq, а для однородного поляпряженность поля Е ==εε 0 εε 0 Sqdq εε S. Отсюда С = = 0 .U = ϕ 1 − ϕ 2 = Ed =Udεε 0 Sб). Цилиндрический конденсатор32Цилиндрический конденсатор представляет из себя два коаксиальных проводящих цилиндра с радиусами R1 и R2, вложенных один в другой. Пусть высота цилиндров h и пространствомежду ними заполнено диэлектриком с проницаемостью ε.

Предполагаем, что ширина зазора между цилиндрами много меньшеих радиусов и высоты. Это дает возможность считать, что электрическое поле практически полностью локализовано в пространстве между цилиндрами.Сообщаем цилиндрам заряды +q и −q с линейной плотностью λ=q/h. Используя соотношение (1.8) найдем разность потенциалов между обкладкамиR2R2λλRU = ∫ Еdr = ∫dr =ln 2 , откуда2πεε 0 R1R1 2πεε 0 rR1q λh 2πεε 0 hC= ==.R2U UlnR1в). Сферический конденсаторСферический конденсатор представляет из себя две концентрические проводящие сферы с радиусами R1 и R2.

Пусть пространство между сферами заполнено диэлектриком с проницаемостью ε . Сообщаем обкладкам заряды +q и −q. Очевидно, электрическое поле полностью локализовано в пространстве междусферами. Разность потенциалов между обкладкамиR2R2qq ⎛ 11 ⎞q R2 − R1⎜⎟U = ∫ Еdr = ∫=−dr=2⎜ R R ⎟ 4πεε R R ,4rπεε4πεεR1R100 ⎝ 12 ⎠01 2qRRоткуда C = = 4πεε 0 1 2 .UR2 − R13.2.3.Соединение конденсаторовКонденсаторы часто соединяют в батареи.

Характеристики

Список файлов книги