Партон В.З. - Механика разрушения. От теории к практике (1015817), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. положения точек и их скорости в начальный момент времени. Отметим крайне важное свойство резпепий задач о движении или равповосии линейно-упругих тел. Для того чтобы найти напряп'еппо-деформированное состояние *) Напомним, что уравпепая (5) являлось следствием первого закова 11ьютопа; в состояппв покоя сумею всех внешних сзл равна нулю. 67 линейно-упругого тела под действием ело>иной системы внешних поверхностных и объемных сил, неооязательно решать задачу в лоб, можно решить ряд более простых частных задач для каждого пз внеппшх воздействии системы сил отдельно, а затем ело>нить полученные напряжения и деформации.
Этой возможностью суммирования решений линейной теории упругости широко пользуются механики. Они, добывая «по кпрпичиками относительно простые решения, строят довольно сложные комбинации, являющиеся решениями интересных и за>нных практических задач. В динамических задачах такими простейшими решениями являются упругие волны, Для всех прнвычньыш являются представления о том, что волны, возникающие от удара, распространяются, преломлнются, отражаются и т. д.
по воздуху, воде и твердым телам. Прн ударе по упругому телу (например, стволу пушко) в пем, многократно отражаясь п преломляясь, побегут с большимя скоростями упругие волны. В глуоппе тела будут распространяться так называемые объемные волны, вблизи же поверхности особые, поверхностные волны, Рассьготрим основные виды волповых решений, суммируя которые можно подойти к описанию сложных динамических процессов, происходящих в упругих телах. Простейшим видом объемных волн являются плоские волны, в которых перемещения зависят только от одной координаты, допустим, х, н времени 1: и=-и(х, 1); и=и(х, 1); и'= п>(х, 1)'.
(29) В плоской волне все частицы тела *), лежащие в плоскости х=сопз(> движутся одинаково. Для получения уравнений, описывающих плоские полны, подставим (29) в (8) и (9), вычислим деформац>ти ди ду ех= —, ву —— -е = — О е д» и= *= 1 хи= 2 д»> 1 дй ех,= — —, е„, =О, хг 2 д» ' а затем по закону Вука ((5) найдем напряжения Е(1 — и) ди Е ду ох = — тх (1 — 2т)(1+т) д»' ™ 1-)-и д»' Е д>у 1+т д» ' *) Которое мы считаем неограниченным, так кек речь идет сб областях реального тела, весьма удалеаиых ет его границ.
68 Подставив зги выражения к уравнения движения (28)' (в которых для простоты объемные силы Р„, Р„Е, по- ложим равными нулю), придем к так называемым вол- новым уравнениям т т з да д'а с1 — з дл дГ (30) т дча дх 2 с т з дз дс здо до т т 2 дт дГ (31) где с 1/Е с =У~ —... 32 1/и р (1 — ао)И+)' ' г Тв(1-,)'( Уравнения типа (30), (31) называются волновыми, поскольку, кьк нетрудно проверять простой подстановкой, выражения и = бг(х — с11), а = г' (х — сот), и1 = И'(х — сзт) (33) являются реюенкями этих уравнений для любых функций (У, 1", И'. 11з рис.
34, на котором изооражен график и(х, д) Ю с г=й Рас. 34. Распределение возмущений для моментов г = г, 0 в й функции и(х, 1) для двух последовательных моментов времени то=О(1п видно, что первое из выражений (33) описывает волну с непзмеппьзм профилем У(х), распространяющуюся направо со скоростью сь Эта волна пазывается продольпой волной или волной расширерия — схсагия, поскольку частицы в такой волне слтиыаются и растягиваются, двигаясь в направлении распространения волны (рис, 35, а).
Волны, описываемые двумя последними выражениями (33), называются поперечными или сдвиговыми волнами, плп волнами искажения, поскольку частицы среды перемещаются поперек направления движения волны, испытывая только деформации сдвига; прп 59 атом искаяеается только их форма, по объем ие меняется (рис. 35, б). Скорость продольпой волны с1 всегда балыке скорости поперечной волны сь орпепткроаочпые зпачеипя зтпх скоростей для некоторых материалов указаны э се в Рпс. 35. Дефориацпя тола прп прохоткдеппп продольной (с) и попо- рочпоп (6) волы в табл. 1.
Разлпчпе скоростей воли расшпрепия и искаткопия используется, папрпмер, в сейсмология для определения расстояппя до очага землетрясекия с по разнице времен прихода воля Лд Очевидно соотяошеппе — — — = Ы. с с Вагккыч частным случаем плоских волн являются вар- лсоническив волны, для которых функция бГ, )т и Ит суть косинусы илп синусы, например, и = бтез1п (1',(х — сГ)) = (тоз!и ~о~ — — Х)~. 1 (34) Здесь ьго — альчлитуда волны, го — частота волны (частота колеоательного дввжепяя частиц), й~ = ю/с~ — так нааываемое волновов число, Ь = 2яl)с1 = 2яс~lю — длина 60 волны, Характерпо, что скорости обт емпых полн ие зависят нп от амплитуды, пи от частоты волны, значит, лгобые спы|алы по объему упругого тела исредавзтся без ватухапия и иэмсиеппя формы, называемого дисперсией.
Существование особых прпиоверхяосыпдх воли, амилптуда которых быстро убывает с глуопиой, было теоретически предсказано в 1885 г. аиглпйским ученым Длг. Рзлеем. Рэлей доказал. что в упругом иолупрострапстпе х ~ Оа) со свободпой граппцсй (о, = т„, = тт,= О при х = О) (рпс. 36) уравиепия дииамической задачи теории упругости (8), (О), (15), (38) тгисгпт рсгпеипс вида — Х м㠄— 1.ьп и = (У,е ' + б"ае ' )гесовеэ( — ' — 1), (35) и = (И',е ' + И',е ' ) еэв1п еэ( — — 1), где сгп с7т, 1рп 1Рз, )к Хт зависят толыго от упругих постоянных Е и тб причем 7п >О, йэ) О. Формулы (35) — =тба боу Сборочная пооерхьооогь ' бчеатохал чаогоаг1 ОВ5 и 5,25 45аи рпс, Хб.
упругое полупрострапство 2 ) О, н.ч< ль поверх ности асторе~о расирестраснстся волна рэаеи рос. 37. Заапсичость отно~пеппл скорости рэлеевской волам ср к скорости волны искажеипл сс ет коэ~Яицпснта Пуассона ч опнсывэ~от рэлеевскио полны — гармопичоские волны, распространя~ощиеся вдоль поверхности тела в паиравлонпп оси х со скоростью си=от.1(ч), где сг — скорость объ*) Так в мсхапкке моделируотся пеболыпой участок у иоаерхноста копсчпого пла, из-эа малости которого моткио пренебречь кривпзпой граппцы и влиянием удааеппых от него частей тела. емных волн искажения, а 7'(ч) — не очень сильно меняющаяся функция коэффициента Пуассона, ее значения лежат между 0,874 и 0,955 для всех известных материалов (рис.
37). Частицы среды в рзлеевскит волнах испытывают как расширение — сжатие, так и искажение (рис. 38), их амплитуда очень быстро убывает с глуопной. Теоретически открытые волны Рэлеп были оопаружены сейсмологамн. Оказалось, что зто те самые ооладающие большой амплитудой и энергией волны, которые являются главной причиной разрушений наземных Рис. 38. Деформация тела при прохо кдеппп поверхпостпой воины Рзлеп сооружений при землетрясениях. Опи приходят из очага землетрлсения позже ооъемных волн расширения и искажения (с, ( ст ( с~), по несут осповпую часть знергии е), Заметим, что рзлеевскне волны оывасот и полезны, онп находят широкое применение, папрпмер, прн дсфектоскопическом контроле поверхностных дефектов.
Это особенно ватгсно для обеспечения целостности конструкций, ведь, как Вы скоро увидите, именно такие дефекты являются наиболее опаспьыси. в 8. Концентрация напряжений Мы уясе говорили о том, какую роковую роль могут играть отверстия и вырезы, напркмер, для стального корпуса судна. Наличие резкого изменения формы поверхности упругого тела приводит к существенному повыше- «) По некоторым оценкам, переносимая звертив распределяетсп так, что иа волны расширения — сжатия приходится 7 Ъ, па волвы искажения — 26 «7«, а иа волны Релея — 87 7«. 68 лию напрлжепий в непосредственной близости от такого места.
Говорят, что в теле поязнлсл концентратор напряжений, само же явление возникновелия локального„ часто весьма опасного пика напряжений получило название концентрации напряжений. Явление концентрации папряягелий первыми обларужили теоретики, а вот зксперимелтаторы далее при натурных испытанлях британского землица «Вулф» в 1903 г. не обнаружили ее, поскольку не догадались поставить хотя бы один регистрирующий прибор вблизи корабельного люка.
Это выглядит странным хотя бы потому, что из житейской практики, например, общеизвестно, что следует сделать предварительный небольшой надрез для аккуратного разламывания таблетки или отрыва лоскута материи. Итак, если мы обратимся к задаче о двуосном растяжении упругой пластинки с круговым отверстием (рис. 39), то обнаружим, что вблизи колтура отверстия Раз. 39, Деус«кое расззженае упругой пластинка с круговым от- зерстаем окружные направления повышаются вдвое по сравнению с напряжениями вдали от него (или с напряжениями, которые возникали в сплошном теле до появления отверстия). Распределение напряжений в полярной системе коордилат з) в описываемом случае дается следующими ') Как«дза точкз на плоскости хзрактеразуетса своим раз«гавкаем до полюса з углом к«клока О радиуса-вектора (соединяющего рассматриваемую точку с полюсом) к полярной осв — горизонтальной прямой, проходащзй через полюс, 63 завпспмостлмн: г '4 ( а гл г Они показывагот, что прн прпблпжешпг к отверстнго (прд уменьшепнн г) радпальиое напряженке и, убывает,ш нуля, а окружное напряженке ог возрастает до 2с„, В этом случае говорят, что коэф4ициеггг кош1епграпич папрллгепий К равен 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
