Партон В.З. - Механика разрушения. От теории к практике (1015817), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Математически условля склейки означают, что поведение одного решения вдали от начала координат должно совпадать с поведением решения для меньшего увеличения вблизи пачала координат. Р!з проведеппого анализа следует важное заключение. Для решеппя задачи о развитии трещины совсем пе обязательпо иптересоваться детальными и не вполне изученпыми процессами, происхо- 75 дящими в весьма малой окрестности конца трещины (и решать крайне сложную и неопределенную задачу для области 1г').
Достаточно знать характер и интенсивность напряженного состояния в малой области 111, окружающей вершину разреза. Итак, для механики разрушенпя крайне неооходямо располагать так называемым асн птотпческпм рошенпем задачи линейной теории упругости для полубесконечного разреза, о чем и пойдет речь в следующем параграфе. 3 11. Поля напряжений и смещений в окрестности края трещины в упругом теле Как мы уже говорили, решение данной задачи для малой окрестности любой точки гладкого фронта (рис.
42) можно считать не зависящим от координаты з, отсчитываемой вдоль фронта трещины (рис. 46). Самый обгцнй случай полей деформаций и напряжений у кончика трещины моягно получить путем взаимного наложения напряжений следующих частных видов плоской и антнплоской деформацнй (рис. 47). Вид 1 связан с отрывным смещением, при котором поверхности трещины прямо расходятся одна от другой во взаимно противоположных направлениях (так происходит при забивания клина). Внд П соответствует переметцениям, при которых поверхности трещины скользят друг по другу (так, например, снимает стружку резец токарного станка).
Вид П1 связан с антиплоской деформацией (разрезанне ножницами), при которой одна поверхность скользит по другой параллельно фронту трещины. Решения этих задач, очень сложные в математическом отношении, были получены.в пятидесятые годы. Оказалось, что для любых задач теории упругости поля напряжений и смещений вблизи вершины трещины имеют почти одинаковую структуру.
Первыми поняли это английские ученые Дж. Ирвин и М. Вильямс, хотя строгое доказательство общностгг формул было дано позже. Сейчас мы приведем все формулы, описывающие распределение напряжений и смещений, прнчем многоточия в них ставятся вместо слагаемых, которые пренебрежимо малы по сравнению с выписанными. Мы приводим зтн довольно громоздкие выражения совсем пе для того, чтобы лишний раз вызвать трепет перед механикой разрушения. Наша задача — обратить вппмаппе ™а некоторые пх общие свойства п постараться сделать для себя поучительные выводы.
Все 7В о'е рнс. 46. Снстема коордонат и компоненты на1тряжений у кончика трещины о"о~ 7 до~ Л? Рпс. 47, Оспозпыо ищы снсщсшей поосрхностн трещппы 77 (42) О„=о, 1 -О, (441) Н111 й и т —., 2 .. и т, ==- сов —. + ... (хо 1 'лт 1 — 51П— ,л в К 111 .. й тхи= — 51П вЂ”. + (/ "лт ЕП1 1а =— и = и =- О, 73 формулы ааписаны ниже для случая плоской деформа- ции, когда ьа О, они годятся и для плоского напряжен- ного состояния, если положить в них О, = О и заменить коаффицпент Пуассона и на —.
Для трещины 1 впда (трси,ины отрыва пли норма.гь- ного разрыва) а'1 О! . О . Зй'1 Ох = = сов — ( 1 — 51П вЂ”, 51П вЂ” / — ' ЕГ О ' . О . Зй~ Ои — — сов — ( 1 + вп —, вп — ', ! + ... (40) О О Зй т„= 51п —,, соа —, сов — ',,' + ...„ т„, = т, = О, о, = т (о, + ои ), тй1 х / (41) и= — '1 —.вп —, 1 — 2с+вп' —,, + ... й т Хл Хг Для трещины 11 вида (трси1ина поперечного сдвига) й (о й ЗО1 о„= — вп —, ~2 + соа —, сов —.) + ... ~/'лг 2 В,) лц й .
й Зй Ои = СО5 —, ВП вЂ”, СО5 —. + -(/. и Х В О! . й, Зй~ тхи = сов —, ~1 — вп — в'о — ') + ... тхи — — тиг 01 Од = т (О + Ои )1 ~11 Г т и = —" )! —, вп —., ~2 — 2т + сова —. + ..., П Зл В1 З! Лп /г й(' (43) о = —" 1/ — сов —, 2т — 1+ вп' —,1+ ... Для трещины 1П вида (трсигина продольного плн анти- пвосного сдвига) Приведенные соотношения содержат величины К г, Ки, Ки„называемые лаэгРУгиг1иеггтами интенсивности иапрялгеиий для трех указанных выше видов деформацш1.
Этп козффицпенты играют исключительно важную роль в механике хрупкого разрушения. Коэффициенты интенсивности напряжения заслуживают специального, самого серьезного обсуждения. Здесь же мы пока отметим следующее: все формулы для напряжении и смещений имеют схожую структуру: и = — ! Ф) + . " = — 1~ —" а Ф) + ". К К ~/2лт и 2л Вблизи вершины трещины каждого вида поля напряжений и смещений могут отличаться только постоянным множителем К, зависящим от внешних пагрузок и геометрических размеров тела. Распределение же напряжений и смещений по радиальнон и угловой координатам всегда одинаково.
Невольно возникает вопрос, а как относиться к тому, что согласно приведенным формулам в вершине трещины возникают бесконечно болыпие напряжения, а профиль трещины из заостренного становится параболическим. В свое время это обстоятельство вызвало довольно большие споры. Некоторые механики утверждали, что бесконечных напряжений в вершине трещины быть не ьгожет, никакой материал таких напрян'енин не выдержят. Следовательно, такая модель является несовершенной и ее надо улучшить, например, вводя вблизи вершины особые силы микроскопической пряроды, ликвпднрующие бесконечные напряжения.
На самом деле факт обращения напряжений в бесконечность у вершины трещины нельзя считать находящимся в непримиримом противоречии с опытными данными. Как раз наоборот! Такое обстоятельство хорошо отражает действительность, разумеется, в рамках такой чрезвычайно упрощенной теории, какой является линейная теория упругости и гипотеза о малости деформаций. Пользуясь аснмптотнческимн формулами, мы должны исключить из рассмотрения концевые воны такого размера, чтобы вне этих зон деформации были малы и выполнялся закон Рука.
Во многих случаях эксперимент и расчеты подтверждают малость размеров такой воны, например, для стали ее размеры оцениваются в полмиллиметра и уже для сантиметровых трещин расчет по линейной теории представляется оооснованпым. в 12. Идеи Грпффптса Развитие механики разрушения связано с естествепной необходимостью иметь представление о характере и воаможпостях начавшегося раарушевия. А это достижимо лишь тогда, когда исследователь не только знает распределение внутренних папряженпй, но и умеет определить допустимое напряжение (называемое критическим), при котором начинается разрушение, а также длину (и, быть может, траекторию) трещины, соответствующую приложенным внешним нагрузкам. К сожалению, зтп сведения пе содержатся в уравленпях классической теории упругости, они дают ответ только на вопрос о распределении возникающих напряжений и деформаций.
Интуиция подскааывает нам, что, по-видпмому, существует определенная зависимость между нагрузкой и длиной трещины. Для того чтобы установить ату зависимость, приходится привлекать некоторые дополнительные сообракгения. Одно из таких простых и несомненных соображений предполагает, что разрушение требует определенных затрат ввергни и связало с использованием закона сохранения знергии. Как уже отмечалось, первым, кто практически использовал ати положения, был сотрудник Авиационного исследовательского центра в Фарнборо А. А, Гриффигс (1893 — 1963).
Его работы имели революционизирующее значение для всего последующего развития механики разрушения, особенно статья «Явление разрушения и течения твердого тела», которая была им опубликована 26 февраля 1920 г. А. А, Гриффитс писал: »Мо кно сделать общий вывод о том, что недостаточная прочность изотропных твердых тел, с которой обычно приходится встречаться, выавана присутствием нарушений сплошности или дефектов, основные размеры которых велики по сравнению с межмолекулярным расстоянием. Эффективную прочность технических материалов моя~но повысить по крайней мере в 10 — 20 раз, если удастся устранить подобные дефекты». Гриффнтсу было только 27 лет, известностью он не польаовался и его статья прошла почти незамеченной.
К тому же подход Граффптса к проблеме разрушения был совергпенпо нетрадиционным, и хотя с тех пор прошло почти 70 лет и копцепции механики разрушения воплотились во впечатляющих достижениях современной техники, даже сейчас многие не ВО вполне представляют, в чем же сущность энергетического подхода Грпффптса. Роль энергии в процессе хрупкого разрушения состоит, по Грпффитсу, в следующем. Одной концентрации напряжений у вершины трещины мало для того, чтобы трещина разорвала тело. Если не обеспечить подвода достаточной энергии к вершине, то разрушение прекратится. Точно так же остановится и автомобиль с совершенно исправным мотором, если в бензобаке иссякнет горючее.
Для того чтобы разобраться с вопросом о балансе энергии, рассаютрим простейшуго задачу. Возьмем прямоугольную пластинку, растянем ее напряжением и и жестко закрепим ее края (рпс. 48). Длину и шпрнку пластинки считаем большпып по сравнению разгрузка Пластинка растянута и тестха З ааластях, закреплено прилегающох к растущей трещине Рис. 48. Рост трещины в пластпние, которую сначала растянули, а затем жестко закрепили по ираям с толщиной, которую для удобства принимаем равной единице: а > 1, Ь> 1. В закрепленной пластинке запа- л сена энергия упругой деформации И'о — — — ао,причем н' на единицу площади приходится энергия —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
