Партон В.З. - Механика разрушения. От теории к практике (1015817), страница 9
Текст из файла (страница 9)
При больших ускорениях возникают значительные силы инерции, которые необходимо учитывать в расчетах. Дяпа»гичоский характер воздействия ощущается при впезаппо приложеняых пагруаках и, естественно, при ударном нагружояип. В нашем примере вяешпяя сила (грув) сохраняла свою велпчппу и паправлеыие. Однако па практике многие машины или отдельпые пх детали работают в условиях, когда действующие силы и моменты изменяются как по величине, так и по паправлепию (апаку).
В соответствии с этими изменениями будут меняться по величине и знаку выаываемые ими внутренние папрянсения. Переменным нагрузкам подвергаются и«елезнодорожные рельсы, валы двигателей, лопатки турбин и др. Особое значение в машиностроении приобрело периодическое (циклическое) динамическое яагрунгепие, приводящее к периодическим (циклвческим) изменениям напряжений.
Число перемен Й величины и виана папрянсеяий может быть очепь болыпим. Так, при вращении вала, нагрун«еппого постоянпой по величине и ваправлелию силой Р, который непрерывпо работает в течение 7 часов ежедпевво, делая 400 об/мип, число перемен величины и знака яапрян«епий в течение года равно Л'=400 60 7 365 = 6,13 10'. Многократпое иамепенпе капряжепий как по величине, так и по злаку приводит к накоплению повреждений в материале, которое получило назвавие «усталости» материала. Сопротивление усталости зазвали «выносливостью» материала.
Тщательное исследование этой проблемы в середине Х!Х века провел немецкий »келеэлодоронм«ый инженер Л. Велер. На рис. 31 приведена типичная кривая выносливости для железа и стали, котору«о обычно называют кривой Велера. По оси ординат откладывается напряя«оние и, а по осп абсцисс принято откладывать число циклов У, которое выдерживает обрааец до разрушения. Бак правило, после нескольких миллионов циклов вагружепия кривая Велера становится практически горизоптальяой.
Такой характер кривой указывает на то, что для материала существует предел выносливости и», определяющий яаибольшее папряжение, при котором образец пе разрушится при сколь угодно большом числе циклов. По кривой Велера всегда можпо рассчитать уровень рабочих яапряженпй по требуемой долговечч1 ности вала, нлп жв его долговечность по задаппому уровшо нагрузок. О рассмотроппои вылив вращающсмсч вале моя»по, очевидно, сказать, что сслн оп проработал год, то проработает еще хотя бы лег пять (осли машпгш морально пв устареет н ее пе сппп.ут раяьшв).
К рассказу о пекоторь1х особе»ногтях расчета па рззрушепне в условпях усталости мы ворвемся поюкс, Рпс. 31. Типичная кривая вывоглввосгв (кривил Валера) длв жв- лоза и стали а сейчас от»готц»в, что сам Валер указывал, по прн цпклпческпх нагрузках видоизменяется и ослабляется кристаллическая структура металла, а зто в свою очередь способствует разрушевяю. Любопытно, кстати, что в »Записках туриста» А. Стопдаль, будучи, по-видимому, наблюдательным чаповском, дал весьма точнов оппсаппе усталостного излома: »Ось моей коляскн неожиданно сломалась.
Я внимательно осмотрел структуру железа в месте взлома: железо стало круппозсрпястым, видимо, потому, что служит уже давно...». $7. Основы теории упругости Вернемся ненадолго к закону Рука и рассмотрпп его пенного более подробно. Сущестгеняое дополяегпв к пену сделал 11уассоп в виде закопа связп попара шых н продольптях двформацпй.
Если к упругой пластинка прнлоягнть растпгявагощев напряженно оь то опа удлппптся в атом паправлопяп и сократится в поперочпом паправлепнн. Пуассон пашол, что отпошоппе поперечной деформации ев к продольной е:, является постоянной величппой (11), ев = — тек Постояппая ч пазгяваегся коэффициентом Пуассона С учетом закопа 1 ука (12) по>ту~и!!! о е = — т —. > (1З) Оказалось, что два числа й и» полностью описыва>от поведение линейно-упругого тела ирп сколь угодно ело>к- лоп иагру>ггеппи. В самом деле, для главных осой иа- прянгеипое состояние является паложопием трех растя- >кеиий — спгатий от папряжоиий о>, оп оз во взаямио иорпепдвкулярпых направлениях.
Вычислив продольные и поперечные де>[>орх>аппп по >[>орь>улан типа (12) и (13) и сложив их, получим иростраисгвеииый закон Вука е, = — [о, — т(о, + ох)(, 1 1 й е,= —,(о,— т(о, + о)[, 1 2 д (14) еа = —. (ог — т(о, + ох)). х В произвольных осях деформации определяются такими не зависимостлмв, только к ппи добавятся формулы для деформаций сдвига е, = —. (о„— т(о„+ о, )(, е, = —, (о„— т(о, + о, )[, е„=- —,тки (15) е, = —, [о, — т(о„+ о„)), е>„= — —.тии 1 1 +т Ге о =-, 3 (! — 27! (16) К Постояппая !х =, 1 иазыоается ходулем сдвиги, а иостояииая К =. — обьехяых ходулем упру- 3 (! — 2х! 63 Складывая первые три формулы, мы получим связь между обьехиой де!борз>а>!ией е = е„+ е, + е, (отпосптельиым изменением обьема злемеита) и гидросгатических на- 1 прялсениех о= —.-(о, + ог + о, ), аналогичным давлепи!о в жидкости: гости.
Из закопа сохранения энергии следует, что Е, )ь и К положительпы, а — 1 < о ~ 1/2. Для реальных конструкциопиых материалов т) О (при растяжении поперечные размеры сокращатотся), хотя из теории не следует, что ке могут существовать материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона. В предельпом случае о =1/2 материал называют несжимаемы/м — это, разумеется, идеализация, ведь реальные материалы всегда хоть Таблица 1 с„кв/с с„км/с к, мн/и' матервал 5,8 6,1 5,7 3,2 3,1 3,2 2,06.10' 0,69.10' 0,69.10'. 0,28 0,33 0,25 Железо Ааюмкякй Стекло в) Точнее, лкпейпой теоркк упрутостк (завяспмость деформаций от первых степеней яапряжепкй (15) в математкке называется линейной).
54 незшого сжимаемы. Ориентировочные значения упругих постояпных некоторых материалов приведены для справки в табл. 1. Итак, уже полтора века мы благодаря Коши располагаем полной системой уравкенпй простравственвой аадачи теории упругости с). Но и по сей день получение па их основе точных решений является очень сложной проблемой. Аналитические решеппя удается построить только для очень простых идеализированных конфигураций, численные и<е решеппя для реальных пространственных тел даже с использованием совремеквых ЭВ61 получить весьма трудно.
К счастью, согласно принципу Сев-Венапа пространственные детали картины напряженного состояния существенны только вблизи мест резкого изменения границы или мест прплозттевия сосредоточенных иагруаок, в остальной же части элемента конструкции состояние близко к более простому одномерному или двумерному (растязкению, кручению, изгиоу и т.
п.). Для дзльпейшего полезно еще сказать о так казываемых плоской и актиплоской задачах теорпи упругости, В плоской задаче теории упругости различают плоское павряжеиное состояние и плоскую деформацию. Плоское яакрялсеняое состояяие приблвзителько реали- дох дтху —" + — '" + Г„= От д.с ду *х, 'у — "+ — "+ Р„= О, дх ду (17) выражения для деформаций ди ду /дв дв 'с е= — е= —,е,= — ~ — + — ~ дхт " дуг хв 2'(ду дх)' (18) и закон Гука 1 1 1 ьв е„= — (о„— ка„), е„= — (о„— та„), еху = тху.
(19) В такой постановке задача является плоской, но после ее решения оставшаяся неплоская деформация е, (измене- ние толщины пластинки) моясет быть вычислена по формуле е, = — —, (о + а ). (20) Другой случай — плоской деформации — приближенно реализуется в длинном цилиндрическом теле (рис. 33), если все силы направлены перпендикулярно его оси и одинаковы в любом его поперечном сечении. В таком случае и и(х, у), и п(х, р)', Рвс, 32. Плоское напряженное соотоянве ваблюдеетоя сд =О, (21) в топкой плвствнке, зегруясонной в ее плоскости а поэтому отличны от нуля только е., е„, е .
Для плоской деформации верны уравнения равновесия (17), аазиснмости между деформацнямн и напряжениями (18) н закон Гука (19), если в нем бо зуется в тонкой пластинке, нагрускенной силами, параллельнымн ее плоскости и рзспределеппымп симметрично по толщине тзк, чтобы пе вызывать ее изгиба (рпс. 32).
Если под напряжениями я смещениями понимать ик средние по толщине зелкчппы, то отличными от нуля будут только смещения а и о и яапряясения о., о„п т„„ в плоскости пластинки. В систему уравнений плоского напряженного состояния войдут уравнения равновесия провести формальную замену постолппыл т Е т па ъ = 1 „п Е на Е = —,' (22) Рпс. 33.
Плосквн дсформаппп поблюлаетсл в ллпппом пклпплрнческом теле, за~ружеппом равномерно по длппс пормальпымн са- лама (после решения плоской задачи) по формуле о, = о(п„+ о„). (23) Наконец, амтиллослая деформация (которая является аптиподом плоской деформации) приближенно реализуется в длпяном цилиндрическом теле, загрунтеппом ие менлющпмисл вдоль образующей касательпыми напряжениями т„, и т„.
В данном случае (24) и и=0, щ=ш(х,у)', и отличны от пуля только деформации дх 1 дм е = —,— е х~ — и дх ~ Вь — 3 дд (25) и наоря~непия дм дх тх, = 2рех, = р —, тп, —— 2реп, — - р —. (26) дх' дд Ураппеппе равновесна будет только одно: д'х. д'пг — х'+ — '" =О. дх ду (27) Отметим, что смещение и' в аптиплоской задаче удовлет- бе Касательные папрлжепил т . и т„при плоской деформацпи равны пулю, а осевое папрщксппе вычисляется воряет так называемому еарзгокичеекозгу уравнению, 2 г дм дко —,+ — =о, Оле ду которое играет псклзочптельпую роль в математкке. До сих пор речь шла о равповегик упругого тола, как же описать его движение? Оказывается, что система уравнений движения сплопшой среды удивительно похожа па систему (5) уравнений равновесия до„дт .„дтхг дои От„„до„дт, дее — "" + —." + — "' + ру =- р — ',, де ду дг " дгг г (28) дте до д и ду ог дг Ог В отличие от системы (5), здесь в правых частях стоят пе нули, а произведезгпя плотности среды о па составляющие ускорения (вдоль соответствующих осей х, р и з).
Так к должно быть, ведь фактвчески перед нами запись второго закона Ньютона: сумма внешних сил, действузощих па злемептарный куопк, равна его массе, умноженной па ускорение, вызванное приложенными силами е). Все остальные формулы (закон Гула ((5) пли выражения деформаций через перемещения (8) — (9) ) остаются справедливымк в случае двппеепия упругого тела. Для решения как задач равновесия, так и задач двпиееиия пеобточимо знать внешние нагрузки, приложенные к поверхности тела (например, давление жидкости на подводпуео часть сооружения), илн перемепгепия в тех точках гршпщы, где кх можно считать известными (например, перемещениями в мосте я'есткой склейки резпповой прокладки с кеподвп>кпой стальной влитой можно препебречь). Прп резпекпп задачи о двигзеепии тела дополнительно должны быть известны начальные условия, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
