Партон В.З. - Механика разрушения. От теории к практике (1015817), страница 7
Текст из файла (страница 7)
й 5. Напряжения п деформации Говорят, что существуют три предмета, в которых каждый человек считает себя вполне разбирающимся,— это философия, живопись и хгедицина. Вероятно, близко к ним стоит и сопротивление материалов. С прочностью каждый знакомится в детстве, с понятпямн «упругость» и «жесткость» в кх обыденном смысле мы сталкнваемсп повседневно, а если вы в гостях заикнетесь о стрессе, что на русский язык переводится как напряжение, то разговорам пе будет конца. Однако научные понятия напряжения и деформацгп| человечество выстрадало. К счастью, в средневековье наука о прочности в идеологическом отношении считалась относительно безопасной, и Галилей избрал именно ее предметом своих занятий после отлучения от астрономии, Он ближе всех подошел к представлению о напряженки, вернее, о разрушающем папряжеппн, оонаружив пропорциональность между разрывающеп силой и площадью поперечного сечения растягиваемого стержня.
Но только почти через два столетия сила была поделена на площадь, а частное названо напряжением. Сделал это Опостеп Коши, причем он впервые попал, каким образом моя'но описать внутреннее напряженное состояние тела в любой точке прп любом способе нагружения, а не только в момент разрушения. Для ооъяснеппя этого проведем, как предполагал еще Эйлер, в теле разрез, тогда для сохранения равнове- ав сия придется к поверхности разреза приложить те снлы, которые действовалп в теле на месте разреза. Этот кажущийся нам довольно элементарным прием является могучим средством анализа внутреннего состояния тела.
разумеется, разрезы мы будем проводить мысленно, тогда от наших упражненш«ущерба никакого не будет. Так, поперечный разрез растягиваемого силой Б бруса позволяет установить, что в л«обои его сечении действуют напряжения о =Ь/Л, которые называют нормальными, поскольку онп направлены по нормали к поверхности (рпс. 20), измеряют напряжения в тех же единицах, что и давление жидкости, например в технических единицах кгс/с»гт ичи кгс/мм'-, часто используют /7яеьта«» Я напр яже» ае и=А папрюксппк в р«стпп«васявя брус» Рпс. 20. Тпк опр, дсляютсп сплв ) напряжение ( площадь свчвппя единицы системы СН вЂ” МН/и' (мегаиыотопы нп квадратный метр, «мега» означает миллион, а «Н» — ньютон). Один ньютон равен приолпзптельно 102 граммам, т.
е. весу неоезызвестного яблока, так что 1 МН/мт 10,2 кгс/см»=0,102 кгс/»гмт. Отметим также, что в системе СИ употребляется и другая единица напри»кения Па (паскаль), причем 1 Па=1 Н/и' и соответственно 1 МПа (мегапасяаяь) =1 й(Н/»г». Обычно считают растагивающее нормальное папряжеш1е положптельньпц а с;кпмающее — отрицательным. Для каменной кладки, например, растягпвающпе напряжения, считающиеся положптельиымп,— величайшее зло, с которым боролпсь иоколенпя инженеров п строителей. Нслн рассечь стеря«епь наклонной плоскостью, то внутренние силы на месте разреза будут иметь в общем случае не только нормальную составляющую, но и касательную, направленную вдоль плоскосю«разреза. Касательным напряжением называгот отношение касательной 39 силы к площади сечения.
Обозпачпв и — вектор единичной нормали к сечопнсо, и — угол наклона п к оси стержня, о — пормачьное и т„— касательное напря1кения н Рис. 21, Вычисление пенрлн"епий е наклонном сечешш стержня прп одпоосном растяжении (кнд сбоку) наклонном сечении (рпс. 21), получим е) нз условий равновесия части стержня: т 1+ со. 2а ол = о соз та =о 2 е(п 2а т„= о з(па сова = о —, 2 Из формул '(1) следует, что в сеченппх, наклоненных к осн под углом шйэ', действуют каснтельптсе напряткеппя, величина которых максимальна; т,„„,= же(2 (знак касательного напряжения выбирается тагоке условно).
Этньг объясняется, что многие твердые вещества разрушаются е) Вывод формул (1) можно найти е любом учебнике по сопромату. Для вывода слодует сраипить усилия, дойстеующяе е попере пюм сечении  — В (площадью А) н е наклонном сечении С вЂ” С (площадью А(соса). В ссчеппн  — В осевые напряжения равны о, следовательно, е сечении С вЂ” С они росны осока. Проектируя их на нормаль к площадке С вЂ” С, получим о, = (ясона) )С К сое а = и соей а, Проектируя их па касательное папраелепие, получим т„= (и сое а) еш а = и зш а сое а, 40 при сжатии именно путем скольжения, вызванного каса. гольными напряятенняма под углом около 45' к оси сжатия (рис. 22), Более сложный случай двухосного растяжения пластинки (рпс. 23) можно рассматривать как наложение Рис.
22. Разрушение хрупнаго чугунного цилиндрика прн слтатнн происходит по плоскости, а которой каса- тельные напрнжеппя максимальны двух простых растяжений вдоль осей 1 и 2, параллельных сторонам пластпнттн. Если а~ н ат — лапрнження, 2 -э от Рнс. 23. Вычисление напрнженпй а наклонном сечении прн двуое- поп растюкеппн действующие вдоль осей У н 2, то на проттаволт,ной наклонной площадке 1 1 оо = —.
(пт + а,) + —,(от — а,) соя 2а„ о— (2) 1 2 (и' О') а1п2та Очевидно, и адесь па площадках, наклоненных под углом н ~45' к осям растяжения, денстнуют касательные 41 напрянсенпя максимальной величины о — о, 1 тгаак = В самом общем случае плоского напряженного состолнпя прямоугольный элемент пластинки (рис. 24) подвергаетсл дейстппю нормальных напряженна а и а„ вдоль осей и и р и касательных напряжений т„„п т„„.
Рпс, 24. Папрлженное состояние пря- Рпс, 25, Прострапстэенпое моуголкного элемента пластннкп напрлженное состолнпе элементарного кубпка Из равенства пулю суммарного момента снл можно вывестн открытое 1тогпп привила пирниши напряжений т„„= = т„. Используя снова прием Эйлера, можно установить, что всегда найдутсл два взаимно перпендикулярных направления 1 и 2, относительно которых происходит только двуоспое сжатпе — растяжение без одни~а, Соответствующие напряжения а| и ае называются главными напряжениями, а оси 1 п 2 — главными сеял~и.
Свлзь а„, а„п т с главнымп напрлженнямп выражается формулами а„= — (а, + а,) + —, (а, — а,) 2ис 1 1 а„= — (о, + а,) — —,(а, — а,) соз Зи, (3) 1 а 2 1 е т„а = —, (аг — а ) згп 2я. ха Разумеется и здесь наибольшие касательные напряжения 42 е я(л лл) л Фгю) л ел'л Рнс, 26. Вывод ураяненяя раяяоаегия (4) для пропзаольного алеменга расгягзваемого стержня сил па ось стержня равна Л а(л+ Ьл) — А о(х), внешняя сила равна А Ьх.Г„, если г" ооозпачает знешшою силу, приходящуюся на едшшцу объема (А Ьх — ооъем элемента).
Приравнивая пулю сумму всех спл, получим Л а(х+Ьх) — Л а(х)+Л Ьх Р.=О идп о (» + Ле) — о бг) + л=- Гьл При малой толщине злемепта Ьл первое приблизительно равное пропаводвой о по х, зует скорость иаменепия а(х) вдоль стержня, венстзо перепишется в виде: — '+ Р„=-О, гл слагаемое, характерна само ра- (4) 43 действуют на площадках, наклоненных под углом 45' к главным осям. В самом общем пространственном случае напряженное состояние описывается шестью величинами — нормальными напряжениями а., о„о, и касательными напряжениями т, т„, н т„, (рпс. 25), здесь также действует аакоп парности касательных напряжений т„, = т„е, т„т„„т,„= т„,.
Существуют три взаимно перпендикулярные главные оси, в которых отличны от пуля только три нормальных напряжении оп ол и оа. Максимальные касательные напряжения, равные полуразпостям главных напряжений, действуют в плоскостях, наклоненных под 45' к координатным плоскостям в главной системе координат.
Коши вывел уравнения равновесия ьгегкду внутренними силами (напряжениями) и впешнпмп объемнымп снламп, например силой тягкестп. Составим баланс спл для злемепта стержня, лежащего между сечениями с координатами х и х+ Ьх (рпс. 26). Проекция внутренних Аналогичным образом оыла равновесия в самом общем до„дт ., — + — >+ вл ду дт до, йл йу дт„дту, — + — + дл ду выведопа спстема уравнений пространственном случае — "+ Ге= О, дт„ (5) до, —.' + Г,=О.
Система получается прямо пз условия равенства пулю суммы всех спл, действуляцпх иа злемептариый кубик дв (рис. 25); символ — ', например, обозначает так называемую частну>о проивводну>о, которая представляет собой просто скорость пзмеиеипя и. по координате х прн неизменных >т и з. Систему (5) я привожу для того, чтобы вы увпделп ее пзящпьш и симметричный впд. Ею почты в пепзыеппоы виде пользу>отса механики по сей день уже более полутора веков. До появления работ Коши в распоряжении ученых были словесные формулировки вроде закона Га:птлея о иропорттиоиальпости разрушающей силы п площади сечеппя стерн>па, теперь же — закопчеппап теория напряжений, Но этны заслуги Коши пе исчерпываются — пз трах уравнений равновесия (5) и заданных на границе тела силах в общем случае нельзя найти сразу шесть неизвестных' ) п„о», п„т>ю т„, т»,.
Для определения папря;кепиого состояния следует еще ввести понятие деформации тола н привлечь аат:оиы, связыватощпе деформации с папряткепиямн, папризтер закон Гука для упругого тела, По п с атой задачей справился Копти в своих знаменитых т>тттатеттатттческттх упраи пениях». При одпоосноы растяжении стержня >7вфорлтат~ией называют относительное удлш>внив стер>вин, т. е. отношение измеяеппя его длины >лт, возпикатощее от действия силы Б, к первопапщьпой длине стержня Х (ряс 27) е= — —, ат >б) Деформация является безразмерной величиной, иногда для удобства ее выражают в процентах. Часто в н>ыке- *) Вирочстт, бывают исвлтсчоппя, так называемые статически определимые задачн.
44 первых расчетах деформацпп восьма малы, так что во всех формулах можпо оторасывпть квадраты, кубы и более высокие степеш1 деФормаций. Если стергкепь растягивается перавпомерпо, папрпэюр, цоптроое'кпыми силами при разъгахпваппя пм, то деформацшо надо вычислять в каждой е~о точке и делать зто надо следующим образом. Отметим полоз еппе материальной точки ее коордипатои х до деформецоп и х' — после деформацпи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
