Диффузия и теплопередача в химической кинетике Франк-Каменецкий Д.А. (1014155), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Химические колебания имеют важное эначение для ряда вопросов науки и техники. Так, одной иэ основных особенностей живого организма является наличие биологических ритмов, которые могут быть связаны с периодическими химическими процессами. С другой стороны, возникновение самовоабуждающихся колебаний при техническом осуществлении экэотермического химического процесса может привести к опасным разогревам и, следовательно, химик-технолог должен уметь ваять такие колебания под свой контроль.
Эти вопросы привлекают большой интерес в последнее время в свяэи с проблемой автоматнэации химических проиэводств. Тем самым возникает свяэь химической технологии с теорией автоматического регулирования и ее основой — теорией колебаний [11. В соответствии с общей установкой настоящей книги, мы не будем вводить в рассмотрение иэменения давления и связанные с ними эвуковые волны, хотя они и воэбуждаются в некоторых процессах скоростного горения 12].
Ограничимся только нивкочастотными колебаниями, в которых давление успевает полностью выравниваться. Нас будут интересовать явления, в которых колебательное протекание процесса связано не с гаэодинамическими факторами, а с химической кинетнкой, а также с выделением и отводом тепла и реагирующих веществ. 430 ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ И ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ Общим условием для возможности колебательного протекания процесса является наличие в системе положительной или отрицательной обратной свяэи. Отрицательная обратная связь имеется во всяком химическом процессе, скорость которого уменьшается вследствие расходования реагирующих веществ (или в сложных реакциях — активных промежуточных продуктов).
Пололтительиая обратная свяэь может соадаваться либо химическим автокаталиэом, либо теплом, выделяющимся при реакции и ускоряющим ее. В первом случае мы будем говорить о кинетических, во втором— о термокинетических колебаниях. Положительная обратная свяэь имеет место в автокаталитических и экэотермических реакциях. Отрицательная обратная свяэь мокнет приводить к химическим колебаниям в э а м к н у т о й с и с т е м е только в том случае, если в реакции участвуют активные промежуточные продукты, так как расходование исходных веществ в эамкнутой системе ничем не восполняется. Напротив, в п р о т о ч н о й с и с т е м е, куда исходные вещества непрерывно подводятся, воаможно возникновение колебаний вследствие отрицательной обратной свяаи, происходящей от выгорания исходного вещества.
ЗАТУХАНИЕ, РАСКАЧКА И АВТОКОЛЕБАНИЯ Теоретически исследовать колебательный процесс начинают обычно с рассмотрения линейных колебаний, т. е. малых отклонений от состояния равновесия, для которых уравнения можно аинеариэовать. Решение системы линейных уравнений ищется в виде суммы комплексных экспонентов Хеэ', где величины р являются корнями характеристического или секулярпого уравнения. Если мнимая часть р не равна нулю, то процесс имеет колебательный характер. В эависимости от знака действительной части р колебания могут быть либо эатухающими, либо раскачивающимися; в частном случае, когда действительная часть р равна нулю, процесс окааывается строго периодическим.
Впрочем, этот случай возможен только в идеалиэированной постановке аадачи: реально уже сколь угодно малые возмущения приводят к аатуханию или раскачке. Если различные корни характеристического уравнения имеют рааличный энак действительной части, то достаточно хотя бы одного корня с положительной действительной частью, чтобы возникла колебательная неустойчивость. Вопрос о дальнейшем поведении системы в области неустойчивости выходит уже эа рамки линейной теории. Поскольку физически неограниченное нарастание амплитуды запрещено ааконами сохранения, в большинстве случаев раскачка приводит к самопроизвольному установлению колебательного процесса определенной конечной амплитуды. Та- 431 кис самовозбуждающиеся колебания получили название автоколебаний.
Они принципиально не могут быть описаны линейной теорией, т. е. являются нелинейными колебаниями. Решение вопросов о существовании и амплитуде автоколебаний требует применения методов нелинейной механики. Важнейший вопрос об областях существования автоколебаний решается методами качественной теории дифференциальных уравнений. Значительно более простые вопросы о существовании малых колебаний и их затухании или раскачке сводятся к анализу устойчивости состояний равновесия. В терминах теории дифференциальных уравнений состояния равновесия могут быть представлены как особые точки системы дифференциальных уравнений.
Классификация особых точек, развитая в классических работах Пуанкаре, является математической основой линейной теории колебаний. СВОЙСТВА И КПАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с двумя функциями Х и У и независимой переменной й — =Ф(Х, У), ИХ (о (Х,() '— ';,=Ч (Х,У).
Исключив Т, получим дифференциальное уравнение первого порядка, связывающее Х и У: о(Х Ф (Х, У) ~й' 1о" (Х, У) ' (Х,2) Решения этого уравнения представляют собой интегральные кривые системы (Х,1) на плоскости Х, У, которая нааывается фаэовой плоскостью. Можно воспользоваться механической аналогией и рассматривать независимую переменную 1 как время, а изменение величин Хи У со временем как движение по фазовой плоскости. Таким образом, вопрос сводится к задаче об устойчивости движения, исследованной в классических трудах А.
М. Ляпунова. Положениями равновесия являются точки фазовой плоскости, удовлетворяющие условию КХ ой' — = — =О а ио откуда Ф(Хо, Уо) = Ч" (Хо, Уо) = О, (Х,З) где Х„У, — значения Х, У в состоянии равновесия. Эти точки, в которых правая часть уравнения (Х,2) обращается в неопределенность типа О/О, называются особыми точками системы (Х,$) 432 для исследования свойств особых точек, липеаризуют систему вблизи этих точек, т. е. разлагают функции Ф (Х, У) и Ч" (Х, У) по степеняммалыхогклонений от положения равновесия н сохраняют только члены первого порядка. Обозначим посредством Х„ У, одно из решений системы алгебраических уравнений ( Х, 3), описывающее исследуемое положение равновесия и положим Х = Хэ+ц, У =Уз+ О где Х, и У, не зависят от ~. Подставив эти выражения в систему (Х, 1) и разложив функции Ф и Ч' в ряды, получим в первом порядке малости: (Х, 4) Все производные берутся в точке Х = Хм У = Уа.
Введем для упрощения формул следующие обозначения: ( дУ)х Система (Х, 4) перепишется как — „, =Фхц+Фгб Ыт~ (Х, 4а) — =Ч"хц+ Ч",б. Ыб ч Поведение решений системы (Х, 1) вблизи рассматриваемой особой точки определяется свойствами системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (Х, 4). Решение последней по общему правилу ищут в виде Ч = Кгееи + К,еэ*', д *= К,е" а + К,е"'1, где р, и рэ — корни характеристического уравнения (ьз — (Фх + Ч"т) р + ФхЧ"г — ФтЧ'х = 0 (Х 5) 433 Отсюда Р г = — (Фх + Ч' у + У (Фх — Ч'у)* + 4ФуЧ"х ), (Х, 6) ра = —. (Фх + Ч"у— 1 х Фу'Р х) ФхЧ'у.
(Х,7) 2. Оба корня характеристического уравнения д е й с т в и т е л ь н ы и имеют одинаковый знак, совпадающий со знаком величины Фх+ Фу. Двюкение непериодическое. Этому типу особой точки дано название у з е л. Особая точка является узлом, если вьпюлнены условия ФуЧ'х ( ФхЧ" у (Фх — Ч'у)'+ 4ФхЧ'у ) О. (Х, 8) При этом, если Фх + Ч'у ( О, то обе экспоненты убывающие; такой узел называется у с т о й ч н в ы м.
Если Фх + Ч'у) О, то обе экспоненты возрастающие; такой узел называется н е у ст о й ч и в ы м. 3. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные. Двнжениевбливн положения равновесия имеет колебательный характер. Интегральные кривые на фазовой плоскости имеют вид спиралей, выходящих из особой точки. Этому типу особой точки дано название ф ок у с.
Особая точка является фокусом, если выполнены условия (Фх — Ч"у)'+ 4ФуЧ'х (О (Х, За,' Фх+ Чу+ О. Частота малых колебаний вокруг особой точки типа фокуса выражается как = —,„, У вЂ” 4Фу'1'х — (Фх — Ч"у)* ° 1 (Х, 9 Согласно общепринятой классификации Пуанкаре, в зависимости от свойств корней характеристического уравнения равличают следующие типы особых точек. 1. О ба корня характеристического уравнения действительны; один из них положителен, друг о й о т р и ц а т е л е н. Движение вблизи особой точки не имеет периодического характера.
Одно из зкспоненцнэльных решекяй возрастает. Система всегда удаляется от состояния равновесия, т.е. неустойчива. Неустойчивость имеет апериоднческий характер. Этому типу особой точки дано название седло. Особая точка является седлом, если выполнено условие Очевидно, что особая точка может быть фокусом только, если величина Фу 'т"х отрицательна. При этом, если Фх + т"и ( О, то амплитуда колебаний уменьшается со временем. Положение равновесия устойчиво и отклонение от него приводит к затухающим колебаниям.
Такой фокус называется у с т о й ч и в ы м. Если Фх + т"» ) О, то одна иэ экспонент нарастает со временем. Положение равновесия неустойчиво, и отклонение от него приводит к самораскачивающимсн колебаниям. Такой фокус называется н е у с т о й ч и в ы м, а соответствующий тип неустойчивости — колебательной неустойчивостью. 4. Корни характеристического уравненияя ч и с т о м н и мы е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
