Диффузия и теплопередача в химической кинетике Франк-Каменецкий Д.А. (1014155), страница 74
Текст из файла (страница 74)
(Ч1П,(О) Для того чтобы удовлетворить граничному условию при х = 1, можем положить в последнем интеграле нижний предел равным единице и, переставив пределы интегрирования, получим: (Ч111,11) 363 Выражения (Ч111,9) и (ЧП1,И) должны удовлетворить условию сопряжения: на границе между зонами ут = у,. Точное местонахождение этой границы принципиально неопределенно. Но ввиду резкого возрастания скорости реакции с температурой значение ее при любой температуре может считаться пренебрежимо малым в сравнении со значением при температуре более высокой.
Вследствие этого выражение (ЧШ,9) можем считать справедливым вплоть до температур, непосредственно примыкающих к максимальной температуре горения, т. е. до значений х, близких единице. Поэтому в (ЧП1,9) точку сопряжения можем считать лежащей при х — 1. В интеграле же (У111,11) нижний предел можно считать лежащим сколь угодно низко, так как при низких температурах Д (х) становится пренебрежимо малой и значение интеграла перестает зависеть от нижнего предела. После этого условие сопряжения примет внд 1 2 ~ Д (х)пх, о (Ч111,12) что и дает непосредственно искомое значение )1, при котором решение уравнения (Ч111,3) удовлетворяет граничным условиям Рис.
25. Приближенный метод решения уравнения теплового распространения пламени Сплошной кривой преаотавлено точное, пунктирными лианами — приближенное решение где п — относительная концентрация реагирующего вещества. Выразив последнюю на основании подобия поля концентраций и поля температур через температуру, согласно (Ч1,19), получим: (Ч111,14) или, введя вспомогательную переменную х, согласно (Ч1П,1): (Ч111,15) (у (х) = (1 — х) е ж~ 364 (УШ,6) для рассматриваемого предельного случая скорости реакции, весьма сильно зависящей от температуры.
При вычислении интеграла в правой части (Ч111,12) значение ~ (х) на нижнем пределе интегрирования следует считать пренебрежимо малым. Графически изложенный приближенный метод иллюстрируется рис. 25. Если принять простейший вид кинетики реакции, характеризуемый определенным порядком реакции т, и воспользоваться методом разложения экспонента, подобно тому как это было сделано в формуле (Ч1,23), то функция Ч примет вид — —,~т -т~ и Д= вше (У111,13) где 6 — максимальная безразмерная температура пламени (Ч111,16) Р = 1 Г2 — „.
(Ч1П,17) При помощи (ЧП1,4) получим для скорости распространения пламени (Ч111,18) Этот результат является частным случаем формулы (Ч1,68). Развитие и применение этой теории дано в работах Зельдовича и Семенова 16, 121. Метод теплового потока Вместо того, чтобы прибегать к интегрированию дифференциального уравнения, основные результаты теории теплового распространения пламени можно получить весьма простым и наглядным путем посредством рассмотрения теплового потока из зоны пламени. Обозначим через у градиент температур во фронте пламени.
Тогда тепловой поток из зоны пламени выразится как 7 = — ЛР., (Ч111,19) где Л вЂ” теплопроводность горючей смеси, а у — максимальное значение температурного градиента во фронте пламени. Этот, тепловой поток расходуется на нагревание горючей смеси от начальной температуры Т, до температуры горения Т с = сгрю (Т вЂ” То), (Ч111,20) где ср — теплоемкость горючей смеси, р — ее плотность, щ— скорость распространения пламени. Для точного вычисления у„ необходимо воспользоваться в зоне пламени уравнением (Л11,8), что приведет к результату, совпадающему с (Л11,12). Вместо этого можно воспользоваться наглядным представлением о толщине фронта пламени.
Введем вспомогательную величину которую мы будем называть тепловой толщиной фронта пламени 365 Подставив (ЧП1,15) в (ЧП1,12) и учитывая, что значение ~) (х) на нижнем пределе интегрирования () (О) = е '"((1 должно считаться пренебрежимо малым, получим после интегри- рования и определять так, чтобы т — т„ У т (ЧП1,21) Физический смысл этой величины сводится к тому, что истинное распределение температур во фронте пламени, имеющее форму плавной кривой, заменено ломаной линией, полученной посредством проведения касательной к истинной кривой в точке перегиба.
Сопоставляя выражения (Ч111,19) и (Ч111,21), получим для скорости распространения пламени 3, О ОУ = — =— срЦ Гд ' (Ч111,22) где а — температуропроводность горючеи смеси. С другой стороны, толщина фронта пламени сама связана со скоростью распространения. Назовем химической толщинон фронта пламени $, толщину той эоны, в которой протекали бы химические реакции горения во фронте пламени при максимальной температуре горения н отсутствии действия диффузии и теплопередачи.
Химическая толщина фронта пламени связана с введенным нами вьппе временем реакции соотношением (Ч111,23) $з =ют . ьз = Лы (Ч111,24) где 7 — безразмерный множитель, меньший единицы, численное значение которого определяется конкретным видом кинетики химических реакций горения, т. е. зависимостью скорости реакции от температуры и концентраций реагирующих веществ. Сопоставляя (Ч111,22) и (Ч1П,24), получаем для скорости распространения пламени окончательно (Ч111;25) 366 Тепловая толщина фронта пламени $г есть толщина той зоны, в которой происходит существенное изменение температуры, в то время как химическая толщина $ есть толщина той зовы, в которой происходит химический процесс.
Очевидно, что тепловая толщина фронта пламени никак не может быть меньше химической, так как там, где происходят химические реакции горения, неизбежно и выделение тепла, а следовательно, и изменение температуры. В действительности химическая толщина фронта пламени всегда меньше тепловой, так как вследствие диффузии и теплопередачи зона горения растягивается. Положим, что Эта формула совпадает с (Ч1,68) или (ЧП1,4), если в последней положить [« = у г".
Теперь мы выяснили физический смысл атой величины. Безразмерная скорость распространения пламени есть не что иное, как корень квадратный из отношения химической толщины фронта пламени к тепловой. диФФузиОИИОВ [цепнОе[ РАспРОстРАнение плАмени ПРИ АВТОКАТАЛИЗЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Под диффузионным, или цепным, распространением пламени мы будем подразумевать здесь процесс, когда распространение пламени связано ие с передачей тепла, но с диффузией активного продукта автокаталитической (цепной) реакции. Это понятие не следует смешивать с прнмепяемым иногда в литературе термином «диффузионное горение», под которым подразумевается случай, когда компоненты горючей смеси (топливо и воздух) предварительно не смешаны и скорость горения определяется процессом их взаимной диффузии.
В случае диффузионного, или цепного, горения вид функции 1Г(х) в (ЧП1,3) определяется кннетикой реакции: в общем о нем ничего сказать нельзя. Принципиально возможны самые различные виды функции Ч (х), но аналитическое решение уравнения (Ч111,3) и нахождение значения [», прн котором зто решение удовлетворяет граничным условиям, практически не удаются. Нами [5] был рассмотрен простейший случай, когда уравнение (Ч]П,З) имеет простое аналитическое решение. Это случай авто- катализа второго порядка. Для того чтобы прийти к простейшему аналитическому решению уравнения (Ч111,3), мы обратим задачу. Вместо того чтобы по заданному виду функции Д (х) искать соответствующий вид функции у (х), удовлетворяющий уравнению и граничным условиям, мы зададимся произвольно простейшим видом р (х), удовлетворяющим граничным условиям, и будем искать такой вид Ч (х), при котором выбранная у (х) будет удовлетворять уравнению.
В качестве простейшего вида функции у (х), удовлетворяющего граничным условиям (ЧП1,6), примем у = х(1 — х). (Ч]Н,26) Подставив это выражение для у в уравнение (ЧП1,3), получим — 2х'(1 — х)+ (1 — [«)х(1 — х)+ Ч (х) = О. (Ч1П,27) Таким образом, принятый нами простейший вид решения уравнения (Ч1П,З) получится, если задать функцию 9 (х) в виде Д (х) = 2 [х»(1 — х) — ах(1 — х)], (Ч111,28) где 367 Функция ~ (х) имеет при х = 0 отрицательную производную, вследствие чего решение должно быть единственным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
