Диффузия и теплопередача в химической кинетике Франк-Каменецкий Д.А. (1014155), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Таким образом, предлоэкенный нами для неодномерных задач метод оценки критического условия воспламенения по наименьшему собственному числу линейного уравнения теплопроводности хорошо согласуется с точными расчетами на электронной вычислительной машине. В еще гораздо более общем виде вопрос о критических условиях самовоспламенения рассмотрел Каганов (24). В его работе, носящей не вычислительный, а общий математический характер, даны доказательства существования критических условий, а также верхние и нижние оценки для произвольных форм сосуда и зависимости скорости реакции от температуры. При этом не используется не только метод разложения экспонента,но и самый закон Аррениуса. Несимметричное воспламенение В предыдущем речь шла о симметричных случаях, когда по всей поверхности сосуда задаются одинаковая температура или одинаковые условия теплоотвода.
Если высокая температура задана только на части этой поверхности, то возникает задача о несимметричном воспламенении, дающая возможность предельного перехода к локальному поджиганию. В качестве простейшего примера рассмотрим бесконечный плоскопараллельпый слой, ограниченный двумя поверхностями, находящимися при температурах Т, и Тз (Тг ) Т ). Общее решение дается по-прея<нему формулой (ЧП,10), в которой постоянные интегрирования а и Ь находятся из граничных условий на обеих поверхностях слоя. В отличие от (Ч11,11) решение несимметрично. Разложение экспонента нужно, конечно, производить около температуры горячей поверхности, так как при большой разности температур скорость реакции у холодной поверхности пренебрежимо мала.
В соответствии с этим в параметр 6 подставляется скорость реакции при температуре горячей поверхности Т,. Чтобы безразмерная разность температур В была положительной, определим ее как в= —,(т,-т), Е 1 338 т. е. примем правило знаков, обратное предшествующему. Тогда уравнение (Ч11,8) заменится на ив =6~ и »»с» и решение (Ч11,10) на -в .Ы ~Ь~ У' — ',.'.) (ЧП,44) Ввиду несимметричности задачи переменная $ отсчитывается от горячей поверхности и меняется не от — 1 до +1, а от О до 2. Граничные условия (при $ = О, 0 = О; при $ = 2, 0 = Оз) дают для определения постоянных интегрирования систему из двух трансцендентных уравнений: сЬ' Ь = а, (ЧП,45) сЬ'(Ь ~ ~/2аб) = ае'».
(ЧП,46) Исключая из этих уравнений постоянную 6, получаем уравнение, связывающее параметр 6 и постоянную а: 6 = —, (агсЬ ф ае'» + агсЬ )Га)'. (ЧП,47) г з ЮР 6 = —, агсЬ е'»ч =— МР 8 (Ч11,48) 339 Критическое условие определяется максимумом правой части этого уравнения как функции от а. При а ( 1 второй член в скобках теряет смысл, так что рассмотрению подлежит интервал значений а от единицы до бесконечности. При 0„= О уравнение (Ч11,47) совпадает с (Ч11,12) или (Ч11,13), т.
е. имеет место предельный переход к симметричной задаче. При больших значениях О, первый член в скобках зависит от а только логарифмически, а вторым можно пренебречь. Тогда правую часть можно считать монотонно убывающей функцией от а везде, кроме значений а, близких единице, где второй член очень резко возрастает (при а = 1 производная от него стремится к бесконечности).
Это значит, что с возрастанием 0~ максимум правой части уравнения (Ч11,47) сдвигается к а = 1. При больших О, получается предельный переход к поджиганию горячей поверхностью, когда реакцией близ холодной поверхности можно пренебречь. При этом значение постоянной а для критического режима стремится к единице, а, следовательно, согласно (ЧН,45), значение постоянной Ь вЂ” к нулю. Критическое значение 6 для плоского слоя в предельном случае локального зажигания найдется из (ЧП,47) как Локальное поджигание Всякое поджигание горячей поверхностью может быть сведено к поджиганию плоского слоя, если радиус кривизны поверхности и размеры системы велики по сравнению с расстоянием, на котором устанавливается линейное распределение температуры. Исходя из этой идеи, Зельдович [25) построил теорию локального поджигания.
В решении (Ч11,44) градиент безразмерной температуры выражается как * (Ч11,49) Если безразмерная разность температур 9 достигает больших зна- чений, то градиент ее стремится к постоянному аначению: — ) = )/2аЕ (Ч11,50) е В атом проще всего убедиться прямым интегрированием уравнения (Ч11,8з), записав его изи 1 Ы вЂ” — (уз) = бе~, х е>з где 240 Заметим, что в пределе при Ь- 0 решение (ЧП,44) для критическо го режима принимает вид, подобный (Ч11,11) с той только разин цей, что переменная $ отсчитывается теперь не от середины сосуда а от горячей поверхности. Таким образом, при больших ~ значениях 19е температурная кривая критического режима имеет максимум у горячей поверхности, т.
е. подходит к этой поверхности с наклоном, близким нулю. Так как тепловой поток пропорционален градиенту температуры, то отсюда следует, что на пределе поджигания реагирующая среда не получает и не отдает тепло поджигающей поверхности. Этот ваягный результат впервые получил Зельдович (25) при помощи геометрических соображений, заключающихся в том, что при больших 9е температурная кривая критического режима должна быть огибающей ассимптотой температурных кривых подкритических стационарных режимов.
Так же как и в симметричном случае, каждому подкритическому значению 6 отвечают два стационарных тепловых режима, которые на пределе поджигания сливаются в один критический режим. Близ предела поджигания, как мы видели, а = — 1 и предельное зна- чение градиента (~ ) = у'26„р (ЧП,51) —" — +2дгаг(О. г (ЧП,52) Условие поджигания в неограниченной среде получается из (ЧП,48)в если учесть, что хотя параметры 6 и О, в отдельности теряют однозначный смысл, отношение 6/Ое сохраняет определенное значение.
Это отношение и является критерием поджигания: (61 (ЧП,53) о гкр Если подставить аначанне 6 и выразить О, через градиент, согласно (ЧП,52), то условие поджигания примет вид л, Е(ит. Л )зуа (брай с)з (Л1,54) или, переходя к размерной температуре; Г) Л т ге Е(ЗГ, Е (дгай Т)' 2 ' (ЧП,54а) Практически обычно бывает задан не градиент, а тепловой поток вдали от поверхности: (ЧП,55) д = — Л ягай Т. Выразив градиент через тепловой поток, можно записать, согласно Зельдовичу, условие поджигания в виде чз К т зе-Е(йт, ~ 2 (ЧП,5О) е Множитель 2 появился от того, что за характерный размер г мы привяли полуширину слоя, в то время как равность температур Тг — Те взята на полной иго ширине.
341 После того как градиент температуры достаточно приблизился к своему предельному постоянному значению, дальнейшее удаление холодной поверхности никак не воздействует на процесс, так как в области постоянного градиента скорость реакции пренебре,жимо мала. Зельдович [251 рассматривает йредельный случай поджигания горячей поверхностью неограниченного полупространства, заполненного горючей средой. Чтобы перейти к этому случаю, пуп<но устремить к бесконечности полуширину слоя г и разность температур О, (или Т, — Тг) так, чтобы отношение их сохраняло конечное значение, равное удвоенному градиенту * вдали от поджигающей поверхности (Ч11,57) Отсюда сразу видно, что естественным масштабом длины в рассмат- риваемой задаче является величина (Ч11,58) Легко убедиться, что, согласно формуле (Ч11,49), постоянный градиент температуры устанавливается на расстоянии порядка нескольких Х от горячей поверхности.
Условие применимости теории Зельдовича заключается в том, чтобы масштаб Х был мал по сравнению со всеми другими характерными масштабами задачи: размерами системы и радиусом кривизны поверхности, Если это условие выполнено, то любой конкретный случай локального поджигания сводится к идеализированной задаче о поджигании плоской поверхностью полубесконечной среды. Поскольку нас интересует критерий поджигания, то значение масштаба Х достаточно оценить для критических условий; г' 2Х Х„= — —. д Е (ЧИ,59) В реальных задачах о локальном поджигании среда обычно ограничена и кроме температуры поджигающей поверхности Т, задана и температура вдали от нее Тм Позтому удобно выразить тепловой поток через критерий Нус. сельта, согласно (1,18): (ЧН,60' Тогда условие поджигания (Ч11,56) примет вид Л7'~~ зс-е(ВТ ~ 1 х Ьш) к(т,— 'т,) 2 (Ч11,61 Зто условие можно записать в виде, аналогичном (ЧП,53): (Ч11,62 Левая часть этого неравенства представляет собой критерий локального поджигания, выраженный через тепловой поток.
Заметим, что в неограниченной среде, где характерный размер отсутствует, можно было с самого начала определять безразмерную координату так, чтобы в уравнении (Ч1,30) или (Ч11,8) не осталось никаких параметров: если в параметр 6 вместо размера г подставлять толщину приве- денной пленки И/г)п: зе-е/вт~ н ~з Вт~ ° =х~м ) е (Ч П,63) Разница между критическими значениями (ЧП,53) и (ЧП,62) объясняется тем, что значение б было определено для симметричной задачи, где за характерный размер удобно было взять полуширину слоя, в то время как в полностью несимметричной задаче удобно пользоваться полной толщиной приведенной пленки. С учетом (ЧП,60) формула (Ч11,59)примет вид ВТ~ Т~ У2И (ЧП,64 Е т~ — т'о нз ) Для типичных реакций горения ЛТг(( Е и, следовательно, масштаб Х для критического режима мал не только в сравнении с размерами системы, но и с толщиной приведенной пленки. Таким образом, теория Зельдовича оказывается применимой для нахождения критерия поджигания горячей поверхностью, если только линейные размеры или радиус кривизны этой поверхности не становятся намного меньше толщины приведенной пленки.
В теории Зельдовича скорость реакции полагается зависящей только от температуры, но не учитывается изменение концентраций реагирующих веществ вблизи от поверхности из-за термического расширения и выгорания. Хитрин и Гольденберг (26), использовав подобие полей температуры н концентрации, ввели в теорию поправочный множитель, учитывающий эти факторы. Он зависит как от порядка реакции по общему давлению (нз-за термического расширения), так и от порядка по лимитирующему веществу (изза выгорания). Сопоставление теории локального подя~игания с опытом затрудняется тем, что в теорию входит скорость реакции, которая для многих реакций горения недостаточно хорошо известна. Удобно [32) выразить критерий локального поджигания через скорость распространения пламени с температурой во фронте, равной температуре зажигающей поверхности ю (Т,).
Сопоставление формул (ЧП,63) и (Ч1,68) с учетом определений 0 и т позволяет представить условие локального поджигания в виде (т,) > — '"," )/'ч (е„, 6.), (ЧП,65) где а — температуропроводность горючей смеси; Л вЂ” характерный размер, к которому отнесен критерий Нуссельта г(п; 'Р— безразмерный мне>китель, связанный с множителем Р теории распространения пламени. В теории, не учитывающей выгорания и термического расширения, эта связь имеет вид е ~Р Я м ез 1 343 23. Зак. 2013 где е = — (т — т), Е нт' 1 Я в, = — (т,— т,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
