Диффузия и теплопередача в химической кинетике Франк-Каменецкий Д.А. (1014155), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В дальнейшем вопрос этот был разрешен в работах И9, 20), в которых показано, что для цилиндрического случая задача может быть решена аналитически. Для этого достаточно ввести в качестве независимой переменной вместо величины = — ее логарифм: Г и учесть, что — = — +2, ьа ив ед еу а следовательно: ль ~в ануе = еуе то в новых переменных уравнение (Ч11,19) примет вид: — „, = — ЬеФ, (ЧП,32) совпадающий с (ЧП,8).
Таким образом, простой заменой перемен- ных задача о цилиндре сводится к плоской. Общий вид решения для обоих случаев может быть согласно (ЧП,10) записан как еФ = а ~сп ( )/ —, у — Ь) ) (ЧП,ЗЗ) Тождественныйрезультатв несколько другойформебыл получен еще в работе Лемке [22). В его формуле величины 1 -+ х/ =о фигур г рируют как корни квадратного уравнения х — 2х+1 — — = О. а аб г Существенная разница между цилиндрическим и плоским случаями заключается в граничных условиях. В плоском случае они имели вид: ф($)=ф( — $); прн у=~1; ф=О, что давало для постоянной а трансцендентное уравнение. В задаче о цилиндре решениеимеетна оси(при 5 = 0,у = — со) особенность, и одно иа граничных условий сводится к тому, чтобы разность температур 0 оставалась конечной на оси.
При $- 0 (у -+ — со) решение (ЧП,ЗЗ) стремится к виду: еФ = 4леу~а~а-аь ЗЗЗ где для плоской задачи у = $, ф = О, а для цилиндрической ати переменные связаны соотношениями (ЧП,29) и (ЧП,31). В силу четности гиперболического косинуса и произвольности постоянной Ь нет необходимости сохранять два знака в формуле (ЧП,10).
В явном виде решение для цилиндрического случая получается, если в формуле (ЧП,ЗЗ) вырааить гиперболический косинус череа акспоненты и подставить выражения (ЧП,29) и (ЧП,31), что дает: т/ а ~/аб~ 8 = 1п 4а — 21п(е-'$ г ' + е'$ ~ ' ). (ЧП,ЗЗа) илн, переходя к исходным переменным* по формулам (ЧП,29) и (Ч11,31): $эеэ 4ае-эь Ц т'ва (ЧП,34) Для того чтобы при $ = О величина 0 оставалась конечной, должно удовлетворяться условие: "р' 2аб = 2; а = (Ч1?,35) При етом безразмерная температура на оси цилиндра выражается как 0 = 1п4а — 2Ь.
(Ч11,36) Второе граничное устовие на стенке имеет вид: при $ = 1 0 = О, т. е. при у = О, ф = О, откуда согласно (Ч11,33) и с учетом че~кости гиперболического косинуса а еь'ь (Ч11,37) Отсюда сразу видно, что минимальное значение а достигается при Ь = О и равно единице. Подстановка в (ЧП,35) дает Ь„р —— 2 (Ч11,38) в точном согласии с результатами численного расчета. Максимальный предвзрывной разогрев, согласно (ЧП,36), 0 = 1п4= 1,38. (ЧП,39) — =е э св' Ь (ЧП,37а) а В работу (20) вкралась опечатка: в формуле (3) этой работы должно быть и=(д) е. Численный расчет дал практически тождественное значение 1,37. Как видно, в цилиндрическом случае нахождение константы интегрирования и критического условия оказывается гораздо проще, чем в плоском: все результаты получаются в конечном виде и не приходится решать трансцендентное уравнение.
Причина в том, что здесь свойства решения существенным образом определяются особенностью на оси. Полученные результаты чрезвычайно легко обобщаются на случай вынужденного воспламенения, когда температура стенки не совпадает с начальной температурой газа. В атом случае добавочным параметром задачи становится значение 8 на стенке: при у =О, 0=0,. Второе граничное условие вместо (ЧП,37) дает: и минимальное значение а оказывается равным е'*. Подстановка в (Ч11,35) дает для критического значения 6: Внешняя тепяоизоляция В начале своего раавития теория теплового взрыва применялась главным обрааом к воспламенению газовых смесей.
В такого рода примерах есть все основания считать температуру стенки заданной и постоянной независимо от условий ее охлаждения. Это связано просто с тем, что теплоемкость твердого тела настолько больше теплоемкости газа, что даже всего тепла, выделяющегося при газовом взрыве, хватило бы только на незначительное повышение температуры стенки. Иначе обстоит дело для взрыва конденсированных фаз, где теплоемкости реагирующей среды и стенки одного порядка.
В этом случае в стенке должно установиться стационарное распределение температур и температура на внутренней поверхности стенки не может считаться заданной, но должна быть определена из комбинированного граничного условия: Л( — „) = — а(Т вЂ” Т ), (У11,40) где Л вЂ” теплопроводность реагирующей среды; а — коэффициент теплоотдачи; Тр, — температура окружающей среды.
Бараыкин и Мержанов 121 решили задачу о тепловом взрыве с комбинированным граничным условием (У11,40) для простейшего случая, когда температура окружающей среды Т равна начальной температуре 335 б„р — — 2е" . (У11,38а) Максимальный разогрев под взрывным пределом сохраняет прежнее значение. Критическое условие (Ч11,38а) имеет чрезвычайно простой смысл: если в определение параметра 6 подставлять скорость реакции не при начальной температуре газа, а при температуре стенки, то получится критерий 6.= бе', критическое значение которого сохраняет то же аначение, что и в задаче о самовоспламенении.
Есть все основания полагать, что этот вывод останется в силе и для других задач о симметричном воспламенении (но, конечно, не для локального зажигания). Шамбре [19) заметил, что для сферического случая решение уравнения (У11,20) может быть выражено через табулированные функции, так называемые функции Эмдена, имеющие основное значение в теории политропных газовых шаров, т. е. в теории внутреннего строения ввезд. Можно было бы вместо численного интегрирования воспользоваться готовыми таблицами этих функций, что, как проверил Шамбре, дает тождественные результаты.
Для цилиндра авторы использовали аналитическое решение Лемке 1221, которое отличается от нашей формулы (Ч11,33а) только более сложным способом введения постоянных интегрирования. Аналогичные расчеты одновременно и независимо произвел также Томас [29), результаты которого, представленные в виде графиков, можно найти в монографии (30). Аналитические формулы имеют довольно громоздкий вид, и мы их приводить не будем, отсылая интересующихся к оригинальным работам. Для приближенной оценки критического условия Барзыкин и Мержанов рекомендуют использование формулы (Ч11,22) с подстановкой в нее суммарного коэффициента теплоотдачи, получаемого по правилу сложения термических сопротивлений: — = — + — ', (Ч11,42) аеас где и берется из задачи с заданной температурой стенок. Отсюда следует: Ь„бс га и с" г (Ч11,43) где Ю берется из обычной теории; оу — объем, занятый реагирующей средой; Я вЂ” ее поверхность.
Сопоставление этой формулы с точными расчетами Барзыкина и Мержанова дает расхождение не свыше бсср для плоского сосуда, 9с4 для бесконечного цилиндрического и 16е4 для сферического. Заметим, что при грубой оценке можно считать значения 6, близкими к Яг/сс, как видно из следующего сопоставления: Таблица 0 Плослопарал- лельниа со- суд сфера цнлннар бо о"г/ю 0,33 1 2,00 2 3,32 Отсюда следует оценочная формула: с б нр 1+ — „,' (Ч11,43а) 336 То.
Тогда в безразмерных переменных это условие принимает вид: (Ч11,41) где Хи — критерий Нуссельта: г(ц = — = 2 —. аН аг Как видно из формулы (Ч11,43), значение бс отвечает предельному случаю очень сильного внешнего теплоотвода, когда температура на внутренней поверхности стенки равна температуре окружающей среды. Конечное значение 1чп означает внешнюю тепло- изоляцию; при этом критическое значение 6 уменьшается, т. е. воспламенение облегчается. Очевидно, что те же результаты применимы и к любым случаям внешней теплоизоляции, например, когда реагирующий объем заключен в протяженную теплоизолирующую среду. При этом изменится только значение критерия Нуссельта.
Так, для сферического очага в неограниченной среде равной теплопроводности г(п = 2, и теплоизоляция уменьшает критическое значение 6 в 1 + е раз. Нетрудно рассмотреть таким же методом и более интересный случай, когда температура окружающей среды Т отличается от начальной температуры реагирующего вещества Уо.
Проверка метода разложения экспонента Парке (23] проверил точность метода разложения экспонента в задаче о тепловом самовоспламенении посредством использования точного закона Аррениуса в форме (Ч1,23а) с помощью электронной вычислительной машины. Результаты его расчетов приведены в табл. 10, где даны значения нашего параметра бкр в функции Таблица 10 Критические значении 6 ~ Бесконечный Шар ~ цилиндр ! Беснонечный плоский слой Цилиндр с длиной, равной диаметру в~вте кус 2,68 2,93 2,63 2,88 2,58 2,83 2,58 2,83 2,58 2,83 2,58 2,83 2,58 2,83 2,53 2,78 2,53 2,78 337 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 3,51 3,47 3,44 3,42 3,41 3,40 3,38 3,38 3,38 3,37 3,36 3,36 3,35 3,35 3,35 3,34 3,34 2,И 2,08 2,07 2,06 2,05 2,04 2,04 2,03 2,03 2,03 2,02 2,02 2,01 2,01 2,01 2,01 2,01 0,927 0,915 0,9И 0,905 0,904 0,894 0,892 0,892 0,891 0,886 0,884 0,882 0,881 0,880 0,880 0,880 0,880 от величины ЦВТ, для трех рассмотренных нами геометрических форм сосуда, а так>не для куба и конечного цилиндра с дли- Е ной, равной диаметру.
Как видно из таблицы, при †. ) 20 точл'г ность метода разложения экспонента оказывается вполне удовлетворительной. Результаты для куба и конечного цилиндра позволяют проверить нашу приближенную формулу (Ч11,27) и ее частный случай (Ч11,28). Для куба критическое значение 6 по нашей формуле 2,52, в то время как численные расчеты для больших значений Е)ЛТ„дают 2,53 — согласие даже слишком хорошее. Для цилиндра с длиной, равной диаметру, формула (ЧП,28) дает б„р — — 2,84, а расчеты Паркса — 2,78.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
