Диффузия и теплопередача в химической кинетике Франк-Каменецкий Д.А. (1014155), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Переменные х и у имеют вспомогательное значение. Интегрирование удобно начинать с помощью рядов для цилиндрического сосуда: 1 в 1 в 1 в у — -х — — х + — х —...... 4 64 + 768 для сферического: 1 в 1 в 1 в у= — х — — х + 6 120 + 1890 х— Дальнейшее интегрирование производилось численно по методу Адамса. Результаты численного интегрирования приведены в табл. О для цилиндрического сосуда и в табл. 7 — для сферического.
В соответствии с изложенным, в таблицах дана зависимость между 6 и Ов Таблица 6 Цилиидричееиий еееуд в. ~ ь в 6 327 22. звк. 1013 0,0000 0,0100 О, 0396 0,0880 0,1538 0,2351 0,3297 0,4361 0,5487 0,6685 0,0000 О, 0025 0,0100 0,0224 0,0396 0,0615 0,0879 0,1188 0,1538 0,1920 0,7909 0,9137 1,0354 1,1531 1,2658 1,3718 1,4705 1,5612 1,6423 1,7155 0,2346 0,2809 0,3299 0,3823 0,4372 0,4946 0,5545 0,6158 0,6794 0,7441 1,7792 1,8341 1,8803 1,9176 1,9486 1,9706 1,9874 1,9967 2,0008 1,9999 0,8102 0,8774 0,9455 1,0146 1,0839 1,1541 1,2243 1,2949 1,3657 1,4365 1,9944 1,9845 1,9712 1,9548 1,9351 1,9135 1,8896 1,8646 1,8368 1,6075 1,5070 1,5775 1,6477 1,7178 1,7875 1,8565 1,9254 1,9939 2,0618 2,1293 Таблица 7 Сферический сосуд е.
Так же, как и в рассмотренном выше случае плоскопараллельного сосуда, б как функция О, имеет максимум. Каждому значению Ь' отвечают два стационарных распределения температуры. Устойчиво то из них,которое отвечает меньшему значению О . Максимальное значение б дает критическое условие воспламенения, а соответствующее значение О, — максимальный предвзрывной разогрев. Зависимость О, от б дает стационарный разогрев под взрывным пределом, Из табл. 6 и 7 находим критическое условие воспламенения.
Для цилиндрического сосуда оно имеет вид: б„р — 2,00. Для сферического сосуда б„р — — 3,32. Максимальный предвзрывной разогрев составляет в цилиндри77 Т~~ ВТ~~ ческом сосуде 4,37 †', а в сферическом 1,60 — ". Сопоставление с нестационарной теорией Мы нашли окончательный вид критического условия воспламенения для систем плоскопараллельной, цилиндрической и сферической форм в допущении чисто кондукционной теплоотдачи.
Критическое условие сводится к определенному численному значению 328 0,0000 0,0100 0,0397 0,0887 0,1558 0,2399 0,3394 0,4525 0,5771 0,7116 0,8531 1,0005 1,1508 1,3026 0,0000 0,0017 0,0067 0,0150 0,0265 0,0411 0,0590 0,0796 0,1035 0,1295 0,1589 0,1901 0,2241 0,2603 1,4547 1,6062 1,7513 1,8941 2,0308 2,1620 2,2856 2,4021 2,5115 2,6122 2,7060 2,7912 2,8689 2,9393 0,2981 0,3382 0,3797 0,4225 0,4672 0,5127 0,5596 0,6075 0,6561 0,7056 0,7555 0,8052 0,8571 0,9082 3,0027 3,0587 3, 1086 3,1521 3,1887 3,2213 3,2484 3,2707 3,2880 3,3020 3,3211 3,3173 3,3216 3,3217 0,9598 1,0114 1,0631 1,1148 1,1665 1,2180 1,4695 1,3206 1,3716 1,4222 1,4726 1,5227 1,5722 1,6214 3,3188 3,3153 3,3086 3,3007 3,2304 3,2782 3,2671 3,2509 3,2375 3,2200 3,2042 3,1854 3,1668 3,1490 1,6702 1,7186 1,7664 1,8138 1,86И 1,9075 1,9536 1,9992 2,0443 2,0889 2,1330 2,1766 2,2197 2,2623 — (7ге-ЯЯг = —— Š— 1 аЯ вт' е о> р (ЧП,21) где Я вЂ” поверхность сосуда; а — его объем.
Прн использовании теории Семенова — Телеса [1, 2) для вычисления периода индукции значение эффективного коэффициента теплоотдачи а надлежит подбирать так, чтобы формула (ЧП,21) давала правильное критическое условие. Если конвекцня отсутствует, то для этого достаточно сравнить формулы (ЧП,21) и (ЧП,9), откуда а,эв = †, еб„рХ. (ЧП,22) При данной геометрической форме отношение объема к поверхности пропорционально линейному размеру. Поэтому формула (ЧП,22) отвечает для геометрически подобных систем постоянному эначенню критерия Нуссельта, которое мы, согласно традиции, будем выражать через Н = 2г: аэвв" 2м г(и,эс = — = — еб„р, (ЧП,23) Найденные по этой формуле значения эффективного критерия Нуссельта приведены в табл. 8. Они позволяют решать все стационарные и нвстационарные задачи воспламенения для простой геометрии с помощью элементарной теории. Для систем более сложной геометрической формы стационарное уравнение (ЧП,2) оказывается нелинейным уравнением в частных производных.
Нахождение точного критического условия стационарным методом становится сложной математической задачей даже и для цилиндра конечной длины. В подобных случаях можно испольэовать формулу (ЧП,23) для нахождения б„р, оценивая эффективный коэффициент теплоотдачи из сопоставления с квази- стационарным охлаждением. При отсутствии тепловыделения нестационарнов уравнение теплопроводности (Ч1,7) принимает вид: — = аЛТ беэразмерного параметра 6, которое равно для бесконечного плоского слоя 0,88, для бесконечного цилиндра 2,00 и для сферы 3,32. Сопоставим полученные результаты с нестационарной теорией Семенова И), в которой температура полагается постоянной по всему реагирующему объему, а тепловой поток — пропорциональным некоторому, ближе не определяемому, коэффициенту теплоотдачи а.
Как мы видели в предыдущей главе, в нестационарной теории для предела воспламенения получается выражение (Ч1,49), которое после подстановки значений т ~ (Ч1,45) и тр (Ч1,42) принимает вид: Таблица 8 и оказывается линейным. Оно может быть решено методом Фурье, и решение получается в виде ряда: -то ос Т вЂ” То = ~~'.~Аае '"Х„, а (Ч11,24) Эта стадия процесса носитназваниеквазистационарного или регу- лярного теплового реясима. Дифференцирование формулы (Ч11,24) дает: — (Т вЂ” То) = )соя(Т То) д о дс в то время как, согласно (Ч1,37), в отсутствии тепловыделения: — (Т-Т,) = — (Т-Т,).
д аЮ дс о рсо (Ч11,25) Сопоставление дает: оз о осэфф = йс~. Ю Если воспользоваться зтим значением сс для вычисления крити- 330 где Մ— функции от пространственных координат, удовлетворяющие уравнению и граничным условиям. С течением времени зкспоненциальные множители с большими значениями )с становятся пренебрежимо малыми, и можно ограничиться членом с наименьшим значением ссс: -ооас Т вЂ” То= Аое ' Хс.
ческого условия по нестационарной теории, то формула (ЧП, 22) даст: где йд — наименьшее собственное число линейного уравнения теплопроводности. Для не вполне симметричных систем: /д' = /д~ + /д'„+ /д~. Так, для цилиндра конечной длины Х, и радиуса дч д яд рд /дд = — +— д'| ' г' откуда 1 ( д л'г') и по формуле (ЧН,27): / ов (Рд+ 4х. ) = 2,00+0,843/, д ) (Ч11,28) где д/ = 2г — диаметр цилиндра. Этой формулой мы пользовались при обработке результатов опытов, проведенных в цилиндрических сосудах с длиной порядка диаметра. Уже при длине, равной удвоенному диаметру, поправка на конечную длину цилиндра составляет всего около 10Р1р, а при Ь/зд = 6 — всего около 1'р.
Если длина цилиндра меньше диаметра, то он приближается к плоскому диску и в определение 6 (Ч11,9) вместо г следует подставлять Ь/2. В предельном случае д. (< д/ формула (Ч11,28) дает значение б„р 0,843 вместо 0,88. Для куба с ребром 2г д л' йд =3— 4рд откуда значение б„р в три раза больше, чем для плоского слоя: брр 2,73. Наша формула (Ч11,27) дает для куба 6, =: 2,32.
Ниже мы приведем результаты численных расчетов Паркер /23), хорошо согласующиеся с нашими оценками. 331 ф 6 р= (Ч11,26) В табл. 8 сопоставлены определения аффективного коэффициента теплоотдачи для простейших геометрических форм. Здесь зд — функция Бесселя нулевого порядка; /дд — ее первый корень. Отношение 6'/6 равно 1,09 для сферы и 1,07 для бесконечного цилиндра. На этом основании мы предложили приближенную формулу для систем произвольной геометрической формы: (Ч11,27) В предыдущих рассуждениях предполагалось, что теплопередача происходит путем чистой кондукции, т. е. конвекция полностью отсутствует.
В жидких системах, а также в газах при высоких давлениях и больших размерах сосуда должно сказаться влияние свободной конвенции, которое может быть учтено методом теории подобия с помощью формулы (Ч1,35). Сильная конвекция приведет к выравниванию температуры по всему реакционному объему, после чего воспламенение будет описываться теорией Семенова со значением ю, зависящим от теплового сопротивления стенки и условий теплоотдачи в окружающую среду. Аналитическое решение задачи о тепловом взрыве для цилиндрического случая (ЧП,29) у = 1пс. Как известно, для случая цилиндрической симметрии оператор Лапласа может быть записан в двух совершенно эквивалентных формах: н2/ $ Ф 1 Ы 4 ь1 = — + — — = — — х —.
Ых' х Ых х Нх Нэ ' Пользуясь второй из этих форм, можем записать уравнение (ЧП,19) в виде б,в й %~ ль (ЧП,19а) Заменяя согласно (Ч11,29) $ на ег,приводим уравнение к виду: беэ+эу. ,1„2 (ЧП,30) Если теперь за искомую функцию принять ф=Е+2у 332 (ЧП,31) До сих пор мы получали численные значения параметра бкэ для всех случаев, кроме плоского, посредством численного интегрирования.
Этот совершенно общий метод применим при любой форме сосуда. Для бесконечного цилиндрического сосуда критическое значение 6 с той точностью, какой удалось достигнуть численными методами, оказалось равным целому числу 2. Но оставался открытым вопрос, случайное ли зто совпадение или в случае цилиндра задача о критическом условии действительно имеет простое целочисленное решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
