Диффузия и теплопередача в химической кинетике Франк-Каменецкий Д.А. (1014155), страница 47
Текст из файла (страница 47)
зья. готз Если приписывать такому разбиению области интегрирования физический смысл, то нужно будет принять, что в области ц ( т)т турбулентность полностью отсутствует; эту область называют ламинарным поделаем. В этих допущениях формулы (Ч, 24) и (Ч, 25) дают: -'=- Ч + — '(Ч.-цт), / А (Ч, 26) — 1гг — ( Ргт)т + — (т)ь — т)т) ° (Ч, 27) Если теперь выразить — (ц„— т)т) из формулы (Ч, 26) и подставить в (Ч, 27), то получится — = — + ~/ — т),(Рг — 1). (Ч, 28) Так как внутри ламинарного подслоя турбулентность полагается отсутствующей, то распределение скоростей там должно считаться линейным, откуда рт рт дг ю (Ч, 29) дз Ш где индекс 1 обозначает границу ламинарного подслоя.
Отсюда и из (Ч, 19) 1 оз = — — ум 2 (Ч, 3О) что по сопоставлении с (Ч, 23) дает: ~/2 ю т)~ = )/ = У (Ч, 31) Как видно из сопоставления формул (Ч, 31) и (Ч, 20), распределение скоростей внутри ламинарного подслоя в безразмерных переменных имеет наипростейший возможный вид: =Ч (Ч, 32) откуда (Ч, 33) С помощью (Ч,31) формула Прзндтля может быль представлена в виде —,', = Я1+ — ",' (Р.— 1)~. (Ч, 34) Этот вид кажется простым, но в действительности формула (Ч, 28) гораздо яснее демонстрирует существо дела. Входящая в нее величина ц, по гипотезе локальности должна быть универсальной постоянной, в то время как к оз/У это отнюдь не относится. Различные авторы обрабатывали экспериментальные данные по формуле (Ч, 34), подбирая для в,/У эмпирические зависимости от критериев Рейнольдса и Прандтля, что означает уже отказ от гипотезы локальности.
232 Ламинарный подсиой с зоной сопряжения Модель Прандтля явно носит характер грубого приближения, поскольку в ней коэффициент турбулентного обмена не удовлетворяет даже простому условию непрерывности. Карман предложил более совершенную модель, в которой между ламинарным подслоем и основным потоком располагается зона сопряжения, обеспечивающая непрерывность функции А (у).
В дальнейшем эта модель подверглась многочисленным модификациям, в одних из которых, как и в первоначальной модели Кармана, коэффициент турбулентного обмена обращается в нуль на конечном расстоянии от стенки, т. е. сохраняется ламинарный подслой конечной толщины, в то время как в других функция А (у) стремится к нулю лишь при у = О, т. е. ламинарный подслой в строгом смысле отсутствует. Во всех моделях при Рг = 1 должна осуществляться аналогия Рейнольдса (1, 36); по аналогии с (У, 28) все они могут быть представлены общей формулой: + С (Рг) 1 2 -/2 я ( (У, 35) где С (Рг) — функция, удовлетворяющая условию С (1) = О.
Функцию С (Рг) иногда называют функцией Кармана. В модели Прандтля С (Рг) = тн(Рг — 1). (У, 36) Во всякой модели, оперирующей ламинарным подслоем конечной толщины, функция С (Рг) должна содержать член такого же вида, происходящий от интегрирования по ламинарному подслою, и сверх того дополнительные члены, возникающие за счет зояы сопряжения. Так, в трехслойной модели Кармана на основании обработки экспериментальных данных по теплоотдаче в вязких жидкостях было принято: С(Рг) = ц,(Рг — 1) +1в ~1 + (Рг 1)1.
(Ъ',37) о = о (А + В1пц). (Ч, 38) Чтобы получить плавное сопряжение с этим законом, мы предложили для коэффициента турбулентного обмена интерполяционную формулы: 1 Ас и (У, 39) » х» Здесь безразмерная координата») отсчитывается от внешней границы ламинарного подслоя; и — основная константа теории 233 В литературе обсуждается и ряд более сложных трехслойных и даже четырехслойных моделей. В первом издании настоящей книги рассматривался вопрос о возможности построения двухслойной модели, в которой вводится ламинарный подслой конечной толщины, но зона сопряжения и основной поток описываются единым аналитическим выражением.
Как известно, вдали от поверхности распределение скоростей в турбулентном потоке следует логарифмическому закону: ( = ху. Подстановка формулы (Ч, 38) в интеграл (У,24) не дает возможности выполнить интегрирование аналитически. Результаты численного интегрирования могут быть представлены интерполяционной формулой: — = — + гтг — ттт(Рг — 1)+ — — 4 2 -/2 1 Рг Ы ) У ) х 1,4 1в Рг — ОА+ — ' Рг (У, 40) Все модели, принимающие конечную толщину ламинарного под- слоя, приводят при больших значениях критерия Прандтля к пре- дельному закону: 81Рг = — ~~ — ° /'Х щ 'г' 2 (Ч, 41) Эта величина в сильно турбулизованном потоке должна быть при- мерно постоянной.
Вязкий подслой Ландау и Левич (3, 4) указали, что нет никаких оснований допускать существование зоны, где турбулентность полностью отсутствует. В слое, непосредственно прилегающем к поверхности, турбулентность затухает. Этот слой Ландау называет вязким подслоем. Затухание турбулентности происходит постепенно и непрерывно, так что пульсационная скорость обращается в нуль только у самой твердой поверхности. Таким образом, вязкий подслой есть область течения, где вязкость играет основную роль, но течение здесь не чисто ламинарное. Для пульсационной скорости, а следовательно, и коэффициента турбулентного обмена в пределах вязкого подслоя принимают обычно степенную зависимость от расстояния до поверхности.
Предельный закон переноса тепла или вещества при больших значениях критерия Прандтля (Шмидта) выражается тогда также степенной функцией от этого критерия, и показатели степени в обеих зависимостях связаны между собой. Эту связь легко получить из формулы (У, 24). Пусть коэффициент турбулентного обмена А пропорционален расстоянию до поверхности в степени )г. То яте будет справедливо и для безразмерного расстояния тк А (т)) = Арт(".
Определив вспомогательную переменную $ из условия А,Рггу~ = $", (У, 42) турбулентности, связывающая путь смешения 1 с расстоянием от поверхности у: приведем формулу (У, 24) к виду: г — г з. ы= 1' [А'~' 1'г ~ в о (1г, 43) При больших значениях Рг верхний предел интегрирования стремится к бесконечности и интеграл — к постоянному значению. В этом предельном случае для постоянного коэффициента сопротивления 1, т. е. постоянного критерия Рейнольдса, получается связь между критериями Стэнтона и Прандтля (Шмидта) в виде к.— г 81Рг = Сопзг.
(У, 44) Критерий Нуссельта (Шервуда) связан с критерием Стэнтона формулой (1,47): Хи = ЯС Ве Рг. Теория Ландау и Левича Изложим подробнее наиболее обоснованную теорию вязкого подслоя, принадлежащую Ландау и Левичу [3, 4]. Закон затухания турбулентности близ твердой поверхности эти авторы получают из следующих соображений. Так как основную роль в передаче импульса играет вязкость, то средняя скорость течения возрастает в вязком подслоепо тому же закону, что и при ламинарном течении, т.
е. пропорционально расстоянию от поверхности у. Продольная составляющая пульсационной скорости и„пропорциональна в и, следовательно, пропорциональна у. Поперечная со- 235 Отсюда видно, что в рассматриваемом предельном случае критерий Нуссельта при Ве = Сопзг пропорционален Ргп", т. е. в формуле (1,41) показатель и стремится к1/й. Как видим, исследование процессов переноса прк очень больших значениях критерия Прандтля (Шмидта) позволяет сделать выводы о значении показателя Й, т. е. о структуре вязкого подслоя. Монгно сказать, что экспериментатор, работающий при больших числах Прандтля, как бы проникает глубоко внутрь вязкого подслоя, тепловым или химическим способом зондирует его.
Ландау и Левич [3, 4] получили из общих теоретических соображений значение показателя й = 4. Левич [1] и Дайслер [8], обработав большое число экспериментальных данных по кинетике электродных реакций и процессов растворения, пришли к выводу, что они хорошо согласуются с этим значением показателя. С другой стороны, Кишиневский [15] отмечает большой разброс экспериментальных данных и считает, что они лучше удовлетворяют значению й = 2. Некоторые из экспериментов описаны в работах Нб — 19]. ставляющая пульсационной скорости и находится из уравнения непрерывности: и„= К„и.
(+) = К„)/ — г'т~з, (Ч, 45) где ʄ— универсальная безразмерная постоянная. Путь смешения в поперечном направлении 1 порядка произведения ии на период турбулентных пульсаций, относительно которого делается предположение, что он не зависит от у. Тогда путь смешения пропорционален и„, а следовательно, пропорционален у'. По гипотезе локальности, в этот закон пропорциональности в качестве размерной величины должен входить только масштаб длины бз (Ч, 21), откуда (Ч, 46) где К, — новая универсальная безразмерная постоянная. Для коэффициента турбулентного обмена с учетом соотношений (Ч, 20) и (Ч, 21) получается: (Ч, 47) А = 1и = т (пц)', где и = (К„КД'/.
Таким образом, основной результат теории Ландау и Левича заключается в том, что коэффициент турбулентного обмена возрастает пропорционально четвертой степени расстояния от поверхности. Подстановка этого результата в интеграл (Ч, 24) дает: р, + (ич)4 (Ч, 48) Если ввести новую переменную $ = рг'ьиЧ, (Ч, 49) 236 ди„ди„ вЂ” "+ "=0. а* ад В пределах пограничного слоя поперечное распределение с изменением продольной координаты х остается подобным самому себе, откуда производная ди„/дх меняется с у так же, как и„, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
