Диффузия и теплопередача в химической кинетике Франк-Каменецкий Д.А. (1014155), страница 50
Текст из файла (страница 50)
" Скорость, как и обычно, считаем направленной в сторону поло1кительных значений х. Поверхность тела лежит в области х) О. 17. Зак. 2013 247 ческие константы и гидродинамические условия потока точно пе определены. Значение р берется прн этом из экспериментальных данных, полученных в диффузионной области, либо пз экспериментов по теплоотдаче, обработанных методом теории подобия. Удобно ввести локальный коэффициент сопротивления >, определенный посредством соотношения рай> т=~— 2 где (> — скорость основного потока, которая считается постоянной. Тогда уравнение (Ч, 83) запишется в виде гс, (Х1 х 12 г' (С1) = — () ~ О дт>. (Ч, 83а) р') (х') 1(х' 2 1 >>) (х') 1(х Как видно из формулы (Ч, 81), для ламинарного потока с опреде- ленными гидродинамическими характеристиками локальное зна- чение )) может быть найдено расчетом: 2 32 Г(',.-') ( Рт,(х о (Ч, 85) УГ 1 2 1 21 2.'1 32 Г ( ")х 2 ~/ ) ф'')(х')1(х' 0 Мы можем теперь сформулировать совер>пенно точно, в.чем заключается приближение, которое делается в методе равподоступной поверхности.
Мы пренебрегаем влиянием изменения концептрацип по поверхности на коэффициент переноса. Иными словами, мы приняли, что коэффициент в выра>кении ) = )) (Со — С1) 249 в каждой точке остается таким же, как и в случае, когда концентрация С, постоянна по поверхности.
Но зависимость этого коэффициента от условий течения, формы поверхности и прочих факторов, ие связанных с протеканием самой реакции, учитывается, конечно, з полной мере. Некоторые авторы И, 14) называют методом равнодоступной поверхности более грубое приближение, в котором толщина диффузионного слоя (или коэффициент массоотдачи) полагается постоянной по всей поверхности. Во избежание путаницы можно предложить различать локальный метод равнодоступной поверхности от усредненного. Для реакции первого порядка в силу линейности оба приближения совпадают. Но прн более сложной кипе- тике локальный метод должен давать значительно более высокую точность. Продольное усреднение Интегральное уравнение (У, 79) можно усреднить по координате х методом, который указал Лайтхилл.
Для этого обозначим х ~ )/ г (*') 1(х' = Ф (х, х,) х~ и проинтегрируем уравнение (У, 79) по х: ь х 1 й1Р(С )Ых З,1 дФ с1х('Ф 1 где Л' — постоянный коэффициент в правой части (У, 79). Перемена порядка интегрирования дает: ь ь 1 й~р(С1)дх= — Ж~ ' с1х1~ Ф ох х3 и после интегрирования по частям: й) Р (С1,) Их = — — Л' ') ' Ыхт ~ Ф ' (х, х,) дх. 3 с хС д 2,) ХХ1 Если во втором интеграле справа заменить в нижнем пределе х, на О, то придем к усредненному методу равнодоступной поверхности. Перенос вещества в установившемся ламинарном потоке Рассмотрим случай ламинарного потока с установившимся профилем скоростей.
В этом случае касательное напряжение т постоянно. Удобно выразить его через коэффициент сопротивления согласно (У, 84) и воспользоваться формулой (У, 81а). Будем сначала считать концентрацию С, у поверхности заданной и пос- 250 гоянной. Тогда из (Ч, 81) н (Ч, 84) для локального коэффициента массоотдачи р получается выражение: 1 1 2 аз 2 12 у2 (Ч, 86) 2 2 22 Зэ Г( —,) или 1 1 1 Хо„: — ~~ =,т2" Яс' ~' Йе„2, (Ч, 88) где 1 1 182 Г( — ) Ве„=— У Для потока в трубе или канале диаметра д обычный критерий Нуссельта: 1 1 2 1 р,тГ'1 2 Ясэ Вез ( )з (Ч 89) Прн ламинарном течении в трубе коэффициент сопротивления обратно пропорционален критерию Рейнольдса, так что формула (Ч, 89) принимает вид: 1 )'(и = — Сооз1(Ясйе — ) ' х совпадающий с законом Левека (1, 39). Эти результаты исчерпывают вопрос для диффузионной области.
В общем случае нужно решить интегральное уравнение (Ч, 80), которое для установившегося потока принимает вид: кг (Сг) = — р(а) ~ 2 ~Ь1, (Ч, 90) где р (х) сс х ч . Из этого уравнения находится концентрация у поверхности С1 как функция от ад подстановка ее в Р (С,) дает локальную скорость 251 где х — расстояние рассматриваемой точки от места, где диффундирующее вещество вводится в поток. В безразмерных величинах этот результат можно представить как 1 Ягьа ' (Ч, 87) не 1 х реакции.
Коли принять за безразмерную координату: 1 а з = = Сопзгл з, й (з) (У, 91) то уравнение примет безразмерный вид: ас, Р(с,) = — ~ "т' з з (Ч, 90а) азз. где а — численный коэффициент порядка единицы, для которого численное интегрирование дает аначение а = 1,33. При такой зависимости коэффициента сопротивлеяия ) от расстояния от начала пластинки х интеграл, входящий в формулы (У, 83а) и (Ч, 85), выражается как 1 1 3 ~ ~пх') ь' = — ', ~ ' ( ~ 1' з (У, 92) Коэффициент массоотдачи для пластины выразится согласно (Ч, 85) как 1 3 1 1 аз рз рз аз 2 УЗ Г( — ) ' у" " ( з ) зс ' ~гн (У, 93) Таким образом, связь между числом Стэнтона и коэффициентом сопротивления для пластины при больших числах Шмидта имеет вид: 2 (У, 94) и з т'3 Г(~) Ясз 252 Ламинарное обтекание пластины с химической реакцией на поверхности Простейшим примером течения с неустановившимся профилем скоростей является продольное обтекание плоской пластины бесконечным потоком.
У передней кромки всякого тела толщина пограничного слоя мала, так что кривизной поверхности можно пренебречь. Следовательно, начальная стадия обтекания всегда приближенно может быть сведена к этому простейшему случаю. При обтекании пластины коэффициент сопротивления: При числе Шмидта порядка единицы, согласно аналогии Рейнольдса 2 (Ч, 95) Таким образом, для грубой оценки критерия Стэнтона при ламинарном обтекании можно пользоваться приближенным соотношением: 2 ЯС= — ', Яс 3. ЙР(С~) = — 6(х)~ о Это уравнение можно записать з виде 0С! Ых~ й~ (С,) = —,'3 (х) х 4 о Ыхм (Ч,96а) з г' хт — х1*д Удобно принять за переменную интегрирования а г = — = Сове~ ~гх,, 1 (Ч, 97) где й — константа скорости реакции.
После этого уравнение (Ч, 96) принимает вид, не содержащий постоянных величин: ис, Р (Сг) — — — ~ з Ыг,. (Ч, 96б) ~/гч — г * Чтобы перейти к методу равнодоступной поверхности, нужно пренебречь величиной х, в знаменателе подыитегрального выражения. Тогда из (Ч,966) получится алгебраическое уравнение: Р (С,) = =— —,(С.— С,), с,— с, 6 г Решение интегрального уравнения диффузионной кинетики Как видно из изложенного„метод Шамбре и Акризоса позволяет свести задачу диффузионной кинетики для любых гидродинамических условий и любого закона химической кинетики на поверхности к интегральному уравнению (Ч, 80), которое можно 253 Интегральное уравнение (Ч, 83) для совпадающее с уравнением (П,2).
пластины принимает вид: гс, ~Ь~ с(х,. (Ч, 96) записать через коэффициент массоотдачи в форме (Ч,83). Для предельных случаев установившегося и неустановившегося потока оно принимает вид (Ч,90) и (Ч, 96). Для реакции первого порядка окончательное решение получается в виде ряда, гораздо более удобного для вычислений, чем квадратура Левича и Меймана. Для более сложной кинетики аналитические решения отсутствуют, но с помощью вычислительной машины легко получаются численные решения. Решение в виде ряда Шамбре и Акривос (11) дали изящный метод нахождения решения уравнения (Ч, 96) для реакции первого порядка и малых г.
Искомая функция разлагается в ряд: С1(г) = Со 1+~~~~ ( — 1)иаиг" и=1 Подстановка этого ряда в уравнение (Ч, 966) дает после простых преобразований: 1+ ~ч~ ~( — 1)" а„г" = ~~'~~ ( — 1)"-' —" г"-', о=1 и=1 ~и где .[3 .+ )1 Аи — 2 2 ( з "+') "( з ) (Ч, 98) Следовательно, коэффициенты разложения а„выражаются как о=и а„=Ц Ао о=1 Максимальное отклонение точного решения от метода равнодо- ступной поверхности нигде не превышает 58о. Тем же способом нетрудно решить и еще более простое уравнение (Ч, 90) для уста- новившегося потока. и легко вычисляются из формулы (Ч, 98). Получающийся знакопеременный ряд имеет внд: Сг (г) = Со(1 — 0,731г+0,453го — 0,252го+ ...).
(Ч, 99) Шамбре и Акривос вычислили сумму этого ряда, представили ее на графике и сравнили с методом равнодоступной поверхности, который для этого случая дает С,(г) = —,', 1+о (Ч, 100) з На всех шагах, кроме последнего, интеграл вычисляется непосредственно по любым квадратурным формулам. На последнем шаге нужно исключить особенность при г =гг, для чего интеграл (Ч, 90а) преобразуется как ь г)гз 1 , 1 Г (Ь + гз)(Ь вЂ” гз)Ч = — (Ьз,з)9*+ — ~ огз, 2Ь Ьз ) (Ьз+ Ьг + гз)лз а (Ьз гз)Ч а ннтеграл (Ч, 96б) ь (ЬЯ, /з) гз — как г'ь 1,, 2 (' гз ( г'Ь вЂ” гг)уз УЬ( )+УЬ ) ( +РЬ +Ь) ° га 255 Численное решение интегрального уравнения Интегральное ураннение (Ч, 83) может быть решено численно для любого вида функции Р (С,), описывающей кинетику реакции на поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
