Диффузия и теплопередача в химической кинетике Франк-Каменецкий Д.А. (1014155), страница 49
Текст из файла (страница 49)
принять в качестве одного из граничных условий обращение нормальной скорости в нуль на поверхности. В общем случае функция Ф (х) должна быть найдена из условия стехиометрии потоков, как было показано в главе П1. Полагая в дальнейшем Ф (х) = О, можно объединить формулы (Ч, 58) н (Ч, 59) в виде 2т и = — ф И (Ч, 61) 242 ности растворителя коэффициенты диффузии растворенных веществ уменьшаются (в первом приближении обратнопропорционально вязкости). Таким образом, легко получить на опыте очень большие значения диффузионного критерия Прандтля (в этой главе мы будем называть его критерием Шмидта и обозначать посредством Яс), в то время как тепловой критерий Правдтля сохраняет умеренные значения. Как мы видели в главе 1, с возрастанием критерия Прандтля растет и критерий Нуссельта, а следовательно, уже из формулы (1.28) можно заключить, что в вязкой среде толщина приведенной пленки для диффузии должна существенно уменьшаться.
То же относится и к аффективной толщине пограничного слоя, который является более строгим математическим эквивалентом понятия приведенной пленки. Можно различать вязкий пограничный слой, тепловой и диффузионный, и в вязкой среде толщина диффузионного слоя должна быть наименьшей — он умещается глубоко внутри вязкого слоя. На этом основании для вязкой среды в распределении продольнойскорости берется только первый член разложения по степеням у: и — у, (Ч, 58) Подстановка в уравнение (К, 57) дает: й =» )l'-'„' —,', а — '„' (Ч, 62) х х С =~77 )/ сЬ'= — ~ )/ — т(з')Ыз', (У,63) о и уравнение записывается для функции е (т, ф) = С вЂ” Со Эта функция представляет собой движущую силу диффузни.
Она обращается в нуль как при ф — со (вдали от поверхности), так и при 8 = = 0 (в набегающем потоке). В новых переменных уравнение (У, 62) принимает вид: де д — ду — = — уе†дг дз~> дф 1 (У, 64) откуда для изобрантения по Лапласу ~р (г, ф): СО ~р ив а ~ е "<ргй о получается дифференциальное уравнение: Ы , — де ч= уф — де д1 ' (У, 66) Ламинарный пограничный слой с химической реакцией на поверхности в предельном случае вязкой среды Уравнение (Ч, 62) исследовалось рядом авторов (6! в связи с теорией теплопередачи в ламинарном пограничном слое. Соответствующую задачу для диффузии с химической реакцией на поверхности рассмотрели Левич п Мейман И, 10! и Шамбре и Акривос [11 !. Левич и Мейман ограничиваются частным случаем неограниченного потока вдоль плоской пластинки и реакции первого порядка. Для этого случая ими получено аналитическое решение в виде квадратуры, которое можно найти в монографии Левича (1!.
Авторы не довели, однако, свой расчет до чисел, так что сопоставление его с приближенными методами требует еще большой вычислительной работы. Приводимые ими разлоькения в ряды пригодны лишь в непосредственной близости от кинетической или диффузионной области, где результаты расчета тривиальны. Шамбре и Акривос (11 ), следуя изящному методу, предложенному для тепловой задачи Лайтхиллом (12), преобразуют уравнение (У, 62) в интегральное уравнение, удобное для численного решения при любой зависимости т от х. Для этого используется операторный метод.
Вместо х вводится новая переменная: Если ввести вместо «(> новую независимую переменную: з = (4г)ч 1/«)>, (Ч, 67) то уравнение примет простой вид: «и ф> Ьр= — „„, ° (Ч, 68) Это уравнение имеет большое значение в квантовой механике и исследование его можно найти в математических дополнениях к курсу Ландау и Лифшица И31. Единственным решением, которое не возрастает экспоненциально с удалением от поверхности, является функция Эйри, которая выражается через модифицированные функции Бесселя 1: ~(и =- ',."" ~7 . ( — „.' Вь) — 7ь(-,.' Ь")1. (Ч, 69) Приближенный вид решения вблизи поверхности запишется, следовательно, как «р(ф) =А — В 1/Ф (Ч, 71) где козффициенты А и В связаны соотношением (Ч, 72) В неограниченной задаче координату у (соответственно «1 и $) приходится отсчитывать от поверхности.
Таким образом, будем считать, что у поверхности у = «1> = з = О. Читателя не должна смущать некоторая несогласованность обозначений, заключающаяся в том, что посредством С, мы обозначаем концентрацию не 244 Если выразить ~ через «)>, то получится решение Лайтхилла: «Р («(>) = 3 (2'ч*)ч'«(>ч'(7 '*(3 '> ф') — Вь(3 уь )>"Д.
(Ч 76) У поверхности при «(> — О разложения функций Бесселя в ряды дают: ( —,,"') '' (3) при у = О, а, наоборот, вдали от поверхности. Поскольку в диффузионной кинетнке мы обычно имеем дело с потоком исходного вещества к поверхности, будем, как и раньше, считать поток ) положительным, когда он направлен к поверхности, т. е. против направления координаты у. Поэтому выражение диффузионного потока будем здесь писать с обратным знаком: дС ) =)7 —. ду Вблизи поверхности можно ограничиться первым членом разложения концентрации по степеням йс ср='рт+ Ы у =- срт+ —, ~/ — 'т' (тт, 7:)) где ~р, — значение движущей силы диффузии у поверхности (при ф = О); ) — диффузионный поток на поверхность*.
Так как операторный метод применялся к переменной х, а не к ф, то соотношения для изобрая<ений будут такими же, так что сопоставление с /У, 71) дает: (т', 74) А ы ф, Таким образом, условие (тт,72) дает в операторном виде связь между движущей силой диффузии у поверхности р и потоком вещества у: (Ъ", 75) Но этот результат применим только при и + 1 ) О; для положи- тельных степеней г интеграл расходится на нижнем пределе. Поэ- тому для обращения преобразования Лапласа прибегают к сле- дующему приему: представляют ат фа в виде произведения гукр, = г-'4 (г<рт).
(Ъ', 77) " Так как стсфановскзй поток по допущепню отсутствует, то полный поток пюксстла па пое рхпосте равен Кпффуаионному потоку. Чтобы перейти от изображений к функциям, нужно обратить выражение гч р,. Из формулы преобразования Лапласа (У, 65) следует, что функции а" отвечает изображение: Р = — ~ е мР й = Г (и + 1) г-оып, е Значение ф, при ~ = 0 по условию равно нулю, Обращение первогс сомножителя дает г ~ / Г ( — ), обращение второго дает Щlй, об.
2 ращение же произведения (Ч, 77) производится по теореме о свертке, согласно которой интегралу $ р (с — с,) ~р (с,) л, е После подстановки в (Ч, 75) с учетом определения ф получается окончательно: 2 'Ь ~ ,; 1).„„, -Гт з г ыс,(с,) (Ч, 78) где С, — концентрация диффундирующего вещества у поверхности; переменная ~ связана с х формулой (Ч, 63). Переход от переменной ~ к переменной х даст: ас, = — — у —,, Яс )гт~ ' .Ых,. (Ч,79) р с~т1 г( — „') Если вещество на поверхности расходуется, то производная ИС,Их, отрицательна, а диффузионный поток положителен, как и должно быть по принятому правилу знаков. В интересующих нао задачах концентрация С, (х) в каждой точке определяется из условия равенства скорости реакции и скорости диффузии: 1 = йР(С1), где вид функции Р определяется кинетикой реакции на поверхности.
При этом С, (О) = С, (концентрации в набегающем потоке). Подстановка вместо у выражения (Ч, 79) дает интегральное уравнение для определения С,: х ~с, р ых~ )Р'(Сг) = — —, ~à —,, 8 ) т~, г(~~ о 1/» мгту),~, х, (Ч, 80) 246 отвечает ивображение р~К Таким образом, обращение произведения (Ч, 77) дает: ! 2 ) ( г) ~й ир,(6) (3) Как показали 1Памбре и Акривос, для простейших случаев это уравнение легко решается и дает возможность найти распределение концентрации, а следовательно, и скорости реакции вдоль поверхности. Если же по условиям задачи концентрация на поверхности С, (х) задана, то формула ('Ч, 79) дает непосредственно аналитическое решение.
Так обстоит дело в тепловой задаче, которую рассматривал Лайтхилл, или в предельном случае протекания химической реакции в диффузионной области. Если поток натекает на передний край тела" при х = О, то концентрация на поверхности С, (х) может быть задана как разрывная функция, принимающая при х =- (+ О) значение С", + С„хотя концентрация в объеме везде непрерывна и равна С, как при х ~( О, так и при у — ьоо. Интеграл в правой части (Ч, 79) рассматривается в этом случае как интеграл Стильтьеса, в котором функция С, (х) в точке х = 0 скачком меняется от С до Се.
Если пользоваться обычным интегралом Римана, то формула (Ч, 79) при заданной функции С, (х) запишется как , Яс 11'т Х (4) У Э(ьз с и, СО Х ~ *' с(хь+ ' ' . (Ч, 79а) ~г ) у'т(х')ох' 1 ) 'у' с(х')нх' х! е е В частности, если концентрация С, постоянна вдоль поверхности, то в правой части (Ч, 79а) сохранится только второй член в скобках. В этом случае в формуле (Ч, 79) производная с(С1/с(х1 должна рассматриваться как 6-функция. Диффузионная область представляет собой предельный случай, получаемый устремлением к бесконечности скорости реакции на поверхности. Естественно, что при этом производная с(С1/11хт в начальной точке поверхности обращается в бесконечность. Для реакции в диффузионной области (или тепло- отдачи к поверхности постоянной температуры) формула (Ч, 79) сводится к Это выражение можно записать в виде (1,17) ) =()(С. — С,), (Ч, 81а) где коэффициент массоотдачи 1) равен коэффициенту в правой части формулы (Ч, 81).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
