Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Выделение этой гармоники физически оправдано — акустические колебания с частотой со будут поддерживаться колебаниями тепловыделения, происходящими с той же частотой. В результате подобного расчета получалась амплитуда искомой гармоники ряда Фурье А, и фазовый сдвиг ее относительно колебания скорости ~р,: (40.8) бо = сопев А, зш (озт+ ср,) (химическая энергия единицы массы горючей смеси предполагается неизменной; она характеризуется введенной здесь размерной постоянной). Здесь А,=А,(А,; со), ср,=тр,(А„; от).
23е 356 Расчет Автоноленлний [гл. Ч111 Расчеты, проделанные для указанных выше частот и для А„= т0; 20, 30, 40, 50, 60 м/сел, показали, что значение ф~ колеблется около я, лишь незначительно отклоняясь от этой величины. Поэтому оказалось возможным принять ф,=я. Зависимость А,=А,(А„; [о) изображена на рис. 81 для трех наиболее интересных частот. Кривые, 4 ЮЛ77 Рнс. 81.
Изменение амплитуды А, в функции абсолютной величины возмущения ско- рости перед зоной горения. вычисленные для других частот, идут аналогично. Наиболее важными свойствами, общими всем кривым, являются следующие: кривые идут из начала координат, достигают максимума и вновь пересекают ось абсцисс где-то между ~бо,[=Ат=50 м/сел и ~бо,~=А„=60 л!сее. Для облегчения дальнейших вычислений было решено пренебречь зависимостью А, от частоты. Такое пренебрежение не является слишком грубым — оно может привести только ~мм сгщкствинныв нвлинвпиостм в зонв гогвння 357 к незначительному количественному изменению результатов, отнюдь не меняя их по существу. Форма кривой А, =А,(А„) была приближенно представлена квадратичной параболой: А, = 0,00000293 (56 — А,) А,.
(40.9) Прежде чем переходить к дальнейшему изложению хода решения задачи, следует указать на причину, по которой в рассмотренном примере все кривые А, =А,(А,) вторично пересекают ось абсцисс при 50 м!сея < А„< < 60 м!сев. Для малых частот этот эффект естествен— при достаточно болыпих А, периодически происходит сильное переобогащение и переобеднение смеси, что отрицательно сказывается на процессе горения. Для высоких частот такие процессы переобпгащения и переобеднения не успевают развиться, зато продолжает действовать другой процесс, связанный с нарушением горения при А„) це Когда колебательная составляющая скорости ~ бо, ~ = А, становится больше средней скорости течения п„поток начинает двигаться в обратном направлении, а процесс горения на стабилизаторах (расположенных около сечения 2) прекрагцается, поскольку прекращается доступ к ним свежей смеси (продолжающееся на свободной поверхности раздела холодных и горячих газов горение играет сравнительно небольшую роль).
Это состояние длится не только в течение времени движения продуктов сгорания в отрицательном направлении оси х, но и тогда, когда возобновляется течение в положительном направлении, до тех пор, пока в зону стабилизаторов не начнет поступать свежая смесь. После этого в течение некоторого времени горение идет очень плохо, поскольку свеясая смесь оказывается сильно переобогащенной — ведь она трижды пересекала область расположения форсунок (прямое пересечение, затем возвращение смеси при течении газов в отрицательном направлении и, наконец, вновь пересечение при движении в положительном направлении).
Эти обстоятельства сказались при построении кривых р„ц,„=~(~), на основании которых находились значения А,. Именно эти явления, связанные с забросом пламени в область перед стабилизаторами, приводит к резкому уменыпению А, при А„. ) ою 358 РАсчвт АвтоколевАний у 41. Автоколебания при отсутствии потерь на концах трубьз В предыдущем параграфе были получены нелинейные соотношения, описывающие процесс вибрационного горения в области о. Ряд упрощений позволил свести нелинейность к одной квадратичной зависимости.
Излагаемый ниже метод пригоден и для более сложных зависимостей, однако уточнение этих нелинейностей вряд ли целесообразно здесь, поскольку процесс вибрационного сгорания при больших амплитудах колебаний скорости течения еще очень плохо изучен. В этих условиях всякого рода уточнения, которые можно ввести в настоящее время, неизбежно были бы перекрыты грубыми предположениями о характере процесса горения. Поэтому принятая в предыдущем параграфе идеализация описывает лишь основные, решающие стороны изучаемого явления. Будем, в отличие от предыдущих глав, решать задачу в переменных (и, и) вместо (Ьр, би).
(Связь между ними дается формулами (4.5).) Переход к переменным (и, и~) обусловлен следующими соображениями. Возбуждение колебаний связано, как известно из предыдущего, с амплитудой и с фазой бд относительно фазы колебания воздушных масс. Для того чтобы следить за этими параметрами в переменных (бр; бо), пришлось бы одновременно следить как за фазами бр и Ьо, так и за их амплитудами, поскольку последние изменяются с изменением частоты колебаний (при заданном положении области теплоподвода а по длине трубы) вследствие изменения стоячих волн бр и бш Переменные (и, ш) вне зависимости от частоты колебаний имеют постоянные вдоль оси течения амплитуды, что дает возможность при решении задачи следить лишь за изменением фазовых соотношений. В настоящем параграфе рассматривается случай, когда потери на концах трубы отсутствуют.
Как уже говорилось, этому соответствуют краевые условия в виде узлов Ьр или бп. Примем, для определенности, что система имеет на-обоих концах узлы давления бр=О. В новых переменных это условие примет вид 1 411 АВтоколевАния пРВ ОтсУтстВии пОтеРь 259 Действительно, согласно формулам (4.5) бр = — (и — тп); бп =— 1 1 и+в (41. 2) 2 оа откуда сразу следует условие (41.1); Пусть начало координат будет совмещено с плоскостью Х (рис. 22), причем введенные переменные будут иметь в этой плоскости значения и н ир .
Если координата конца трубы равна $, то, основываясь на выражениях для и и ю (4.12) и пользуясь условием (41.1), можно написать следующее равенство: исехР ( (юМ+1) = юс ехР ( (ми-1) . В этом равенстве принято, что р= (а, т. е. предположено, что колебания установились. Если обозначить фазовый сДвиг межДУ и, н тпа чеРев У, то послеДнее Равенство дает возможность найти его значение 'т' = 2 (41.3) Очевидно, что в рассматриваемой задаче надо будет различать два угла у: один, соответствующий левой, другой в правой стороне поверхности разрыва Х.
Отлн- р' чаться они будут тем, что Шар для левой стороны этот угол будет зависеть от величи- ем ны Мы ю, и $„а для праэои — От Мв, ота и Для того чтобы устано- Ур вить взаимные сдвиги по фа- тррр зам между величинами и, н ю слева и справа от Х, 0 т надо ввести еще один угол, а„, напРимеР межДУ ио Длн ле Рис. 82. Схема отсчета Углов вой стороны и и для правой. Ва векторвой диаграмме вели- Обозначим этот угол череа а. чив и и те Тогда, направив ио для левой (холодной) стороны В по оси абсцисс, можно будет изобразить векторную диаграмму для и и ва, как пока- зано на рис. 82.
360 РАСЧЕТ АВТОКОЛЕВАНИЙ йл ч!!! Угол а определяется свойствами поверхности 2, которые записаны систеьшй (40.1). Использовав первое уравнение этой системы и условие изоэнтропичности для холодной части течения бд! = —,, исключим бд! и бд, из бр! 1 двух последних уравнений системы. С помощью формул (41.2) перейдем далее к системе переменных и и в. Пусть рассматриваемый численный пример характеризуется следующими данными: д, = 0,125," ", о! = 50 м/еее; р! = 10000 иг!м', т! = 300' К; Т, = 1800' К. Тогда после выполнения вычислений система (40.1) примет следующий вид (здесь индексы 01 соответствуют левой, а нндексы 02 правой стороне плоскости Х): и„= 0,583 и„— 0,175 иге! + 0,00289 бд, тс,а = — 0,385 и„+ 0,792 игм + 0,00603 бд.
(41.4) Система (41.4) связывает векторные величины. Для перехода к скалярным соотношениям спроектируем эти векторные равенства на оси х и у (рис. 82). Из полученных проектированием четырех равенств исключим сова и в!па. Учтем далее, что согласно формулам (41.2) при установившихся колебаниях амплитуды и и пг не зависят от $, т. е.
на основании принятых краевых условий )илг(=(игл!! и ~и„(=(пг„~. Тогда получим после соответствующих преобразований следующие скалярные соотношения: им (0,583 сов у, — 0,175 сов у, сов у, + -)-0,175 в)п у, в)п уе -)- 0792 сов у,.+ 0385) = = (0,00603 — 0,00289 сов у,) бд„+ 0,00289 в(ну, бд„, иы(0,583 в(пу,— 0,175 сову, в1пу,— — 0,175 в1п у, сов у, — 0,792 в)п у,) = = (0,00603 — 0,00289 сов у,) бдц — 0,00289 в(п у, бд,. (41.5) вп АвтоколевАния пРи ОтсУтстВии потеРь 361 У величин иы в последних равенствах опущен знак абсолютной величины, так как выше было введено условие, что вектор исв всегда направлен в положительную сторону оси абсцисс. Входящие в правые части величины бд„и бд„являются проекциямн бд на оси х и у.
Найдем теперь значения Ьд„и бд„. В рассматриваемом численном примере постоянная, входящая в формулу „в (40.8), равна 2,27 10',. Выше уже указывалось, что кг секс ' в расчет следует ввести лишь первую гармонику разложения функции бд в ряд Фурье, которая определяется равенством (40.9). Воспользовавшись формулой для бп (41.2), нетрудно найти величину ~ боев ), совпадающую по определению с А„из (40.9): Используя равенство (41.3), полученной формуле можно придать следующий вид: 1с ! бпвв ! =2 —" ввг 2 (1 + совУ,) . (41.6) 2авд, Учитывая лишь первую гармонику разложения в ряд Фурье, на основании формул (40.8) и (40.9), (41.6) напишем: бд = 665 ( 56 — ~!')е'2(1+ сову,) ) ~— ")е 2(1+ сову,) Здесь бд численно равно абсолютной величине ~ бд~, однако при А„) 56 может принимать отрицательные значения. Поэтому знак абсолютной величины в левой части равенства опущен.
Фаза б д уже была определена выше (относительно бп,): ф, — и, т. е. можно считать, что теплоподвод бд колеблется в противофазе со скоростью бог Как следует из второго равенства (41.2), в силу условия (ю)=)и) вектор Ьи будет направлен по биссектрисе угла между зе и тп, т. е. в соответствии с рис. 83 для левой стороны плоскости Х будет идти под углом тз к оси абсцисс, совпа- 362 ~ол. Р111 РАСЧЕТ АВТОКОЛЕБАНИЙ Рис. 83. Определение направления вектора бо при отсутствии потерь и запаздывания. не превышает я, так как он используется для построения биссектрисы. Связь между у, и у1' дается очевидным равенством у,'=у,— 2яя, где целое число й выбирается так, чтобы — я(т1'(н.
С учетом вышесказанного нетрудно видеть, что фазовый угол ЬЧ отно тельно ие1 будет равен '2'+ Вводя обозначение Р=л+ — ', У1 2 (41. 7) получим очевидные выражения для проекций вектора бд на координатные оси: бд„= бд соз р, бд„= бд зьп )3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
