Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Следовательно, постоянные Г' и Гз равны нулю и слагаемые с Аз, отличным от нуля, в решении появиться не могут. Дополним, как и выше, равенства (38.18) и (38.19) еще ра- венством па ты мнхлнизыы овглтнои сВязи 2я Полагая Ь = †', где Х вЂ” длина волны на поверхности раздела, н считая, что прн акустических колебаниях поверхность раздела целиком смещается вдоль осн х вместе с колеблющейся средой по синусопдальному закону Ь = Ь,соя юг (38.23) (Ь вЂ” смещение среды, ю — размерная частота акустических колебаний (1(сея]), получим следуюшую форму записи уравнения (38.22): А" (Г)+2" Е' Е'(б„~~Ь, ()А=О. л е+е Здесь А = А4, Ь = д„— ю'Ь соз ю(, причем под я„понимается проекция ускорения силы тяжести на ось х, взятая с обратньп| знаком.
Для вертикальной трубы д„ совпадает с полным ускорением силы тяжести д, для трубы с горизонтальным направлением оси д, = О. Второе слагаемое Ь получено двукратным дифференцированием выражения для Ь. 1 Если ввести независимую переменную г= — юГ, то уравнение (38.24) сводится к известной форме уравнения Матье: А" (г) + (а — 2о соз 2г) А (г) = О, (38.25) где 3. я. (е — е,) Лм'(е1+е1) ' е= я = 4. л(е+е2) ' Как известно из математического анализа, решение линейного дифференциального уравнения этого типа имеет вид А (г) = Се'-") (г)+ С,е ")( — г), (38.26) где г — некоторая постоянная, а ) (г) — периодическая функция с периодом я или 2я.
Из решения (38.26) видно, что любому вещественному г, отличному от нуля, соответствует неустойчивость, так 88| Рстойчнвость плоского ФРОнтА илАмени 337 как вне зависимости от знака г, в одном пз слагаемых (38.26) зкспоненцпальная функция будет иметь положительный показатель, пропорциональный времени (пропорцнональньш г). Устойчивости соответствуют лишь мнимые значения 8. Будем далее рассматривать горизонтальную трубу, т. е. положим Р,=О, а следовательно, а=О. Если изменять параметр д так, чтобы он пробегал положительные значения, начиная от нуля, то так называемьп|характеристнческий показатель 8, равный при О=О нулю, станет при возрастании д сначала мнимым, затем прн у=0,91 вещественным и отличным от нуля, при |7=7,5 станет вновь мнимым, затем почти сразу вещественным, вплоть до уж 21, и т.
д. Следовательно, по мере увеличения д будут чередоваться области устойчивости и неустойчивости, причем области устойчивости характеризуются крайне малыми отрезками на оси д, в то время как области неустойчивости являются весьма протяженными. Таким образом, неустойчивость будет наб:податься практически всегда. Подробное рассмотрение вопросов, требующих приме- пения теории уравнений типа Матье, здесь приводиться не будет. В ~ 49 будет дано решение рассматриваемой здесь задачи в несколько упрощенной постановке, позволяющей получить его в злементарных функциях. Для дальнейших выкладок необходимо еще указать, что первая из названных областей неустойчивости 0,91 < д < 7,5 характеризуется периодом функции ) (г), входящей в решение (38.26), разные| 2я. Следующая область неустойчивости 7,5 < д < 21 будет соответствовать функциям )(г) с периодом и, затем прп 21 < у < 42 функция |'(г) будет вновь иметь период 2я н т.
д. (написанные неравенства являются приближенными, кроме того, в них не учитывается, что между областяаш неустойчивости лежат узкие интервалы значений д, при которых поверхность раздела устойчива). Поскольку возможна двоякая периодичность решения (38.26), а для того чтобы неустойчивость поверхности раздела (фронта пламени) могла сыграть роль механизма обратной связи, надо чтобы эта периодичность находилась в должном соответствии с периодом акустических 22 В. В. Ратхаевеах П1ЕХАНИЗМЫ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ Пгл. Ч11 колебаний, рассмотрим вопрос о соотношениях между периодами.
Период акустических колебаний газового столба есть 2я Т,л = — . Если перейти к независимой переменной 1 г= — юг, то период акустических колебаний будет 2 г„„= я. Позтому решения (38.26) в тех областях значений р, где период )(г) равен я, будут соответствовать колебаниям поверхности раздела (фронта пламени) с частотой акусп1ческих колебаний, в то время как в других областях значений д, где период изменения функций ~(г) равен 2я, период колебаний поверхности раздела будет в два раза больше периода акустических колебаний. Нетрудно сообразить, что для возможности возникновения механизма обратной связи, основанного на колебаниях поверхности раздела (фронта пламени) под действием акустических колебаний, необходимо чтобы период колебаний поверхности раздела был в два раза больше акустического. Действительно, зто видно нз следующих простых соображений. Увеличение, вследствие волнообразования, общей площади поверхности раздела ведет, как известно,к увеличению аффективной скорости распространения пламени.
Чтобы эффективная скорость распространения пламени изменялась в ритме акустических колебаний (а зто необходимо для возникновения обратной связи), надо, чтобы период колебаний поверхности пламени был бы в два раза больше периода акустических колебаний, поскольку площадь поверхности раздела (фронта пламени) будет увеличиваться как при выгибе ее в положительном, так и в отрицательном направлении оси г. Для болыпей наглядности соответствующие схемы приведены на рис. 75.
Слева приведен случай, когда периоды акустических колебаний (переменная бр) и колебаний поверхности раздела (переменная дх) совпадают. Тогда период изменения площади поверхности раздела Ьз оказывается вдвое меньше акустического. Справа на том же рисунке приведен случай, когда период колебаний поверхности раздела превосходит период акустических колебаний вдвое; изменение ба происходит в атом 881 Устончивость плоского ФРОнтА плАмени 339 случае в том же ритме, что н изменение бр, а это открывает возможность для возникновения механизма обратной связи. Таки88 образом, не все области неустойчивости, полученные прп анализе уравнения (38.25), представляют интерес с точки зрения взаимодействия с акустическими колебаниями; существенными в этом смысле надо признать Рнс.
75. Связь между периодами колебаний давленпк бр, смещеннн бх и возмущепнн поверхности пламени бг. область значений д, определяелтую неравенствами 0,91 < < д < 7,5, аатем область 21 < д < 42 и т. д., т. е. области, для которых период функции 7'(г) равен 2п. Если сравнивать между собой интервалы значений д, для которых период функции 7'(х) равен 2я, то наибольший практический интерес представляет интервал 0,91 < < о < 7,5, характеризуемый наименьшими значениями о. Это следует из таких соображений. Величина (38.27) 7=4 вт+Яе А пропорционачьна отношению —. Дльша волны возмущеЪе Х ' ния поверхности раздела Х связана с размерами сечения трубы, в которой происходят колебания, и, если не рассматривать очень высоких гармоник, имеет порндок характерного линейного размера этого сечения.
Если 22* 340 Сса, эсс мкххнссэмы овгзтссои овяэсс считать, что порядок величины Л известен, то первая область значений с) будет соответствовать наименьшим азшлитудам Ь . Оценим порядок этих амплитуд. При 0,91 < с) < 7,5 и подогреве, характернзуезюм зс = 6, для Ь с'о — получим следующие неравенства; Л 0,1« — ' 0,83, Л в то время как для ближайшей подходящей ооласти значений д, лежащих в интервале 21 < с) < 42, будем пметь ббс = — — — У„(с) — бо. 1 д Р дс (38.28) 23< — 'о <4,7, Приведенные числа достаточно убедительны сами по себе. Для реализации неустойчивости, соответствующей второму интервалу значений с7, смещения среды прп акустических колебаниях должны в 2 — 5 раз превосходить длины волн, образовавшихся на поверхности раздела. Совершенно очевидно, что значительно более вероятна реализация колебаний с меныпими амплитудами й, соответствующими первому интервалу значений д.
Кроме того, можно привести еще такое соображение. Если рассматривать процесс нарастания колебаний, мысленно увеличивая Ьз от нуля, то первой подходящей областью значений д, которая встретится, окажется интервал 0,91 < д < 7,5. В то же время переход ко второй области будет затруднен, так как в промежутке лежит область 7,5 < с) < 21, в которой поддержание акустических колебаний рассматриваемым механизмом обратной связи невозможно. Выше уже говорилось, что полученные результаты приближенно справедливы и для случая горения, т.
е. ДЛЯ РсжнМОВ, ХаРаКтЕРИЗУЕМЫХ ОТЛИЧНЫМИ От НУЛЯ дс н нм Поэтому свяжем колебания поверхности раздела с возмущениями эффективной скорости распространения пламени. Как видно из формул (16.5) и (16.7), возмущение скорости распространения пламени б(с определлется ра- венством ~ зв! устоичнвость плоского э1онтл пллмкни 341 Изменение объема горячих газов г'„(~) складывается пз смещения фронта пламени скоростью течения э, что за время и'г прн поперечном сечении трубы, равном Р, составляет ГиггГ, и перемещения фронта пламени по частицам газа (вследствие горения) на величину 877„гП, где Я вЂ” суммарная площадь фронта пламени (вообще говоря, искривленного), а Уа — скорость распространения элемента фронта пламени в направлении, нормальном к его поверхности.
В установившемся режиме, когда фронт пламени неподвижен относительно стенок, Рс+ЯУ„=О. Следовательно, в возмущенном движении 'г',(1) изменится за время пС на (Рбо+ У„бЛ+ 8М7„) гй. Коли считать величину О'„постоянной, то последнее слагаемое в написанной сумме обратится в нуль. Во многих случаях это предположение в первом приближении можно считать справедливым, поэтому ниже будем считать, что — — зг — = И~+ эМ. юг (О ш Подстановка этого равенства в (38.28) дает следующее выражение для возмущения эффективной скорости сгорания: 6У = 7У„г Напомним, что увеличению абсолютной величины эффективной скорости сгорания соответствует смещение фронта пламени в сторону холодной смеси, т.
е. в отрицательном направлении оси х. Коли продолнсать рассматривать плоскую задачу возмущения фронта пламени, то площадь поверхности фронта пламени (при единичной протяженности в направлении оси г) будет прямо пропорциональна высоте волн, образовавшихся на поверхности раздела, т.
е. пропорциональна абсолютной величине бх, которое выражается формулой (38.20). Как было показано несколько выше, величина А4 может, при известных условиях, колебаться с периодом, вдвое превосходящим период акустических колебаний, а тогда абсолютная величина А, будет изменяться 342 мвхлнизмы озглтнон свяаи !га, еп во времени с тем же периодом, что и акустические колебания. Разлагая в этом случае разность ) бх ~ — ~ бх) ср в ряд Фурье и отбрасывая выспше гармоники разложения, можно написать, что ! бх ( — ! бх ~,р —— В, зш (юг+ ср), (38.30) где (бх~*р — средняя абсолютная величина бх при заданном положении рассматриваемой точки по оси у ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
