Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Пусть стационарное течение испытывает малые возмущения скорости и давления. Возмущения плотности полагаем равными нулю, так как плотность в принятой модели явления зависит только от температуры, а последняя в свою очередь от теплотворной способности смеси. Предполагая, что сгорание во фронте пламени является полным как в стационарном, так и в возмущенном режиме горения, получим условия р=сопз$ для течений впереди и позади фронта пламени.
Рассматривая устойчивость самого фронта пламени (пока никак не связанного с возможными акустическими колебаниями), введем плоскость у, г, которая будет совпадать с плоскостью фронта пламени в невозмущенном процессе. Направление оси х сохраним прежним — по скорости течения. Пусть малые возмущения скорости бо и давления бр будут периодическими по времени и координате у, т. е.
пропорциональными множителю ехр (Йу — Ж8) и не будут зависеть от г. Для определения зтих возмущений напишем линеаризованные уравнения Эйлера и уравнение неразрывности МЕХАНИЗМЫ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ~гл. У11 дЧр д2бр — + — = О. дхх дух (38.4) В малой окрестности поверхности разрыва (т.
е. при х 0) должны выполняться некоторые условия. Рассхютрим нх более подробно. Во-первых, должна быть непрерывной тангенциальная составляющая скорости. Пусть бх(у; г) — малое смещение точек поверхности разрыва в направлении оси х, которое возникает при возмущении стационарного процесса. Тогда дбх производная — есть тангенс угла наклона фронта пладу мени к оси у в рассматриваемой точке. Если этот угол обозначить а, то легко сообразить, что касательная компонента полной скорости выразится следующим образом: (о+ бох) Яп а+ бгу сова.
Полагая угол а малым (порядок его малости определяется возмущением бх), сохраним, как обычно, только члены первого порядка малости с учетом того, что для ддх малых углов япа= 6да= — напишем следующее выраду жение для касательной компоненты скорости, справедливое в линейном приближении: дсх бо +о — ". Р ду Тогда условие равенства тангенциальных скоростей с обеих сторон фронта пламени будет иметь следующий вид: ддх дбх "+ 1 д "+ ад (38.5) Во-вторых, надо сделать каное-либо предположение о зависимости скорости распространения пламени от возмущений фронта пламени.
Ландау предположил, что такая зависимость отсутствует, т. е, что скорость распространения разрыва не должна претерпевать измене- Продифференцировав первое уравнение (38.3) по х, а второе по у, сложив их и учтя третье уравнение (38.3), нетрудно получить, что бр удовлетворяет уравнению Лапласа: за! устойчивость плоского агента пламени 325 ния при возмущении фронта. Это означает, что фронт пламени будет смещаться только возмущениями скорости, т. е. дбх бн =— дс дбх бо!х бовх дг (38.6) бр,— бре=б(Е,— р,) б'. (38. 7) Как уже говорилось выше, решение уравнений (38.3) и (38.4) ищется в виде показательных функций, пропорциональных ехр ((йу — гР1).
Пусть, следовательно, бр = с, ехр (1йу + ах — 1111), бох = с. ехр (йу+ ах — гР1), бо„= са ехр (йу + ах — гйг), (38.8) г) Маг йв1е1п С., 1овгп. о1 1пе Аеговапьгса1 Эс!евсее, йй 3, 1951. Есть русский перевод: Маркштейн, Экспернлгентальное и теорепгческое иаученне устойчивости фронта пламени. Вопросы ракетной техники, 1951, вьш. 4. Позже Маркштейн ') существенно дополнил теорию Ландау, предположив, что скорость сгорания зависит от кривизны фронта пламени, т. е. может быть связана де ба с величиной дуа В более поздних работах появились п дальнейшие уточнения, которые здесь рассматриваться не будут.
Для целей, которые ставятся в настоящем параграфе, достаточно воспользоваться простым предположением Ландау. То новое, что вносит уточнение Маркштейна, будет вкратце рассмотрено ниже. Условия (38.5) и (38.6) связывают возмущения скоростей по обе стороны пламени. Для того чтобы связать и возмущения давления, необходимо ввести третье условие. Пусть на поверхность пламени действует некоторое ускорение б.
Тогда для бр, и бр, взятых в малой окрестности поверхности раздела, ьюжно будет записать такое равенство; 326 МЕХАНИЗМ!! ОБРАТНОЙ СВЯЗИ 1гл. Ч11 где а — пока неопределенный множитель. Подставив написанное здесь выражение для бр в уравнение Лапласа (38.4), сразу находим, что оз — й! = 0 (й)О) или а = ч- яь Подходящее значение а можно выбрать из условия, чтобы возмущения давления, которые связаны с возмущением фронта пламени, не сказывались в бесконечном удалении от фронта, т. е. при х — > ~ Оэ.
Но тогда, очевидно, для х ( 0 (холодный газ) следует выбирать а! =й, а лля х > 0 (горячий газ) аз= — /с. Помимо найденного решения, может существовать еше одно. Действительно, уравнение Лапласа удовлетворяется, в частности, при бр=О. Рассмотрим этот случай более подробно. Если положить бр=О, то правые части первых двух уравнений (38.3) обращаются в нуль. Подставив в них Ьо„и бп„согласно (38.8), найдем, что для этого !й случая а = — .
Однако, не допуская, чтобы в бесконечном удалении от поверхности пламени (при х — + -!- Оэ) существовали отличные от нуля возмущения скоростей ЬО„ и бпю будем учитывать найденное решение лишь для горячего газа (х)0) Это можно пояснить следующим образом. Множитель й, который пока остается неопределенным и который можно будет найти впоследствии из характеристического уравнения, будет, вообще говоря, иметь комплексное значение. При этом в случае положительной мнимой части у П все возмущения будут с течением времени, как это видно из (38.8), стремиться к бесконечности.
Для этих значений й возмущения будут затухать с удалением от фронта пламени лишь при х ~ О. Случай, когда мнимая часть 1! отрицательна, интереса не представляет, так как это будут устойчивые колебания, в то время как целью настоящего рассмотрения являются поиски неустойчивых состояний фронта пламени.
Подставив решения (38.8) в уравнения (38.3) и предполагая, что они написаны для холодного газа, возьмем а =й и подберем такие значения постоянных коэффициентов с,, с„сз, которые удовлетворяют системе (38.3). Из третьего равенства этой системы сразу слвдуст, что сл = !сл, ~ 381 гстоичивость плОскОГО ФГОПТА плАменн 337 а из любого из двух первых, что с, = д, ( — „— о, ) с,.
х ея Следовательно, коэффициенты с„, сз и сэ находятся с точностью до неопределенного множителя А„который, не нарушая общности, можно положить равным с,. Таким образом, для холодного газа решения (38.3) будут иметь следующий вид: Г И Ьр, = А,й, ( —" — о,) ехр (йу+ йх — ь(м), 1 Ьо,„= А, ехр (йу+ йх — Ю1), (38.9 (' ) Ьо,„= (А, ехр (йу+ )сх — Н2г). ) Аналогично для горячего газа (учитывая, что имеется два значения а), найдем следующие выражения: Ьрз= — А,й, ( о + — ')ехр(йу — йх — юйг), 1 а) Ьо,„=- А, ехр (йу — йх — Юг) + ~й + А, ехр ~ йу+ — х — Жг), Ьо „= — 1А, ехр (йу — лх — (()г)— й Г.
!Я вЂ” — Азехр ( йу+ — — (1)г ~. лг и„ 3 Дополним равенства (38.9) и (38.10) еще одним: Ьх = А4 ехр (йу — ~Ж). (38.10) (38.11) Последнее равенство говорит о том, что на фронте пламени образовались волны, бегущие в направлении оси у. В случае гармонических колебаний эти волны характери2л зуются частотой Р или периодом колебаний Т = —.
длина волн Х= — ". Равенство (38.11) является аналити2л а ческой записью сделанного в самом начале предположения, что на стационарный плоский фронт пламени наложено периодическое по времени и по координате у возмущение. Подставив значения переменных, записанных в виде равенств (38.9), (38.10) и (38.11), для х=О в условия, связывающие решения для холодного и горячего газов МКХАНИЗМЫ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ (гто гы (38.5), (38 6), (38.7), получим систему четырех линейных однородных уравнений, содержащих четыре неопределенных коэффициента: А„А„А, и А,. Система будет иметь нетривиальное решение прп равенстве нулю определителя: й — й(о,— о) Ллл — 1 О О й2 Е,( — '„— ) Е ( — ', +о,) О б(йз-рг) О 1+— Ллл ! Кй(о,— о) ~- Р,) О 1П вЂ” О2 ° б(Ез — Е ), Производя несложные вычисления, найдем из этого равенства характеристическое уравнение системы: + ЬЛ (йз — р,) — Л'р,о, (о, — оз)] = О. (38.12) Прежде всего очевидно, что характеристическое уравнение имеет корень 11 = йо,.
Однако найденный корень надо отбросить, так как в этом случае исчезают слагаемые с коэффициентом Ал, указанные слагаемые становятся точно такимп же, как слагаемые с Л„и следовательно, теряются существенные свойства явления. Поэтому дальнейший анализ устойчивости поверхности разрыва (фронта пламени) будем вести прп условии Этот определитель можно преобразовать следующим й образом. Умножив его вторую строку на — и сложив ее Ллл с первой, получим определитель третьего порядка, сред- О ний столбец которого содержит общий множитель 1 —— Ллл Вынося его за знак определителя, получим: г зз1 гстоичивость плоского юеонта пламвни 329 — — Ф О. Из (38.12) получим: О Мз ьзз(р, ь Оа)+ 2Юйа,г, -, йй(йз — рл)— --1'-*а,о, (о, — а) = О.
(38.13) Введем для удобства Ы, = — К?. Тогда вместо уравнения (38.13) молпго написать: а',(Е + Ез)+2П,йо, — бй(й — Е )+ ' й'-'О1о, (о, — о,) = О. (38.14) Проанализируем получонное выражение более подробно. Пусть д= О (т. е. на фронт пламени не действует ускорение).
Тогда, в силу того, что о, ) о, (скорость течения продуктов сгорания выше скорости притока свежей смеси), свободный член квадратного (относительно ь)„) уравнения отрицателен и, следовательно, оба корня вещественны и имеют разные знаки. Следовательно, переходя к Й, можно утверждать, что движение поверхности разрыва характеризуется двумя мнимыми «частотами» ьз, имеющими разные знаки, т. е.
движение будет иметь неустойчивую составляющую. Таким образом, если принять допущения Ландау, получается вывод о неустойчивости всякого плоского фронта пламени. Как уже говорилось выше, Маркштейн уточнил теорию Ландау, введя вместо условия (38.6) другое, которое учитывает зависимость скорости сгорания от кривизны фронта пламени.
В результате уравнение для определения 1з становится несколько более сложным, чем (38.13), и его анализ показывает, что неустойчивость становится функцией числа )г, однозначно связанного с длиной волйл ны возмущения на фронте пламени л= — ' . При этом = а удается показать, что если локальная скорость сгорания увеличивается с уменьшением положительного локального радиуса кривизны фронта пламени'), то для достаточно г) Кривизна считается положительной, когда фронт пламени дзбх выпуклый по направлению горящего газа — ( О. Дуз МЕХАНИЗМЫ ОБРАТНОЙ СВЯЗВ !гл, чм малых Л процесс всегда будет устойчивым, для достаточно больших Л он неустойчив, а для Л= со нейтрален. Из сказанного следует, что существует некоторое значение Л=Лммо при котором процесс максимально, неустойчив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
