Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Поскольку при бХ=у,не фазы бХ и Ре совпадают при положительных (вещественных) значениях у, границей устойчивости в рассмотренном ранее примере является мнимая ось, а областью неустойчивости — вся правая полу- плоскость на рис. 61. Как видно из расположения кривых уа на рис. 61, при учете потерь область неустойчивости уменьшается — границы устойчивости смещаются вправо от мнимой оси и смещаются тем сильнее, чем больше частота колебаний (на диаграмме «неустойчивая» сторона 2 321 численное РАссмотРение некОтОРых слУчАеВ 261 границы устойчивости заштрихована). При этом условие возбуждения усложняется — теперь существенна не только фаза бХ, но и амплитуда.
Наименьшая относительная амплитуда величины бХ (Р, условно принято за единицу), при которой возможно возбуждение, получается тогда, когда фазы бХ п Р„ совпадают (у, — действительная величина). На рис. 61 приведены лишь две ветви у, (соответствующие первой н зторой2 гармоникам). Как видно из диаграммы, увеличение частоты (переход от первой ко второй гармонике) влечет за собою увеличение абсолютных величин у.„ т. е. увеличение относительных амплитуд бХ, потребных для возбуждешгя системы. Этот результат легко поддается объяснению.
Оценим влияние частоты колебаний па потери акустической энергии в окружающем трубу пространстве. С этой целью воспользуемся выражением (30.7), которое позволяет вычислить поток акустической энергии, движущейся через концевое сечение трубы. При этом учтем формулу (30.6), позволяющую выразить ~ ь ~2 через вещественную н мнимую части импеданца з. Тогда А= 222 2О2 Н1+ )'+ ) Полученная формула указывает, в частности, что знак А (направление потока акустической энергии) связан со знаком коэффициента активного сопротивления г. Эта формула может быть упрощена следующим образом. Заметим, что выражение, стоящее в прямых скобках, близко к единице, так как для рассматриваемых задач величины г и х малы по сравнени2о с един2щей. Это видно, например, пз приближенной формулы для г (30.8) и особо подчеркивалось в конце $30. Таким образом, для достаточно «длинных» труб и для низких гармоник (32.2) = 2д„а = ~, 4Ь ' 2чоз Приближенное равенство (32.2) показывает, что поток акустической энергии через концевое сечение трубы пропорционален квадрату частоты.
Следовательно, умень- 262 ВОЗБУЖДЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ПОТЕРЬ ~гл. Уз шение вероятности возбуждения по мере перехода к высшим гармоникам вполне естественно и ход кривых на рис. 61 надо считать типичным. Более высокие частоты дали бы границы устойчивости, еще более сдвинутые вправо. На практике величина у, не может увеличиваться беспредельно. Реально существующие механизмы обратной связи обусловливают существование верхнего предела этой вЕличины.
Если, в частности, верхний предел у„ больше значений, требуемых для возбуждения первой гармоники, но меньше значений, требуемых для возбуждения второй 1точка А на рис. 61), то возбуждение колебаний основного тона возможно, а всех более высоких гармоник — невозможно. Рассмотренный пример хорошо объясняет то обстоятельство, что в опытах всегда наблюдается возбуждение колебаний сравнительно низкой частоты.
Оценим порядок у,. Из экспериментов известно, что прн развитом процессе вибрационного горения амплитуда колебаний давления бр имеет порядок перепада давления между холодным и горячим газом, т. е. порядок подпора, вызванного тепловым сопротивлением.
Этот перепад может быть выражен следующей формулой: р,— р,=р,о' ( — ' — 1) . Таким образом, ( бр~==у О'( — ' — 1) . Переходя к безразмерным переменным и приняв, что лз Тл в первом приближении —" = — = п', получим: т, ! р, ! ии ЛХ, 1п' — 1). При развитых колебаниях амплитуда колебаний скорости имеет порядок скороСти установившегося течения холодного газа и, следовательно, 1О ~=( )= =М1 »»1 числвннов глссмотгвнив нвкотогых слкчлвв 263 Порядок величины бХжу» — р, можно считать совпадающим с порядком величин р, и р, Тогда ~ у, ~ < Р' ~ ии ЛХ, (п« вЂ” 1). »1 Более вероятна меньшая величина у„поскольку разность давлений слева и справа от зоны горения обычно составляет пе более '1» — '1» полной амплитуды колебаний бр.
В рассмотренном здесь численном примере (п'=6,25; Х1Х, -=.0,15) порядок абсолютной величины у» будет, таким образом, не более ) у,( = 0,25. Сравнивая это значение с абсциссами точек пересечения кривых у с вещественной осью (рис. 61), нетрудно прийти к выводу, что в данном случае возможно возбуждение лишь первой гармоники системы и то при особенно благоприятных обстоятельствах.
Это видно из того, что окружность | у, ~ =-0,25, захватывает лишь весьма незначительную часть области неустойчивости (прп выбранных на рис. 61 масштабах эта окружность перешла в эллипс). Такой результат связан с тем, что принятое в расчете отношение — =0,2 слишком волико.
По сути, здесь рассматривается слишком «короткая» труба (Х =-5«)), для которой относительная величина потерь будет большой. Это видно, например, из формулы (32.2), по которой потери растут не только пропорционально квадрату часто« тьц но п пропорционально квадрату отношения — . СледоЫ вательно, по мере уменьшения — количество излучаемой в окружающее пространство акустической энергии должно падать и колебательная система становится все более и более склонной к возбуждению. Этим обстоятельством объясняется тот известный экспериментаторам факт, что впбрационное горение можно наблюдать лишь в достаточно «длинных» трубах, т.
е. в трубах с малым значением и параметра Л ' Чтобы придать этим качественным соображениям наглядность, на рис. 62 приведены границы устойчивости 264 возвггкдкник пни наличии потвгь [гл. рг длн вторых гармоник той же колебательной системы, что и рассматривавшаяся выше, но для трех значений лараметра —: 0,2; 0,06 и О.
На приведенной диаграмме хоро- Н шо видно, что с уменьшением отношения „— треоуемая гтг уюат Рнс. 82. Влияние параметра е/А на ноложенне границы устойчивости. для возбуждения системы величина ~ у, ~ уменьшается Ы н стремится к нулю вместе с — . г', ' Экспериментальным подтверждением полученных здесь теоретических выводов может служить наблюдение, сделанное Киркби и Уилероатг). Указанные авторы пишут, что при диаметре трубы 100 мм возбуждение вибрационного горения в ней становилось возможным лишь прп общей длине трубы, превьппающей 1400 мм.
Если вернуться к численному примеру И продолжать считать верхней границей )у, ! значения 0,25, то нз рис. 62 ') КггЬЬу, ЦгЬее!ег, 3оцгн, ог $Ье СЬеш. Бос., 193т, стр. 847. 2 221 численное РАссмотРение некотОРых слУчАев 265 Г Н следует, что при 2,=18п' ( — =0,06) вторая гармоника (,б Н может возбудиться, в то время как для — =-0,2 это певоз- можно. Приведенный выше пример демпфирующего влияния увеличения частоты колебаний позволяет сделать наглядными те рассуждения о возможности пренебрежения начальнь 2и условиями, которые приводились в главе П.
Пусть колебательная система имеет те же параметры, что были использованы в численном примере 2 23. Единственное отличие будет заключаться в том, что потерями на излучение акустической энергии во внешнюю среду пренебрегать не будем. На рис. 33 приведены величины ю и у, полученные для разных гармоник без учета потерь на излучение.
Если учесть эти потери, то у и ю для первой гармоники вряд ли изменятся сколько-нибудь заметным образом. Вторая и третья гармоники и без учета потерь на излучение задемпфированы достаточносильно (у ~ О), учет потерь на излучение лишь усилит это демпфирование. Что касается четвертой гармоники, то без учета потерь на излучение она, как и первая гармоника, почти нейтральна. Однако учет потерь резко изменит это полон2епие, так как частота этой гармоники в 4,5 раза превосходит частоту основного тона, а потери на излучение возрастут, следовательно, в 20 раз.
Это соображение позволяет считать все гармоники выше третьей задемпфированными значительно сильнее первой. Будем поэтому в последующих расчетах учитывать лишь три первые гармоники. Пусть характер процесса в зоне горения, на основании которого были построены кривые рис. 33, слабо изменится. Пусть указанное слабое изменение произошло так, что первая гармоника стала нейтральной (Р.=О). Что касается второй и третьей гармоник, то сохраним соответствующие им значения у, хотя учет потерь скорее всего увеличит декременты затухания. Предположим, что в начальный момент Т=-О в трубе происходило сложное колебательное движение воздушных масс, составленное из стоячих волн первых трех гармоник, причем амплитуды второй и третьей гармоник вдвое 266 возвух1дкник НРи нАличии поткРь [гл, У1 превышали амплитуды стоячей волны основного тона, а фазы всех трех гармоник совпадалп.
Тогда эпюра мгновенного значения возятущения р имела бы внд, изображенный в верхней части рис. 63. Вид этой же эпюры в последующие моменты времени т„т„тв дап на том т,=7 Рис. 63. Постепенное исчезновение влияния на- чальных условий. же рисунке ниже. Нетрудно видеть, что уже через время тж12 сохраняются лишь колебания основного тона. Это время соответствует приблизительно 6 — 7 колебаниям основного тона. Если учесть, что продольные акустические колебания, с которыми приходится иметь дело на практике, находятся в пределах 20 — 1000 герц, то очевидно, что весь эффект, связанный с начальными условиями, исчезнет за доли секунды.
1 зз) полнов поглощвнив энкггии нл конца тгтвы 267 Приведенная здесь грубая оценка имела целью дать наглядное представление о быстроте, с которой сглаживается влияние начальных условий в рассматриваемых системах. й 33. Полное поглощение энергии на одном конце трубы Выше уже указывалось, что численный анализ конкретных случаев является почти единственным методом изучения задач, рассматриваемых в настоящей главе. Однако в некоторых случаях оказывается возможным аналитическое рассмотрение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
