Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Ут ваться приближеннымн формуламп, предложенными Гутинызт'): ЗзЛ» И г= —, х= —, 16 ' п где гз' — диаметр трубы, й — волновое число (отношение частоты к скорости звука). Для дальнейшего использования этим величинам удобнее придать несколько иной вид. Представив волновое число в виде получим для г выражение ~з — шз -~-1 — аь =(,Ы) пь (30,8) ') Ф у р д у е в В.
В., Электроакустнкз, Гостехаздат, ! 048, стр. 111. Следует заметить, что приведенные формулы получены для покоящейся среды. Влияние»« скорости течения нз концевые импеданцы здесь и далее пренебрегается. Поэтому получаемые ниже результаты справедливы для достаточно медленных течений, в остачьных случаях пх можно считать правпльнызш лвшь качественно.
Величины импеданца г, полученные по формуле (30.8), можно применять лишь при достаточно малых значениях о — ш. Произведенная оценка показывает, что для рассма- триваемых в настоящей книге «длинных» труб и для первых Е гармоник условие малости — ш всегда выполняется. 1, В тесной связи с вопросом об излучении акустической энергии в окружающее пространство находится вопрос о так называемом «эффекте открытого конца».
Обычно краевое условие у открытого конца записывает- ся либо в виде равенства (30.1), либо, прп менее строгом рассмотрении, в виде р=0. В последнем случае делается предположение, что в концевом сечении открытого конца трубы колебаний давления не происходит. Это предполо- жение использовалось еще Лагранжем, Эйлером и Вернул- ли, однако работы акустиков Х1Х столетия показали, что его можно применять только с известпьп|и оговорками.
хаглктвгистичвоков Углвнвпив задачи 255 3! ) Теоретическое решение задачи об отражении акустического импульса от открытого конца трубы усложняется тем, что плоская волна, движущаяся по трубе, становится сферической (лучше сказать, перестает быть одномерной) вне трубы. Однако для ряда конкретных схем теоретические решения были получены и, кроме того, были поставлены соответствующие опыты. Обзор этих исследований дая, в частности, Рзлеем').
Не приводя здось подробных выкладок, укажем лишь на два обстоятельства, которые следует учитывать при написании краевых условий для открытых концов трубы. Во-первых, колебательный процесс у открытого конца всегда вызывает рассеивание акустической энергии в окружающем пространстве. При этом указанное рассеяние связано не с переходом акустической энергии в тепло, а с передачей механической (акустической) энергии виеепним по отношению к трубе массам окружающей среды. Это явление и учитывалось, по сути, формулами, приведенными в настоящем параграфе.
Во-вторых, если даже пренебречь рассеянием энергии, то эффект инерции среды перед устьем трубы сводится к кажущемуся удлинению трубы. Возбуждаемые в трубе частоты несколько ниже тех, которые были бы получены в случае реализации идеальной схемы. Поэтому для учета этого явления принято несколько увеличивать в расчетах длину трубы, чтобы получить лучшее соответствие с опытом. Рзлей рекомендует увеличивать расчетный размер трубы на величину порядка 0,3 диаметра трубы для открытого конца. Ниже, при проведении всех расчетов, будет предполагаться, что, эта поправка уже внесена и вопрос об еэффекте открытого конца» больше обсуждаться не будет. 9 3(.
Характеристическое уравнение задачи при учете потерь на концах трубы В предыдущей главе было найдено характеристическое уравнение задачи при отсутствии потерь на концах трубы. Здесь будет рассмотрен более общий случай. ') С т р е т т Дж. В. (лорд Рэлей). Теорие звука, том 11, гл. ХЧ1, Гостехиэдат, М., 1955. 256 возвгжднннн пги наличии потввь с . чъ Пусть на плоскости 2 (рис. 22) в сечении $ = О слева безразмерные возмущения давления и скорости равны соответственно Ре н о„а спРава — Р, и о,.
СвЯзь междУ этими возмущениями устанавливается свойствапи поверхности Е. Поступим далее точно так же, как это было сделано в 1 23. Предполагая некоторую заданную связь между ЬЕ', бХ' п о, Р, и используя равенства (17.5), получим такую форму записи условий на Х: (31.1) о,' = опое+ амрэ, Ро = оагоо+ вмре. Выразим Р и о на концах трубы (при $=5, и $=$,) через о, Рэ и о,', Р,' при помощи формул (4.13) и применим краевые условия Р= г,о при Р= зэка пРи В итоге будем иметь: оа (зЛг ($~) Фз ($г)1+ Ро [зЯэ(31) Ф1 К1)) = О~ оо (22Ф1 (ьз) Ф2 ($2Н + Рз (з2Ф2 (ь2) Фз (ь2)) = О.
Принимая во внимание соотношения (31.1), нетрудно в последних равенствах свести число зависимых переменных к двум, например, о и Р. В итоге найдем характеристическое уравнение задачи: (31. 2) ,Ф,(~,) - Ф. ($,) з,Ф, ($,) -Ф,(~,) „(,Ф,(~,) — Ф, й,)]+,. ( Ф,(~.) — Ф, й,))+ + ю (ззФз (5з) Ф~ ($з)) +вез ( зФэ Бэ) Ф~ Йз)) =О. (31.3) С использованием соотношений (4.14) и (22.5) из (31.3) получим: С, ехр(1 М,~)1,)ехр(~ ~~, р1,).(-с,ехр( ~~,~1,) ) э з11 хавакткэистичвскои гглвнвнив задачи 257 где С, = (г, — 1) (г, + 1) (ам — ам — ам+ ам), з Сэ = (х, — 1) (г, — 1) (а„+ а,э — а„— а„), (31.5) Сз= (з,+1) (г,+1) (а„— а„+аы — а„), Сз = (г, + 1) (зз — 1) (ам+ а.„+ а„+ ам). Ц р,=О, 2) р„=О, 3) о,=О, 4) о,=О, рэ = 0; о,=О; р,=О; 17 Б. в. Раушенсат Таким образом, полученное характеристическое уравнение отличается от уравнения (23.5) лишь выражениями для коэффициентов С„, С„Сз и С4.
В предыдущей главе характеристическое уравнение (23.5) приводилось к системе двух уравнений (23.7), связывающих только вещественные переменные. Если попытаться сделать это и в рассматриваемом случае, то цолученные уравнения будут отличаться большей громоздкостью. Дело в том, что теперь уже нельзя предполагать вещественность ффСэ и С, поскольку импеданцы з, и г,, вообще говоря, являются комплексными числами.
Разделение уравнения (31.4) на систему двух уравнений, связывающих вещественные переменные, удобнее производить уже после подстановки численных значений вм з„ако аио ам и а„. Из написанного общего уравнения (31.4) легко могут быть получены частные случаи.
В предыдущей главе рассматривалось характеристическое уравнение этой же задачи, но в предположении, что на концах трубы расположены узлы давления. Узлы давления описываются условием р=О. Сравнивая это условие с (30.1), видим, что узлу давления отвечает случай э=О.
Точно так же получим, что узлу скорости о = 0 соответствует акустический импеданц з = со. Если комбинировать оба типа краевых условий (р = 0 и о = 0), то всего возможны 4 случая: 258 возвуждение пРи иллич!п1 ПОТЕРЬ [гл. Р1 Введем для величин, входящих в формулы (31.5), следующие обозначения; С, = йгз — йЗ вЂ” й11+ йю, С, = й,. + О,. — й „вЂ” й,г, Сз= аз — а +ггм йю Сз —— йзз+ йзз+ йзг+ йзг. Тогда первому случаю отвечают равенства С1 сг С сз Сз сз С4 сз второму— С, = — с„ С = — сз 2 Сз = гз 04 = сз. третьему— С, = с,. 02 = — с„С, = с„С, = — с и четвертому— С,=с„С,=ем С,=с„С,=с,. Предполагая вещественность коэффициентов с„с„сз и с„анализ свойств колебательной системы во всех этих случаях можно вести точно так же, как был проведен анализ первого случая в гл.
41. Нунзно отметить, что столь же простого метода решения и анализа уравнения (31.4) для произвольных значений граничных импеданцев не существует. Главным затруднением при этом является то обстоятельство, что частота оз входит в выражение для з (30.8). Поэтому решение уравнения (31.4) может быть получено лшпь громоздкими чкслепнымп методами. 4 32. 41псленнае рассмотрение некоторых частных случаев Анализ характера возмущенного процесса на основании уравнения (31.4) возможен двояким образом, Во-первых, путем рассмотрения численных примеров и, во-вторых, путем теоретического исследования частных случаев, допускающих аналитическое рассмотрение.
В настоящем параграфе будет использована первая из названных возможностей. 221 численное РАссмОтРение некотОРых слУ~1АКВ 25э9 Найдем по аналогии с расчетами, приведенными в предыдущей главе, границу устойчивости при наличии потерь на концах трубы, т. е. будем искать такие значения 6Х и бЕ, при которых колебательная система нейтральна.
Будем считать режим течения и положение плоскости подвода тепла заданными (т. е. заданными и, М„32'„ 1, и 12), а в качестве переменного параметра выберем частоту колебаний ьь Так как по условию Т.=-О (рассматривается граница устойчивости), то тем самым заданы (для каждого ог) все входящие в уравнение (31.4) величины, кроме коэффициентов ффС, и С„зависящих (через ам, агм ам, а„) от искомых бХ и бЕ. Сравнив формулы (17.1) и (31.1), легко видеть, что при ЬЕ.=угр„и АХ=у,па (где у, и у, — комплексные коэффггциенты, которые математически выражают существование некоторого механизма обратной связи): а 11 (32.
1) Ег 21 т Рассмотрим для определенности случай возбуждения колебаний при бЕ=-О. При сделанном предположении у,=-О и уравнение (31.4) становится линейным относительно уг соотношением, из которого последняя величина легко определяется. Результаты такого рода расчета приводятся ниже. Расчет был проведен для двух случаев. В первом анализировалось влияние частоты колебаний на положение границы устойчивости, во втором — влияние изменения Е Г относительной длины трубы — ' ~ точнее, обратной велпчпЛ-1 ны — ) на тот же фактор. В обоих случаях расчет велся для т,) Л11 — 0,15; и — 2,5; т=1; 1,=12= — 0,5.
В первой серии расчетов, имевшей целью пропмглюстрпровать влияние частоты колебаний на положение границы Аг устойчивости, величина — оыла принята равной 0,2, т. е. рассматривалась сравнительно короткая труба, длина которой равнялась 5 калибрам. Результаты расчета прп- гтз 260 ВОЭБуждение пРи НАличии потеРь 1гл. у1 ведены на рис. 61. Здесь по оси абсцисс отложена вещественная, а по оси ординат — мнимая часть у,. Комплексный коэффициент у, дает возможность судить об амплитудно-фазовом соотношении между бХ и нс. В предыдущей Рис. 66 Влияние частоты колебаний ы на положение границы устойчивости. главе и ранее было получено чрезвычайно простое условие самовозбуждения колебаний при отсутствии потерь: угол между фазами Ре и бХ должен быть менее —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
