Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Тогда, например, если с увеличением 1а при переходе через 1» процесс из устой- СО чпвого становится неустойчивым, то все границы, полученные из равенств (28.6) при отрицательных знаках у о>С>> йн п юС>>, будут соответствовать переходу от неустойчивости к устойчивости по мере увеличения Ц. Указанное здесь свойство границ устойчивости легко доказать. Для этого достаточно сделать предположение, что при непрерывном изменении»» комплексная частота 6 для всех гармоник также изменяется непрерывно (при этом отбрасывается неинтересный случай, когда при всех Т=О). Предположение это вполне естественно, поскольку свойства поверхности 2 были приняты неизменными.
Но тогда очевидно, что при непрерывном изменении 1» следящий за одной и той же гармоникой наблюдатель будет отмечать, вообще говоря, многократные переходы через границы устойчивости, в моменты, когда будут удовлетворяться равенства (28.5). Важно при этом отметить, что точки (с», о>), соответствующие границам устойчивости, полученные при использовании знаков «плюю> и «минус» в формулах (28.6), будут чередоваться. Это видно, например, из второго равенства (28.5), если заметить, что второе слагаемое правой части по абсолютному значению меныпе 2я по определению. Действительно, второе уравнение (28.5) дает в плоскости (~»; о>) непересекающиеся гиперболы, которые, чередуясь, принадлежат двум семействам гипербол, получающихся при использовании знаков «плюс» и сс»синус» в указанном уравнении.
Пересекая кривую а> = ш (са), принадлежащую некоторой гармонике системы, эти гиперболы определят точки, соответствующие у=О, которые, чередуясь, будут принадлежать то одному, то другому семейству гипербол. Выше было сделано предположение о непрерывном изменении р в функции 1». Тогда, при монотонном изменении 1», колебательная система, пересекая границы устойчивости, будет попеременно становиться то устойчивой, то неустойчивой (здесь не рассматривается вопрос о возможности реализации таких колебательных систем, у которых две точки, соответствующие соседним границам устойчи- 15 в.
в. »а>шен«аа 226 ВОЗВГждкпкн КОЛКВдпки тиПЛОПОдВОдОМ 1гл. у ности, будут стягиваться в одну точку). Следовательно, переходя через границы, соответствующие одному семейству гипербол, колебательная система будет всегда становиться, например, из устойчивой — неустойчивой, а пересекая границы, соответствующие другому семейству пы иербол, из неустойчивой — устойчивой. Это утверждение и подлежало доказательству.
Приведенные рассуждения можно сделать более наглядными, если дать графическую интерпретацию формулам Рнс. 47. К построению диаграммы завнснмостн воз- буждаемых частот от положенвя Е ио длине трубы. (28.6). Обратимся с этой целью к рнс. 47, на котором для некоторого численного примера построены линии равных К п равных Л' в предположении, что ю(П=О. Кроме того, здесь же нанесены зависимости ю от 1, для разных гармоник (номера гармоник помечены при них римскимн цифрами), в предположении, что справедливо простейшее акустическое правило для трубы с открытымн концами: период колебаний равен времени двукратного пробега акустическим импульсом всей трубы (без учета взаимодействия с зоной теплоподвода), т.
е. что частота 1 — 1Я 12 1 — М' а (1 — М,') з аз1 стгпкнчдток измвнкник частот колввании 227 Задавшись затем некоторыми отличными от нуля значениями «з(Ы и сеем 1з, получаем границы устойчивости при использовании обоих знаков в формулах (28.6). Точки, соответствующие границам устойчивости, условно соединены прямыми, которьв|и отмечены области неустойчивости. При этом точки А, соответствуют границам устойчивости, полученным для Л'=О, А, и В, для Я=1 п т. д. Точки А соответствуют использованию знаков минус, точки  — знаков плюс в формулах (28.6).
Как видно из .а -г и гт зт Рис. 48. Связь между пележезием Х пе данае трубы и возбуж- даемыми частотами кеаебаяий. чертежа, внутри каждого криволинейного четырехугольнпка, образованного линиями равных К и Дт, лежит одна область неустойчивости. Основываясь на сказанном, легко построить диаграммы, дающие наглядное представление о распределении областей устойчивого и неустойчивого протекания процесса сгорания при перемещении зоны горения вдоль осн течения. Подобное построение дано на рис. 48 для двух типов краевых условий: трубы с открытыми концами и трубы с одним закрытым концом.
Отложенные ио оси абсцисс значения 1 дают положение зоны горения, по оси ординат отложены частоты колебаний ю. Собственные частоты системы даны пунктирными линиями, около которых поставлены номера гармоник. Области неустойчивости показаны 18' 228 ° возвгждвник колввхннй тнплоподводом ~г . у сплошными линиями.
Для того чтобы показать различные возможные типы распределения областей неустойчивости, на правой диаграмме приведен случай, когда основной тои имеет только одну, а не две границы устойчивости. Такой случай вполне вероятен для трубы с одним закрытым концом. Общие закономерности, которые бросаются в глаза при рассмотрении диаграмм, приведенных на рис. 48, могут быть сведены к двум положениям. Во-первых, чем выше номер гармоники, тем большее число чередующихся областей устойчивости и неустойчивости помещается на длине трубы (при этом первая гармоника имеет одну область неустойчивости, вторая — две, третья — три и т.
д.). Во-вторых, видно, что одновременно могут быть неустойчивыми несколько гармоник, причем при положении фронта пламени у открытого кояца все гармоники устоичивы (хотя для высоких гармоник области неустойчивости и подходят сколь угодно близко к открытому концу). При обсуясдении этих диаграмм следует помнить, что они получены в предположении отсутствия излучения энергии из открытых концов (узлы давления в качестве краевых условий). Известно, однако, что с увеличением частоты колебаний количество энергии, излучаемой из трубы в окружающее пространство, резко возрастает (более подробно этот вопрос будет рассмотрен в следующей главе).
Учет рассеивания энергии при взаимодействии акустических волн с концами трубы приведет к тому, что области неустойчивости по мере увеличения частоты колебаний начнут сужаться, и начиная с некоторой частоты совершенно исчезнут. Следовательно, высокие гармоники практически наблюдаться не будут и при положении фронта пламени в некоторой, достаточно большой, окрестности открытого конца трубы процесс будет всегда устойчив. В итоге можно предсказать следующий общий характер протекания процесса.
По иере удаления зоны горения от открытого конца первоначально стабильный процесс должен стать неустойчивым, причем частота колебаний будет скачкообразно понижаться до основного тона системы. Это приведет к, казалось бы, парадоксальному поведению колебательной системы: увеличение относительной длины ~ 201 влиянии положнния зоны х на колнвлния 229 участка трубы, заполненного горячим газом, будет приводить к уменьшению частоты колебаний, в то время как все гармоники должны были бы увеличивать свойственные им частоты.
Объяснение атому легко усматривается из диаграммы на рпс. 48: хотя частоты каждой гармоники и увеличиваются с возрастанием 1„по мере этого возрастания становятся неустойчивыми все более и более низкие гармоники, которые, рассеивая меньше энергии во внешнее пространство, будут возбуждаться легче, чем высокие гармоники, и смогут подавлять последние. Лишь при очень больших величинах (ю когда оба конца трубы открыты, появляется болыпая вероятность вторичного возбуждения высоких гармоник.
Вся совокупность имеющихся опытных данных подтверждает этот вывод. Полученные в настоящем параграфе на основе формального анализа характеристического уравнения соотношения (28.6) имеют простой физический смысл. Если считать, что при известных условиях основной тон колебательной системы стал неустойчивым, т.
е. к неустойчивости привела, например, известная комбинация велнчин р, и, ф~ и Г"„то легко сообразить, что, в предположении неизменности процесса в зоне горения, точно такие же условия (р, г, ф* и Р,) встретятся дважды на второй гармонике, трижды па третьей н т. д. Это связано с теи, что вторая гармоника как бы повторяет дваясды стоячую волну колебаний основного тона, третья — трижды и т.
д. Те же рассуждения справедливы и для моментов перехода от неустойчивости к устойчивости. з 29. Эксперименты по влиянию положения зоны горения на процесс колебаний Целый ряд результатов, найденных в настоящей главе, подтверждается многочисленными экспериментами. Особенно поучительны в этом смысле опыты, связанные с изучением влияния положения зоны горения по длине трубы на процесс возбуждения акустических колебаний.
Некоторые из полученных при этом выводов могут иметь не только теоретическое, но и практическое значение. При обработке опытных данных целесообразно несколько упростить формулы (28.6). Поскольку все описываемые 230 ВОЗБУжденпе кОлеБАнии теплоподзодом 1га. У ниже опыты велись при сравнительно малых значениях М, (порядка 0,05 — 0„1), то разности 1 — М' могут быть принятыми равными единице.
Кроме того, формулы (28.6) целесообразно записать в размерных переменных (частоты в герцах, а длины в метрах), чтобы непосредственно сравнивать их с опытными точками. С учетом всех этих замечаний, соотношения, связывающие частоты колебаний и длины холодной и горячей части течения, приобретают следующий вид: (з — (К+ пХ) — ~ (з (29.1) 2 ~1,у ь шоу,<и 3 Вз О Здесь Х и Ь, — общая длина и длина горячей части течения, а, — скорость звука в холодной части течения, П вЂ” частота колебаний в герцах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
