Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 36
Текст из файла (страница 36)
4З!. диаграмма устойчивостн прп на- личии запаздывания Л и ний ~ и Лт, удовлетворяющие условиям существования границы устойчивости. На рис. 43 даны результаты такого расчета для М,=- = 0,1, ЛХ, =- 0,25. Как видно пз графика (!с = 0; Ь = 1), неустойчивость возьюжна лишь для двух типов чередующихся замкнутых областей в плоскости ((~р, юЛт). Этп области сдвинуты друг относительно друга (по осн ыбт) где А(р) и й(р) — вещественные величины.
На границе устой- чивости р= йе и тогда написанное равенство разбивается на два, связывающие только вещественные переменные ~)„соз юбт = .1 (е!), (2б.б) ,,з,.ы.,= .(,), Отс!ода сразу находим "О1 илпяпик запаздывания ткпловыдклкпия 215 на угол, равный я, и соответствуют значениям Д„разных знаков. Существование таких именно типов областей для рассматриваемого случая можно было легко предсказать на основе диаграммы, приведенной в левой части рпс. 28.
действительно, полагая ~ ееа'=ф, сведем рассматрпвае- г мый случай к исследованному вьппе. Соответствующая диаграмма устойчивости типа представленной на рис. 28 дана на рнс. 44, где аргумент вектора ф в области неустойчивости изменяется от — 0 до + 0 у (направления ОВ п ОА). С уче- ! том последнего равенства легко получить,что значениям (~„ ) О области неустойчивости отвечают следующие грашщы для Лт: — 0<ооЛт<0, и значениям Да < О— я — 0 < гот4т < я+ 0, что находится в полном соответ- рис 44, Влияние заназлыствпи с результатом, показан- ванна Лт на положение ным на рис.
43. вектора 4 на диаграмме Хотя результат, представ- устойчнвости. ленный на рнс. 43, и можно было предвидеть, он оыл получен здесь путем численного анализа уравнения (20.5) главным образом для того, чтобы проиллюстрировать па простом примере метод решения задачи о возбуждении акустических колебаний теплоподводом с учетом запаздывания процесса возмущенного теплоподвода. В более общих случаях такой простой анализ условий возбуждения прп помощи диаграммы типа представленной на рис. 44 затруднителен. Кроме того, не следует забывать, что полученный в настоящем параграфе результат содержит не только сведения о положении границ устойчивости, но и о частотах, соответствующих отдельным точкам этих границ. Рассмотрим приведенную на рис.
43 диаграмму более подробно, наложив на задачу дополнительные ограничения. Предположим, что по физической сущности процесса теплоподвода Д„тгоячет иметь лишь отрицательные зна- л пня, не превосходящие по абсолютной величине 100, 216 вольт тидкшгк поликанин твплоподиодом ~тз Тогда в из ау;кдонне системы окажется возмоткным лишь в тех случаях, когда изображающая точка на диаграмме рпс. 43 будет лежать в заштрихованной части прямоугольника АА'ВВ'. Это обстоятельство накладывает специфические ограннченпя на допустимые значения Лт.
Чтобы показать зто, построим па рпс. 45 связь между Лх н аз, снтииая с диаграммы рис. 43 значепня азат н и, соответствующие участку и у г,у л ~ у оз Ги~, 45. квази между чзетотаив козебюши оз и ве- личавой заиаздываиви ат. АВграницыустойчивости. Ьак видно карпо. 45, возоуждонке оказывается возможным лишь прп определенных частотах ю н треоует прп этом вполне определенных значений Лт.
Важно прн этом отметить, что еслн не рассматривать очень больших оз (онп почти всегда нереальны), то система не может возбуднться прп Лт, близких к нулю. Это является весьма существенным отличием рассматриваемой задачи от задачи предыдущего параграфа, когда система была способна к возбуждению в прн Лт=О.
Таким образом, учет аапаздыванпя может оказаться необходимым, и это обстоятельство следует принимать во внпманне. 2! 7 частоты ьо 1квзпип Чтобы закончить рассмотрение вопроса о влиянии Лт на возбуждение колебаний, сделаем одно замечание. На рпс. 45 приведены только минимальные значения Лт, необходимые для возбуждения колебательной системы. Если увеличить Лт таким образом, чтобы новое значенш Лт=Лт' было связано с приведеншгм на рпс. 45 Лт=Лт„ соотношением юЛт'= ыЛт,+21 я, где й — целое число, то на диаграмме рпс.
44 изображающие точки для этих двух случаев, очевидно, совпадут. Следовательно, прп непрерывном изменении Лт от 0 до со могут периодически чередоваться области значений Лт, для которых система устойчива, с ооластямп зпачокпй Лт, для которых система неустойчива. й 27. Частоты колебаний Прп анализе частот колебаний, возбужденных тепло- подводом, следует учитывать, что в этом случае закономерности возбуждения частот не столь просты, как в обычных акустических системах. Выше это обстоятельство уже подчеркивалось в связи с примером решения характеристического уравнения Я 23). Там, в частности, говорилось, что отклонение частот колебаний от величин, предсказываемых простейшими акустическими формулами, связано с тем, что при пересечении акустической волной поверхности разрыва Х лишь часть ее проходит в область с иной температурой, а другая часть отражается от поверхности разрыва.
Дело пе только в том, что по разные стороны Х течет газ с различными температурамп. Процессы, идущие в зоне горения (т. е. формально — свойства поверхности Х), самым существенным образом влияя>т на величины возбуждаемых частот. Рассмотрим это явление более подробно. Пусть система находится па границе устойчивости к совершает колебания с постоянной амплитудой (ъ =-О). Для определенности предположим, что система имеет узлы давления слева и справа от плоскости подвода тепла Х, в сечениях с координатами $, и зе Пусть р„ и, п р„ и., — возмущения давления п скорости ка плоскости Х (с = О) слева 218 возвт<кдвниг Колвввппи твпло<<одводои <22. и справа соответственно.
Тогда исходная система будет иметь следующий вид: О<<р2 Д!) + р<<р! (2!) = О, сз'р2 (12) + Р2<р! ($2) = О. Условия на Х запишем в канонической форме (17.1): (о2+ бЕ) = (о<+ У<Р!) Р = — „, (Р, + бх) = — „, (Р + ум нетрудно получить, что <р,(2) . Маа <Р2(Е) ! — саз а (27.5) Проана:шзпруем, основываясь на уравнении (27.3), оба простейших с.<учая возбуждения колебаний — одни, характеризуемый условием 6Х = 0 (у, = О), другой — условием бЕ = 0 (у, = 0). В обоих случаях, как это следует из формулы (27.5), в правой части равенства (27.3) будет стоять мнимая величина, а коэффициенты при у, нли у, в левой части будут вещественными.
Таким образом, нейтральные колебания реализуются прп мнимых значениях р, и уз, что указывает на пзвест- где числа у, и 1)2 введены (как п выше в аналогичных случаях) для того, чтобы явным образом связать величины бЕ и бХ с фазами и амплитудами колебаний системы. Эти числа являются формальным введением неноторой обратной связи, конкретизация которой здесь не требуется. Используя (27.2), преобразуем характеристическое уравнение системы (27.1) к следующему виду: т Яда (Ыу '" <)' Я ч' (Ы, (27,3) т.а.) ~.(4)"'= ° ~.Ю ч.(4) ' Отпошонпя функций —, входящие в написанное уравт<(2) ч"'< (э) пение, можно определить па основе формулы (22.3).
Положив р = йо (по условию т = 0) и обозначив 2'4 а (27. 4) 2)9 '>Астоть! колгзлния зт! пые уже из ~ 12 н 22 условия возбуждения колебаний, согласно которым сдвиг по фазе между бЕ и р, (плп между бХ п о,), равный —, соответствует границе устойчивости. Этот результат не зависит, конечно, от величины частоты колебаний. Рассмотрим, какие частоты могут возбуждаю ся в изучаемой системе.
Изменение величины ы ведет и пзмене- !'ж >з»о! е,>тление собственных часто> колебатель- ной системы. ннн> а (27.6!), а следовательно, и функций ~> е! и ~! >)>т (й!) >)>е (еет) (27.6>) Такие! образом, каждому значению >о соответствует свое значение >у, (или уе), при котором возможны нейтральные колебания системы с заданной частотой о>; опо влез>ентарно определяется нз уравнения (27.3). Чтобы проиллюстрировать сказанное, на рпс. 46 приведены результаты подобного вычисления.
Для большей наглядности используются не значения у, и рю а БЕ=у,р, н ЬХ=у,>>, (при этом р, и >>! считались ве>цественными и положительными). Расчет произведен для случая трубы с узлами давления в концевых сечениях и с плоскостью л', расположенной на равных расстояниях от обоих концов. Скорость течения в «холоднойе части характеризуется 22<) «озими<иннин колввлппи твп.<оподводом [»». ъ числом М =- 0,15, а относительный подогрев Т» (Т, =- 6,25 (здесь Т, означает температуру полностью заторможенного газа). В расчетах величина и в «холодном» концевом сечении была условно принята равной единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
