Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 31
Текст из файла (страница 31)
', =яп(Ь,— Ь,)в. ядпй,в я1пЬ в Произведя несложные преобразован>да, можно прнйтн к следующим равенствам: С елдд — Сееш Ьев+С,е (ад+ад>4 яп Ь,в (23.11) „, С, здп Ь,в — С,е (лд+лит . ядп Ьдв ,е '— Эти равенства справедливы, конечно, лишь при условии Л=яш(Ь вЂ” Ь )вФО. Перемножая соответственно левые и правые части (23.11), найдем после некоторых упрощений Сееплд444>т+ е(лде ле>т Х д Х СЛС4 япе (Ьд — Ь,) в — С,С4(з!пд Ьдв+япеЬев) зш Ь,в яп Ьев 182 возвгждвнив колввлнип твплоподводом [гл.
Ф Последнее равенство является квадратным уравнением ОтНОСИтЕЛЬНО Ерчт"йт, Н СЛЕдОВатЕЛЬНО, ,м +ь ! — 1(") ~ у ('(") !С'С' (23 12) 2С1 где СзСз з!пз (Ь, — Ь,) а — С;С4 (з!п~ Ь,о>+ з!и'Ь~в) 1(ю)— 5!и Ь~м Б!и Ьзм В координатах т, ю уравнение (23.12) определяет некоторую кривую, построение которой проводится элементарно. Искомые значения ю и т, удовлетворяющие системе (23.9), будут координатами точек пересечения кривых (23.10) и (23.12). Здесь следует, однако, указать на некоторую дополнительную трудность.
При получении уравнений (23.10) н (23.12) оказалось необходимым произвести такие действия, как возведение в квадрат, почленное переиноженке двух равенств. В результате система из уравнений (23.10) и (23.12) дает не только корни системы (23.9), но ряд лишних корней, которые необходимо отделить. Отделение корней проще всего производить непосредственной проверкой — подстановкой найденных графически значений т и ю во второе уравнение системы (23.7). Приведем пример подобного расчета. Пусть !!=1,= =0,5, температура воздуха до подогрева 288' К, после подогрева 1500' К, а скорость холодного течения 50 м/сек. Процессы в зоне теплоподвода примем такими, что У, = = У, = У, = 0 и возбуждение системы может происходить только за счет возмущения теплоподводаф Тогда при некоторых фиксированных свойствах !7, которые будут указаны ниже, можно провести расчет по описанной вьппе методике. Не приводя никаких численных расчетов и промежуточных построений, дадим сразу график, по которому определяются значения т и ю.
Как только что было показано, зти величины могут быть найдены как точки пересечения кривых в плоскости т, ю, определяемых уравнениями (23.10) и (23.12). Обозначим первые из них Г (т, ю) = О, а вторые 1(т, ю) = О. 5 23~ Решение хАРАктеРистического уРАВнения тс3 На рис. 33 это построение дано для рассматриваемого конкретного случая. Следует лишь иметь в виду, что Рис. ЗЗ. Графический метод нахождения корней характе- ристического уравнения.
ветви ) (т, в) =О, которые давали лишние корни, на рис. 33 опущены. Кроме того, поскольку изменение знака со на обратный не меняет системы исходных уравнений (23.7), 184 возвуждннин колнвАний тнплоподводом [гл, ч построение сделано лишь для положительных [». Точки плоскости т, ю, являющиеся решениями, отмечены кружочками.
Приведенное построение представляет интерес (и является типичным) с двух точек зрения. Прежде всего бросается в глаза то обстоятельство, что частоты колебаний, которые допускаются системой, отличаются от частот, определенных по привычной акустической методике. Действительно, колебания в цилиндрической трубе с двумя открытыми концами должны, казалось бы, иметь следующие периоды: наибольший, равный времени, необходимому для того, чтобы звуковая волна успела переместиться от входа к выходу трубы и обратно, и серию периодов, составляющих ~[„~!з, ~!4... и т.
д. части наиболыпего периода (см. Я 5 и 6). Если проделать такой расчет для рассматриваемого случая, то окажется, что система должна допускать следующий ряд частот: ю = 0; 4,11; 8,22; 12,33; 16,44; 20,55; Фактически же допускаются: ю = 0; 3,38; 9,1; 12,33; 15,7; 21,4; Эта особенность рассматриваемого случая объясняется следующим образом. При прохождении звуковой волной поверхности разрыва Х некоторая часть ее отражается и идет обратно. Поэтому элементарные сообран[ения, приводящие к привычному акустическому правилу, здесь неприменимы. Сложная игра преломленных и отраженных волн с учетом их отражений от обоих концов трубы дает результат, приведенный во второй строке частот ю. Сравнение обеих строк показывает, что простое акустическое правило можно применять только в тех случаях, когда требуетсн грубая оценка частот.
Второй особенностью, выявленной приведенным расчетом, является то, что различные гармоники затухают с различньп[и декрементами. В рассматриваемом численном примере наиболее близкими к границе устойчивости (т = 0) оказались первая и четвертая гармоники. Что касается апериодического члена ([а = 0) и третьей гармоники, то они наиболее устойчивы. Поэтому при сравнительно 9 241 ПОСТРОННИЕ ГРАНИЦ УСТОЙЧИВОСТИ 185 малом изменении параметров поверхности 2 (малом изменении Д) наиболее вероятно возникновение колебательной неустойчивости с частотами первой и четвертой гармоник. Поскольку в реальных процессах высокие гармоники характеризуются при прочих равных условиях повышенным рассеиванием энергии, то в случае возникновения неустойчивости рассматриваемая система скорее всего даст колебания с частотой первой гармоники (основного тона).
Таким образом, проведенный расчет позволяет понять, как колебательная система «выбирает» частоту колебаний. $ 24. Построение границ устойчивости ы =ь„д, бХ =Ь„О. (24.1) Сравнивая этн выражения с формулами (23.3), можно видеть, что безразмерное возмущение теплоподвода должно в явной форме зависеть от р, и О,: (24.2) Приведенное в предыдущем параграфе решение характеристического уравнения рассматриваемой задачи основывалось на том,что процессы в зоне теплоподвода можно описать равенствами (23.3). Рассмотрим вопрос о свойствах зоны теплоподвода более подробно. Чтобы существенно упростить анализ условий возбуждения, сделаем предположение, что величины 6Е' и ьх' зависят от одного комплексного параметра; выше такой параметр У уже вводился. Этим параметром в'конкретных случаях может быть, например, возмущение эффективной линейной скорости горения ам возмущение теплоподвода ~Т илп иной величины, характеризующей нестационарное горение.
Остановимся на каком-либо конкретном предположении. Пусть, например, этим существенным параметром будет возмущение теплоподвода ф Тогда равенства (17.4) позволяют написать 186 Возвгждение колеваний теплоподводом [гл. 7 Но тогда формулам (23.2), являющимся следствием равенств (17.5), можно придать такой вид: о,= (а,',+а ф,) о,т(а,',+а,",~) ) р„ р =(а,',+а',Я„) о,+(а,',+а,"ф„) р,. 0= 0(о,; р1) и не зависит от иных параметров. Тогда, взяв вариацию от этого выражения и перейдя к принятой системе безразмерных переменных, можно написать — ° е- е- Д = с', д— о1+ Сз д Р1 (24.4) где С, и С, — некоторые постоянные.
Сравнивая выражения (24.2) и (24.4), убеждаемся в том, что коэффициенты ~)„и Д пропорциональны— дЕ и —, т. е. выражают некоторую реально существующую дЕ др, ' зависимость тепловыделения от скорости течения и давления. Рассмотрим вопрос о границах устойчивости при записи свойств плоскости разрыва Х в виде равенств (24.3). Применим для атой цели прием, использованный в 1 19: будем рассматривать о„ро о„рз в качестве векторов Здесь а,',+а,'ф,=ам, ... и т. д. Из формулы (24.2) видно, что ф полностью определяется (при заданных р, и о,) коэффициентами ~„и (Зр. Раныпе для определения возмущения Д бралась его аьшлитуда и фаза, теперь— проекции вектора () на р, и о,.
Оба способа записи можно применять с одинаковым успехом. Применявшееся в предыдущих параграфах задание ~Т (или У и т. п.) через амплитуду и фазу имеет преимущество большой общности. Однако в некоторых случаях, когда известна зависимость тепловыделения от состояния колебательной системы, бывает удобно выразить эту зависимость в явном виде. Пусть, например, тепловыделение ф — известная функция давления и скорости е зе3 постговнив гглниц гстоичивости 187 и возьмем скалярное произведение равенств (24.3) друг на друга. В силу ортогональности р и и при т= О произведения ри обратятся в нуль, что даст следующую связь между коэффициентами ()р н Д„на'границе устойчивости: в,'(а,'т+а,Я„) (асс+а,"Яе)+Ре1(аге+аге()р) (а,',+а,"Д„) =О.
(24. 5) ее Для каждого заданного отношения =' уравнение (24.5) ре определяет кривую второго порядка в плоскости ф„; (),). Все эти кривые проходят через четыре точки А, В, С и т) Рис. 34. Диаграмма устойчивости в плоскости переменных Ор и Ое. (рис. 34), координаты которых находятся приравниванием нулю первой и третьей, второй и четвертой и т. д. круглых скобок в уравнении (24.5), а сами кривые лежат внутри полос, ограниченных прямыми, параллельными осям координат и идущими через этн точки.
Более 188 В03БУждение кОлеБАний теплОподВОдом 1гл. У подробный численный анализ показывает, что семейство кривых является семейством эллипсов, три из которых показаны на рис. 34, построенном для течений, характеризуемых М, =0,1; М,=0,25. Изображенные на рис. 34 эллипсы ни в коем случае нельзя рассматривать в качестве границ устойчивости. Полученные из энергетических соображений для постоянных = и, следовательно, без учета краевых условий, эти р1 еэ эллипсы обладают лишь одним важным свойством: точки, соответствующие границам устойчивости, могут лежать только на полученных эллипсах, а следовательно, только внутри нли на границах вертикальной и горизонтальной полос, определяемых прямыми а„+а,"1Ч„=О, ... и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
