Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 30
Текст из файла (страница 30)
ч установить связь между (), и Ц,: (22.5) Следовательно, между т, и т, будет существовать аналогичное соотношение: 1 У = — Уп и Теперь равенству (22.4) можно придать более удобный вид С(1 — ехр '~', )+Р(ехр '~', — 1) =О. (22.6) Рассмотрим соотношение (22.6) более подробно. В нем 4 4 величины С, Р, ~ ~, и, положительны. Координаты уалов давления З, и $з имеют разные знаки: $, ( О и з, ) О. Следовательно, оба слагаемых левой части уравнения (22.6) имеют одинаковые знаки, независимо от знака т.
Равенство нулю этой суммы возможно лишь в том случае, если каждое слагаемое в отдельности равно нулю. Отсюда сразу находим: т, = О. Таким образом, здесь получен тот же результат, что и выше, при энергетическом рассмотрении задачи; если ЬЕ=бХ=О, то возникают нейтральные колеоания. Следует заметить, что в настоящем параграфе этот вывод получен лишь для частного вида краевых условий — узлов давления на концах трубы. Однако его легко распространить и на более общий случай. Пусть слева и справа от 2 в некоторых (необязательно концевых) сечениях и $, будут располагаться не узлы давления, а узлы скорости илн узел скорости с одной, а узел давления с другой стороны. Изменение краевых условий указанным здесь образом приведет к характеристическим уравнениям типа (22.2).
Отличие будет сводиться к тому, что вместо отношений функций — в уравнения войдут отношения — либо % Ча та Ф~ одновременно — и —. Однако из теории комплексных ЧЪ %я т2 т1 175 22! ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 21а а а = с$8— 1 — соэа 2 Тогда получим ясий ( ' ', — тобам ' ' .=О. (22.7) Уравнение (22.7) позволяет найти дискретный ряд частот ю, удовлетворяющих характеристическому уравнению. Пусть теперь процесс в зоне теплоподвода характериауется условием бХ = О.
Это соответствует рассмотренному в предыдущих главах первому элементарному процессу. Тогда условия на 2 (17.1) примут следующий вид: о, =поз — бЬ, р, = тр,. (22.8) чисел известно, что знаки вещественных частей комплексных чисел 2 и — одинаковы. Поскольку приведенньш г выше вывод основан именно на рассмотрении знаков вещественных частей функции ~', он будет справедлив %2 и для характеристических уравнений, содержащих т2 % илн — и — одновременно.
ЧЪ Ч'з %2 % Полученный здесь результат, как уже указывалось, не нов. Однако сравнивая использованный в настоящем параграфе метод решения задачи об устойчивости течения подогреваемого газа с развитым ранее энергетическим методом, можно указать на известные преимущества рассмотренного здесь способа решения. Б отличие от энергетического метода прямое решение характеристического уравнения позволяет найти, в частности, частоты колебаний.
Действительно, вернемся к уравнению (22.2). Используя формулу (22.3), напишем теперь второе следствие из уравнения (22.2), приравняв нулю его мнимую часть. При этом учтем, что т = О, и применим известное тригонометрическое тождество 176 В03Буждение колевлнии теплоподВОдом (гл. т Чтобы связать явным образом величину 6Е с фазой колебания, примем, что 6Е = ур„ (22.9) п% ($2) т Ч1($1) т Ч~2 (22) 122 (21) (22 10) Ограничившись, как и выше, рассмотрением вещественной части уравнения (22.10) и приведя те же рассуждения, что и при получении равенства (22.6), напишем соотношение, определяющее вещественную часть числа у: Ве(у) = — [С(ехр '~м, — 1)+Р(1 — ехр ' ' )].
(22.11) Анализ этого равенства, основанный на том, что 4 4 „и,, положительны, в то время как $1(0 где у — некоторое ко21плексное число. Введенный здесь чисто формальным образом комплексный коэффициент у имеет глубокий физический смысл. Запись равенства (22.9) является формальным введением той обратной связи, о которой говорилось в начале настоящего параграфа. Пусть физический процесс в зоне горения остается неопределенным, но равенство (22.9) указывает, что колебания давления р, вызывают соответствующик колебательный процесс в зоне теплоподвода. Действительно, поскольку 6Х =0 по условию, то 6Е вполне характеризует возмущения процесса теплоподвода в той мере, в которой это нужно для решения задачи.
Равенство (22.9) показывает, что зти возмущения связаны с возмущениями р, и, следовательно, если р, будет колебаться, то колебаться будет и 6Е, причем с той же частотой. Величина у однозначно определяет соотношение между амплитудами 6Е и р, (модуль числа у) и фазовый сдвиг между ними (аргумент числа у). Воспользовавшись равенствами (22.8) и (22.9), вернемся к уравнениям (22.1). В рассматриваемом случае характеристическое уравнение рассматриваемой системы будет отличаться от уравнения (22.2) лишь правой частью: 177 2 221 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ а 52 ) О, показывает, что величины, стоящие в круглых скобках, имеют тот же знак, что и тм Но тогда, учитывая, что т, С и б тоже положительные величины, можно утверждать, что вещественная часть числа у имеет знак, совпадающий со знаком тп Если вернуться к равенству (22.9), то становится очевидным, что знак вещественной части у определяет фазовый сдвиг между бЕ и рг В частности, положительный знак Ке(у) говорит о том, что сдвиг по фазе между бЕ и р, меньше по абсолютной величине, чем в то время как отрицательному значению Ке(у) соответствует фазовый сдвиг, лежащий между — и л.
2 Сопоставив этот результат с полученным в 2 12 условием возбуждения в первом элементарном процессе, сразу видим их полное совпадение: система возбуждается (т ) 0), если сдвиг по фазе между бЕ и рх по абсолютному значению менее — . 2 ' Точно так же, как и в рассмотренном выше случае, в силу совпадения знаков Ке( — ) и Ке( — ) этот резуль— /%1 Г ееа ~л. ) (.ч ) тат распространяется на более общий случай.
Совершенно аналогично можно было бы получить и свойства второго элементарного процесса. Как видно из материалов настоящего параграфа, выводы, полученные ранее при анализе энергетических соотношений, могут быть получены и непосредственно, путем решения характеристического уравнения. Сравнивая эти два способа, следует сказать, что если энергетические методы несколько проще и отличаются большей наглядностью, то решение характеристического уравнения позволяет не только найти условия возбуждения, но дает возможность -численного определения частот колебаний и декрементов (инкрементов) убывания (возрастания) колебаний. В частности, приравняв вещественную и мнимую части уравнения (22.10) порознь нулю, можно было бы написать два уравнения, связывающие только вещественные 12 в.
в. гатшевсах 178 возвуждвник колввлнии твплоподводом переменные: Р,(т,; в,) =О, Р,(т,; ы,) =О. Совместное решение этих двух уравнений позволило бы найти пары значений т, и а„удовлетворяющих характеристическому уравнению (22.10). Здесь это не делается, так как несколько ниже аналогичная задача будет решена для более общего случая. $ 23. Составление и решение характеристического уравнения о,<р, Я,) + рр, ($,) = О, Огуз (ь2) + рзт1 ($1) = О (23.1) Пусть условия на Х заданы в следующей форме: 0з = а1~01+ амр1 рз — — а,о,+а р,. (23.2) Чтобы проиллюстрировать метод решения задачи об устойчивости газового течения рассматриваемого типа, дадим здесь изложение схемы расчета одного нз возможных случаев возбуждения акустических колебаний тепло- подводом.
В предлагаемом вниманию читателя примере основной следует считать именно методическую сторону решения задачи. Что касается выводов технического или физического характера, которые можно сделать нз анализа полученного решения, то онн имеют более частный характер. Рассмотрим течение газа по трубе, причем будем предполагать, что зона переменного во времени теплоподвода удовлетворяет необходимым требованиям и уже сведена к некоторой фиктивной поверхности сильного разрыва Х. Примем те же обозначения, что и в предыдущем параграфе, и пусть краевые условия снова будут соответствовать узлам давления на открытых концах трубы: р, (з,) =О; р,Д,) =О. Тогда, воспользовавшись решением (4.13), можно написать 22) Рвшенне хАРАктВРистичВского УРАэнення 179 Эта форма записи отличается от канонической. Ее можно получить из формул (17.5), если сделать предположение, что «холоднаяп часть течения изоэнтропична (гт = 0) и что характеризующие процесс нестационарного горения величины ЬВ' и бХ' могут быть представлены в виде 6Е' = 622о, + 622РН бХ' = Ь,О2+ 6„Р,.
(23.3) тра (ь!) = О. (23.4) а„2Р (Э,)+а„2Р,Я,) ам2Р,Д,)+а,сР,(Е,) Функции 2рт и 2ре заменим нх выражениями согласно формулам (4.14), учитывая при этом соотношение (22.5) и вводя 1,= — $2 и (2 = $2 (чтобы иметь дело с положительными величинами — безразмерными длинами (2 и холодной и горячей частей трубы). После ряда преобразований, которые здесь опущены, получим характеристическое уравнение системы в следующей форме'): 25 212 25() С, ехр ( 1 = М, '+ а (1 — Ме) ) р+ Се ехр 1 'М, + + С, ехр ', + С, = О, (23. 5) ') здесь и ниже индексы еедииица» у (), с и ю опускаются. 12" Написанные здесь равенства опять следует трактовать как формальное введение некоторой обратной связи.
сЭизический смысл формул (23.3) сводится к тому, что процесс горения следует за изменениями давления и скорости перед зоной горения и, в частности, при колебательном изменении р, н о, (образовании акустических волн) процесс горения приобретает колебательный характер. Ниже эта формальная запись будет конкретизирована. Исключив с помощью (23.2) о, и р, из системы (23.1), придем к характеристическому уравнению вида: 139 В03Буждение кОлеБАний теплоподВодом игл. у где Сз — — а„— а„— ам+ а,г, С, = — а„+ а „вЂ” аз, + а.„, Сз = а,1+ ав — аю — агг, С = — а — а — а — а 4 11 14 41 гз' (23.6) С 1е1л1+лз1У соя (711+ Ь,) в+. С,елзз соя А,в+ + Сзелзз соа Агв+ Сз — — О, Сзе<лз+лз>' язв (А, + А,) в+ С,елз' язп Ь,в+ + Сзелзз я1п А,в = О. (23.7) Здесь Нетрудно убедиться, что решение системы трансцендентных уравнений (23.7) в общем виде практически невозможно.
Здесь будет дан графоаналитическнй метод решения такой системы. Напишем систему (23.7) в следующем виде: С,е" "соя Ь,в+ С,злз" соя А,в = = — С4 — Сзе1л ~л 'У соя(А,+А,) в, Сгелзз я1 и А,в+ С,елзз яш Азв = = — С ев +лы" язп (Ь + А. ) в. (23.9) Возводя в квадрат левые и правые части этих равенств и складывая их, получим: Сззглзз+ 2СгСзе~л1+ь ~' соя (А, — А,) в -)- С'еглзз = С,'+ 2С,С,еш ""з)' соя (А, + А,) в+ Сззег~л +лз~". Следует подчеркнуть, что входящие в выражения (23.2) коэффициенты ако аьо ав, агв характеризующие процессы в зоне горения и их зависимость от акустических колебаний, предполагаются вещественными. Тогда числа ффСз и Сз также будут вещественнымп и будут зависеть лишь от свойств зоны теплоподвода. Если учесть, что р= у+1в, то, подставив выражение в (23.5) и разделяя вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений для определения у и в: д 231 Решение хАРАктеРистического УРАвнеддия 181 Элементарные преобразования переводят это соотношение в следующее: (С*ерн "4>'+ С'е — Вд — ""д>4) — (Сде(лде ~>4+ Сде <лд+лд>т) = = 2 1СдС4 соя (Ьд+ Ьз)в — С.,С, соя (Ь, — Ье)в).
(23.10) Здесь искомые величины т и в находятся по разные стороны знака равенства. Пользуясь этим обстоятельством, нетрудно построить кривую, определяемую уравнением (23.10) в координатах т, в. Для этого достаточно построить левую часть как функцию т, правую как функцию в и перенести точки, удовлетворяющие равенству (23.10), в координатную плоскость у, в.
Если рассматривать (23.9) как систему линейных неоднородных уравнений для определения величин С,елд4 и Сзелд', то можно написать: — С4 — Сде~лде л >' соя (Ь, + Ь,) в соя Ь,в С елдт — С,е(лд+ле>т яп (Ь, + Ь,) в ядп Ь,в 1 соя Ь,в — С4 — С,е(лд+ле>' соя (Ьд+ Ь,) в Сеелет = 4 ~ яп Ь в — С е(лд+ле>4я1п(Ь, +Ь ) в где определитель системы соя Ь,в соя Ьлв Л= .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
