Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Очевидно, что разность этих двух величин дает эффективную интенсивность источника энергии, связанного с непосредственным подводом импульса. Обозначая эту разность дэ", придадпи искомому соотношению окончательный впд: е(ОΠ— + О ЫР = Иэ". (18. 5) Интегрирование уравнений (18.3) и (18.5) дает (рис„Т), — (рос„Т), + ~ р ЫО = Д + э', е (18.6) Сравнивая полученные результаты с формулами (11.12) и (11.13), сразу убеждаемся в их близком сходстве. Повторяя дословно все рассуждения приведенные в 2 11, нетрудно убедиться в справедливости вывода о существовании двух независимых (теплового и механического) источников энергии, поддерживающих акустические колебания. Справедливыми оказываются и все последующие 10 Б.
В. Раушеибах 146 РАсчетнАя идеАлизАция ЦРОцессОЕ РОРения [га. гу рассмотрения элементарных процессов в зоне теплоподвода и т. д. При получении формул вида (11.17), (11.18) и (11.19) нз равенств (18.6) следует помнить, что формально введенные источники массы и импульса являются фиктивными. Этп фиктивные источники, как уже указывалось выше, прн установившихся колебаниях в среднем (за цикл) имеют расход, равный нулю, и, естественно, не могут подводить энергии извне.
Аналитически это выражается условиями: э'с(1=0, ~ э"СИ=О. о $ 19. Возбуждение колебательной системы в общем случае В предыдущей главе было рассмотрено возбуждение колобательной системы при реализации элементарных процессов в зоне теплоподвода. Рассмотрии в настоящем параграфе метод построения границ устойчивости наподобие тех, которые строились в З 12, но теперь для процесса в зоне теплоподвода, который не является элементарным. Однако предварительно получим некоторые следствия из найденных в настоящей главе выражений. Прежде всего следует убедиться в том, что введенные ранее элементарные процессы в зоне теплоподвода могут реализоваться фактически, и поэтому проведенные выше рассмотрения нельзя считать отвлеченными теоретическими схемами. Как следует из формул (17.3) и (17.4), условия 6Е=О или 6Х = О действительно могут быть реализованы. Пусть, например, заданы возмущения переменных перед зоной теплоподвода о„р, н зм Эти три величины определят 6Х, и для того, чтобы 6Х обращалось в нуль, необходимо выполнение условия 6Х' = — 6Х,.
Такпм образом, в зоне теплоподвода будет реализован первый элементарный процесс, если величина 6Х' будет иметь вполне определенный модуль и аргумент. Это можно осуществить 9 191 ВОЗБУЖДЕНИЕ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 147 самым различным образом, поскольку для получения нужного значения бХ' можно воспользоваться четырьмя иезависпмымп параметрами: У„У„У9 и ф Если рассматривать для определенности простейп9ий случай возбужденпя акустических колебаний в трубе Рпйке, то вместо четырех свободных параметров сохранится лишь ~" — безразмерное возмущение внешнего теплоподвода. Равенства (16.1) и (17.4) показывают, что первый элементарный процесс в трубе Рийке будет реализован при — бХ, вполне определенной колеблющейся составляющей тепло- подвода. Точно такое же рассуждение можно провести и для обоснования реальности второго элементарного процесса (бЕ = 0).
Вторым обстоятельством, которое нужно отметить, является то, что в движущейся среде фазы бЕ и колеблющейся составляющей теплоподвода Ч не совпадают. Действительно, рассматривая, например, простейший случай колебаний в трубе Рийке, можно на основании формул (16.1), (17.3) и (17.4) написать бЕ = ЬЕ, + 2быМ,'Д*. Поскольку фаза бЕ„вообще говоря, не совпадает с фазой ~)*, высказанное утверждение доказано. Это обстоятельство позволило рассматривать условия возбуждения, полученные в 4 12 для первого элементарного процесса, в качестве обобщения критерия Рэлея (последний оказывается справедливым лишь при совпадении фаз ЬЕ и Ча).
Рассмотрим теперь некоторые свойства, которыми могут обладать процессы в зоне теилоподвода и которые позволяют во многих случаях получать весьма наглядные диаграммы областей устойчивости. Как уже указывалось выше, граница устойчивости определяется равенством (11.9) А,=Л. В общем случае из (13.2), вводя безразмерный поток акустической энергии по формулам А=; А=— (19.1) ха,р, ' ха1в1 ' 1О* 148 глсчвтнля идкхлизхция пгоцкссов гогвния [гл. 1т получим 1з = — (Ут, ЬЕ+ с,бХ+ ЬХ ЬХ) (19.2) Условие существования границы устойчивости запшпется в виде (19.
3) Равенства (19.2) и (19.3) показывают, что при задан- ных ю, и в, существует сложная совокупность значений ЬЖ и ЬХ, удовлетворяющих условию, определяющему границу устойчивости. Этой совокупности трудно придать наглядность, так как связь между искомой величиной н двумя векторамн сводится, как известно, к связи втой величины с четырьмя скалярными переменными.
Кроме того, не следует забывать, что и величины р, и и, могут ' изменяться (при перемещении поверхности разрыва В вдоль стоячей волны, возникшей в системе). Анализ условий возбуждения обычно сильно упрощается в тех случаях, когда величины 6Е и 6Х оказываются функциями одной и той же комплексной переменной, если пе считать зависимости их от о„р, и з,. Приведем несколько примеров таких процессов в зоне теплоподвода. В качестве первого примера рассмотрим все те слу- чаи, когда процесс в зоне теплоподзода может быть пред- ставлен как процесс подвода тепла в некоторой области, неподвижной относительно стенок трубы и имеющей пре- небрежимо малую протяженность в направлении оси трубы (труба Рпйке и т.
п.). Малая протяженность области теплоподвода при условии ее неподвижности приводит к тому, что У, = У, = У, = О и, следовательно, как пока- зывают формулы (16.1) и (17.4), ЬЕ =2Ь„М,'(7*, ) (19.4) ЬХ' = 2Ь„М,'~'. В случае горения вместо 2Мф* может стоять величина (). Вторым примером будет случай постоянного теплоподвода иа подвижной поверхности пламени. Как видно из 149 9 191 ВОЗБУЖДЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ формул (16.2), (16.3) п (16.4), У,, У, и Уэ будут функ- 1 д цией величины — — — у' (г), которую можно представить РВС Г как сумму о, и Г или С'19сс. Таким образом, величины ЬЕ и ЬХ' окажутся функциями о, и возмущения эффективной скорости распространения фронта пламени относительно холодной смеси: ЬЕ ' = аео, + ЬвГ,,сэ, (19.5) где ае, а„бе, ܄— некоторые численные коэффициенты. Величина о„вошедшая в формулы (19.5), не мешает считать ЬЕ' и ЬХ' функциями одной переменной Г, эа.
Дело в том, что о, (как и р,) обычно задается, кроме того, гй входит в формулу (19.2) непосредственно и содерн9птся в членах ЬХ и ЬЕ,. Таким образом, свободным параметром, который можно варьировать произвольно и влияние которого на устойчивость имеет смысл изучать, является комплексная переменная Г19ээ. В качестве третьего примера рассмотрим процесс, в котором как У„У, и Уз, так и т~„и д, отличны от нуля. Пусть, например, в зону горения поступает смесь с переменным коэффициентом избытка воздуха а.
Такая смесь будет характеризоваться оп отличным от нуля. Если предположить, что полнота сгорания ц,„однозначно определяется а, о, и р,, и положение фронта пламени, а следовательно, и У,, У, и Уэ также являются функциями а, о, и р,, то величины ЬЕ и ЬХ будут зависеть только от а, в том же смысле, в каком Былие говорилось о зависимости ЬЕ и ЬХ только от Г„аэ. Количество подобных примеров можно было бы увеличить. Для всех приведенных случаев анализ условий возбуждения упрощается потому, что зависимость Ах от одного комплексного параметра может быть хорошо представлена на плоскости.
Это позволяет осуществить построение наглядных диаграмм границ устойчивости. Чтобы не быть связанным с каким-либо одним конкретным 150 РАсчетнАЯ идеАлизАциЯ пРОцессов ГОРепиЯ [гл. 17 примером, будем рассматривать задачу в более общей постановке — будем считать, что величины 6Е и 6Х зависят от некоторого комплексного параметра У (безразмерного возмущения какой-то существенной величины У), а также от Р, и о,.
Форзгулы (17.4) показывают, что можно ожидать зависимости 6Е и 6Х и от г„но обычно течение в холодной части трубы, до пересечения потоком воздуха зоны теплоподвода изоэнтропично и поэтому г, = О. Следовательно, в рассматриваемом случае первые два уравнения (17.5) можно защгсать в следующем виде: аг1О1+ а22Р + а~3~ ( 19. 6) Р а 01 + а22Р1+ а 2У где аг„— некоторые численные коэффициенты [отличные от обозначенных таким же образом коэффициентов уравнений (17.5)). Вычисление Ах по формуле (19.2) в рассматриваемом случае не имеет смысла, так как соотношения (19.6) не содержат 6Е и 6Х, выраженных непосредственно через У. Воспользуемся поэтому формулой (13.1), которая при переходе к безразмерным переменным примет следующий впд: Ах = 2 (птрзиз — р,иг).
(19.7) Здесь, как и ранее, п = — ', т = Лг ' ЗСР2 Рассматривая входящио в равенства (19.6) переменные о, Р и У как векторные величины, возьмем скалярное произведение этих равенств друг па друга. — 2 2 Рзи2 21а21иг+ азза2272~+ агзазз У + + (а„а„+ а„а„) рзиз+ + ('ыазз+ агзам) и У+ (аыазз+ агзам) Р2У. Используя (19.7) и последнее равенство, получим из (19.3) следующее соотношение, эквивалентное условию устойчивости: А уз+ ВрзУ+ СО2У+ 7)р„л- Еиз+ Рр,и, — )7 = О, (19,8) 151 возвуждение В СБщем случАБ г 91 где А, В, С, В, К и à — численные коэффициенты, 1 1 агзазз 2 В = — пта„аме 2 1 В = —, пт (агг"гз + а,за„), Е = — пта„азг, 2 ' ' ' 2 1 С = —,пт (а„агз+ агзаю), Р = 2 (пт (а„агз+ а,зам) — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
