Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Воспользуемся условием (19.8) для построения диа- граммы границ устойчивости. Построение начнем с наи- более простого случая, характеризуемого отсутствием потерь акустической энергии. Пусть слева н справа от зоны теплоподвода потери акустической энергии равны нулю (например, слева и справа от указанной зоны расположены узлы скорости или давления). Тогда, как это было показано в 2 11 при обсугкденни формулы (11.7), векторы 99 и зг должны быть ортогональны н поэтому тгги,= тгзпз= О. Поэтому вместо равенства (19.8) получим АУ'+ Втгг У+ Сз,',У + Зрг+ Ьвг = О. (19.9) Границу устойчивости будем строить в прямоугольной системе кооРдинат (х, У). ПУсть вектоРы тг„згг и У приложены к началу координат и вращав тся вокруг него с частотой ю (см.
2 2). Выберем такой момент вре- мени, когда вектор тгг будет направлоч по оси х, а ось у направим по вектору згг. Вектор Х' будет расположен некоторым произвольным образом относительно осей коор- динат. Границей устойчивости в плоскости (х, у) будем называть геометрическое' место концов векторов У, удов- летворягогцггх (19.9). Введем обозначения для векторов заг, Згг и У ЧЕРЕЗ НХ ПРОЕКЦИН На ОСИ Х И У. ОПИ бУДУт выражаться следующим образом: (р„О); (О, сг); (У„, Уз). Запишем теперь сумму скалярных произведений (19.9) через проекции сомножителей: А (У„+ У„) + ВргУ, + Сс,У„+ Пр, + Ео, = О. (19.10) Нетрудно видеть, что при заданных р, и о, уравне- ние (19.10) указывает на движение конца вектора Х по 152 глсчнтнля идвллнзлция пгоцнссов гоггния ~ . л окружности, положение и радиус которой зависят от р, и о,.
Следовательно, множество векторов л, возбуяадающих колебания, отделяется от всех остальных на плоскости (х, у) годографом, имеющим форму окружности. Поскольку размеры и положение этой окружности изменяются с изменением р, и о„различным положениям плоскости теплоподвода Х по длине трубы — ближе или дальше от узла дав,р лення, — или различным частотам колебаний, т.
е. различным р, и о, могут соответствовать различные границы устойчивости. Таким образом, Рз условия возбуждения сиз стемы могут изменяться Л' при изменении положения Х, или частоты колебания. На рпс. 26 изображена границаустойчпвости рос. 2С. диаграмма устойчнностн для гзекоторых заданных для заданных р, и и,. р,ио,. На основании проделан- ных выкладок можно утверждать только то, что при положении конца вектора У на изображенной окружности колебания будут нейтральными. Вопрос о том, по какую сторону окружности лежит область устойчивости, а по какую область неустойчивости, требует дополнительного исследования.
В большинстве практических случаев не возникает необходимости проводить такое исследование, поскольку ответ бывает ясен из физической сущности задачи. Однако анализ этого вопроса не представляет больших трудностей и в тех случаях, когда физические соображения не дают сразу очевидного решения. Можно провести, например, следующее качественное рассуждение. Пусть величина Х такова, что процесс нейтрален. Сохраним значение р, и о,и изменим несколько К (таким образом, чтобы конец этого вектора сошел с гра- возвужденне В ОБщем случАе 153 ницы устойчивости).
Тогда равенство (19.10) нарушится, причем, основываясь на рассуждениях, проведенных при выводе уравнения (19.8), можно будет написать А (У„+ У„) + Вр,У„+ Со,У„+ Юр, + Го = Ав. Прп отсутствии потерь в системе границе устойчивости соответствует Аз = О, ААЕ ) О дает неустойчивость, а Ах < Π— устойчивость процесса.
В начале координат У„= У„= О и Ав = Вр, + Ло,. Следовательно, если Вр1+ЕО1 < О, (19.11) то процесс в окрестности начала координат устойчив, а значит неустойчив внутри окружности. Условимся штриховать область неустойчивости. Тогда при выполнении неравенства (19.11) внутренняя часть окружности на рис. 26 будет заштрихована. Такая именно картина наблюдается, например, в тех случаях, когда акустические колебания возбуждаются теплоподводом, сконцентрированным в одной, неподвижной относительно стенок трубы плоскости (труба Рийке и т. п.). Нестрогость приведенного здесь качественного рассуждения заключается в том, что при Аг Ф О колебания перестают быть гармоническими, приведенные выше формулы для потоков акустической энергии становятся неправильными, а угол между векторами р, и п1 начинает отличаться от 2 Если стремиться к более точному анализу, то это обычно проще всего сделать путем фактического вычисления декремента затухания колебаний для какой-либо точки диаграммы, например, начала координат.
Соответствующие методы будут развиты в следующих главах. Сравниван полученный здесь и приведенный на рнс. 26 результат с рассмотренными в предыдущей главе условиями возбуждения в двух элементарных процессах, легко отметить усложнение условий возбуждения. Это усложнение выражается в том, что, во-первых, фазовые соотношения между Х и р, или и, не могут быть сформулированы так просто, как для элементарных процессов; 154 РАСЧЕТНАЯ ИДЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ГОРЕНИЯ 1гл. ГР во-вторых, помимо фазовых соотношений, приходится учитывать н амплитудные, т. е.
величину ~ 1 ~ н, в-третьих, условии возбуждения зависят от положения плоскости разрыва А по длине трубы (от р, и О,). Следует заметить, что такое усложнение условий возбуждения не связано с переходом к параметру х вместо 6Х п 6Е. Рассмотрение задачи о границах устойчивости при заданных 1эм г„бХ Ф О и переменном 6Х (или при заданном 6.ЕФО и переменном 6Х) показывает, что и при таком подходе фазовые соотношения усложняются, начинает играть существенную роль абсолютная величина переменного параметра (6Е илн 6Х) и условия возбуждения становятся функцией положения плоскости А по длине трубы (функцией р, и о,).
Таким образом, в отличие от элементарных процессов (при 6Е или 6Х, равном нулю) все остальные процессы по своей физической сущности дают сложные условия возбуждения. Причина кроется в том, что в этих случаях происходит заимствование энергии нз двух источников одновременно. что приводит к сложной картине их взаимодействия. Несколько подробнее этот вопрос будет освещен ниже. Граница устойчивости, изображенная на рис.
26, получена в предположении, что значения р, и о, заданы. Однако здесь уже неоднократно подчеркивалось, что в зависимости от положения зоны теплоподвода по длине трубы (точнее, в зависимости от ее положения относительной стоячей волны возмущения) значения р, и о, могут изменяться, а следовательно, будет смещаться и изменять свои размеры окружность на рпс. 26. Поэтому естественно поставить вопрос о нахождении семейства таких окружностей, соответствующих всем мыслимым для данной трубы значениям р, и о,. Здесь речь идет, конечно, не об абсолютных значениях р, и о„а о соотношении между ними. Как уже говорилось, применяемый метод дает все величины с точностью до масштаба.
Решение задачи о колебаниях в переменных и, и показывает, что при нейтральных колебаниях обе эти величины остаются постоянными по абсолютному значе- 155 ВОЗБУЖДЕНИЕ В ОБГЦЕМ СЛУЧАЕ 9 991 нию для любых сечений трубы, если между этими сечениями нет поверхностей разрыва. Такому условию удовлетворяет, в частности, отрезок трубы, по которому течет холодный газ. Поэтому можно написать, что на этом участке (и, ( = сопзс, ) ш1 ( = сопзь или и', + р, '= сопвс. Написав скалярные квадраты через проекции векторов, найдем О,'+ р,' = совз9.
(19.12) Уравнение (19.10) показывает, что положение центра окруя9ности, изображенной на рис. 26, определяется координатамя: В— х = — — —,в о= 2 1 С— 2 А (19. 13) Сравнивая равенства (19.12) и (19.13), можно видеть, что центры окружностей (х„ур) будут перемещаться по дуге эллипса. Надо лишь добавить, что центры (х„уе) будут располагаться пе на всей дуге эллипса, а лишь на одной из четвертей его дуги. Действительно, в выбранной системс координат р, и о, всегда положительны. Положение искомой четверти дуги эллипса зависит от зна- В С ков численных коэффициентов — н — .
Расчеты пока- А А зывают, что, например, для случая возбуждения колебаний переменным теплоподводом (У = ~) этой четвертью всегда будет четвертая четверть. — е 9 И, = СОПЗЬ, тв, = СОВЗ9. Соотношения (4.9), связывав1щие переменные и, ш ир, О, позволяют на этом основании нашгсатге 9 — — — 2 и,+2в,у,+19,=сопз9, в',— 2в,тт,+19', = сопвс. Отсюда получаем связь между 29 и и в случае нейтраль- ных колебаний 156 РАСЧЕТНАЯ ИДЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ГОРЕНИЯ ~га, Гу Проведенный анализ позволяет утверждать, что семейство всех границ устойчивости составлено множеством окружностей, центры которых перемещаются по четверти дуги эллипса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
