Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 29
Текст из файла (страница 29)
При расчетах фаза ~~ выбиралась постоянной н такой, чтобы для заданных р, и о, при некотором модуле ~ = ~~„ обязательно достигался максимум А, + А, (вектор О проходит через центр окружности, являющейся границей устойчивости при избранных р, и;О1). При построении диаграммы по оси ординат были отложены величины А, и — А„ следовательно, расстояние между обеими кривыми по вертикали равно потоку А,+ А„при этом в тех участках, где кривая А1 лежит выше — А„суммарный поток положителен, а там, где — А, проходит выше А„— отрицателен.
Из диаграммы видно, что при ~Т= 0 А, + А, ( О, т. е. при отсутствии колебания теплоподвода система устойчива. Выше это обстоятельство уже подчеркивалось при построении границ устойчивости (з 20). Приведенная на рис. 32 диаграмма полностью подтверждает полученные в настоящем параграфе результаты. Кроме того, нз нее видно, что при таком сравнительно медленном течении колебательная система возбуждается за счет теплоподвода и потока внутренней энергии, а взаимодействие системы с потоком кинетической энергии ведет к сильному демпфированию колебаний.
Этот результат вообще характерен для медленных течений (ЛХ«1), возбуждаемых теплоподводом. Такие течения возбуждаются за счет потока кинетической энергии лишь в исключительных случаях, при р, близких к нулю, причем абсолютная величина А,+ А, в этих случаях невелика. Из сказанного не следует, однако, делать вывода, что поток Аз никогда не играет заметной роли как активный фактор возбуждения колебаний.
Во-первых, с ростом М доля Аз в общем потоке акустической энергии пропорционально возрастает, во-вторых, картина может резко измениться, если процесс в зоне теплоподвода перестанет рассматриваться как функция одного комплексного параметра (в рассмотренном случае Е. Коли учесть, например, что в зоне теплоподвода могут одновременно происходить и колебания теплоподвода и колебания положения фронта сгавнвнив двух источников энвггии 169 пламени, причем фазовый сдвиг между ними может быть произвольным, то нетрудно построить примеры систем, в которых главным источником энергии для возбуждения колебаний будет кинетическая энергия течения.
Кроме того, если вернуться к рис. 28, на котором даны границы устойчивости для случаев п,=О и р,=О, и учесть, что эти границы построены с соблюдением масштаба для рассматривавшегося в настоящем параграфе медленного течения, то нетрудно убедиться в том, что Аз может являться активным фактором возбуждения и в таких исключительно неблагоприятных для этого условиях, как М,=0,1. Действительно, диаметр области неустойчивости в правой части рисунка (соответствующей р, = 0) лишь в 2,5 раза меньше диаметра области неустойчивости, изображенной слева. В то же время из примера (21.3) видно, что при р, = 0 единственным возбуждающим систему потоком акустической энергии является А„а при и, = 0 эту роль исполняет А,. Следовательно, пренебрежение таким резервуаром энергии для поддержания автоколебаний, как кинетическая энергия течения, может не только исказить картину в тех случаях, когда возбуждение происходит за счет энергии, находящейся в тепловой форме, но н привести к неправильным выводам о возможности самовозбуждепия системы в таких областях плоскости параметров, для которых возбуждение колебаний за счет энергии, находящейся в тепловой форме, вообще невозможно.
ГЛАВА Ч ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ТЕПЛОПОДВОДОМ ПРИ ОТСУТСТВИИ ПОТЕРЬ ф 22. Вводные замечания Настоящая глава посвящена решению задачи об устойчивости течения подогреваемого газа в предположении, что акустическая энергия не излучается из концов трубы н, следовательно, не рассеивается в окружающем пространстве. Прн теоретическоы анализе термического возбуждения звука такое предположение делается почти всегда, так как оно с известным приближением справедливо для случая возбуждения низких частот, представляющих основной интерес. Приближенная постановка задачи позволяет во многих случаях получить обозримые аналитические результаты, в основном справедливые и при более общих предположениях о рассеивании акустической энергии.
Здесь не будет проводиться оценка допустимости сделанного предположения, поскольку в следующей главе рассматривается аналогичная задача с учетом потерь энергии на концах трубы. В отличие от предшествующих глав, где по сути рассматривались элементы процесса возбуждения акустических колебаний теплоподводом (распространение продольных акустических возмущений по трубе, вопросы изменения этих возмущений при пересечении ими области теплоподвода), здесь будет дано рассмотрение задачи в целом, с использованием полученных вьш~е результатов. Однако прежде чем приступать к решению поставленной задачи, надо сделать одно замечание. Во всех предыдущих рассуждениях, когда на основании энергетических соображений строились границы устой- 271 2 22! ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ чивости, постоянно отсутствовало одно логическое звено. Все полученные выше результаты в конце концов сводились к утверждению, что если соотношения между фазами и амплитудами колеблющейся системы н процесса тепло- подвода соответствуют определенным условиям, то система возбуждается.
Точнее говоря, доказывалось, что если процессы в зоне теплоподвода имеют определенный колебательный характер, то в системе возбуждаются акустические колебания. Однако чтобы процесс замкнулся, надо еще показать, что акустические колебания среды в свою очередь приводят к колебательным процессам в зоне теплоподвода. Наличие этой обратной связи сделало бы возможным самовозбуждение колебаний в системе. Это можно показать путем такого качественного рассуждения: пусть в системе возникло слабое акустическое возмущение— оно привело к возмущению в зоне горения — в результате возникло новое акустическое возмущение, которое сложилось с предыдущим и усилило его, — усиленное акустическое возмущение привело к усиленному возмущению процесса в зоне горения — последнее вновь дало дополнительное усиливающее акустическое возмущение и т.
д. Следовательно, к уже доказанным выше положениям, что колеблющийся процесс горения способен вызвать акустические колебания, надо добавить доказательство того, что акустические колебания в свою очередь способны вызвать колеблющийся процесс горения. Существование этой обратной связи является чрезвычайно важным моментом в цепи рассуждений. Если обратиться к анализу физических процессов, лежащих в основе возникновения обратной .связи, то окажется, что их довольно много, они сложны и достаточно разнообразны.
Это делает необходимым посвятить вопросу о механизмах обратной связи специальную главу книги (гл. УП). Чтобы уже здесь придать наглядность этим рассуждениям, полезно дать какой-либо пример явления такого рода. Укажем с этой целью на почти очевидный факт: акустические колебания связаны с колебаниями скорости течения, а скорость течения влияет, как известно, на процесс горения (изменяет конфигурацию фронта пламени, изменяет скорость сгорания и т. и.). Таким образом, колебания скорости течения, вызванные 172 возвгждвнии колввания твплоподводом ~гз. ч акустическими явлениями, порождают в свою очередь колебательное горение. Ниисе будет показано, что приведенный пример не исчерпывает всей массы возможных механизмов обратной связи, однако его упоминание здесь необходимо для того, чтобы показать, что механизмы обратной связи фактически существуют и что поэтому все предшествующие рассуждения не были беспредметными.
Кроме того, указание на важность этого звена в процессе возбуждения колебаний заставит читателя более внимательно следить за предположениями, которые будут делаться в ходе дальнейшего изложения и которые всякий раз в явном или неявном виде будут содержать какое-то допущение, эквивалентное введению обратной связи. Рассмотрение вопроса о возбуждении колебаний в трубе без потерь на концах целесообразно начать с уже известных простейших случаев, которые характеризуются реализацией элементарных процессов в зоне теплоподвода, с тем, чтобы применить к ним новый метод решения. Примем, для определенности, что на концах трубы расположены узлы давления. Пусть плоскость теплоподвода 2, эквивалентная области теплоподвода а, располагается на расстояниях $, и $, от концов трубы. Расположим начало координат в сечении, совпадающем с Х, так что левый конец трубы будет иметь координату $, ( О, а правын $,) О.
Краевые условия запишем в следующем виде: р,(й,)=О; р,а,)=О. Тогда из решения (4.13) получим: пд,($,)+р,~р, Я,) =О, ~ (22.1) ~я ($ )+раЬ(3 ) =О Здесь о„р„о, и р, — значения возмущений о и р в сечении $ = О, соответственно слева и справа от поверхности з'. Начнем рассмотрение задачи с того случая, когда процесс в зоне теплоподвода характеризуется условием бЕ=бХ=О. Из канонической формы записи условий на 2 (17.1) следует, что при бЕ=бХ=О о,=поз, р,= тр,. Но тогда 173 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ система (22.1) становится линейной и однородной относительно рх и о« Она будет иметь нетривиальные решения при условии илР2 (Зл) тлр, ($1) =О. лр2 (»2) «Р1 (22) Полученному характеристическому уравнению системы при лР, ~ О можно придать следующшл вид: изл(~2) — т ~1(~1) =О.
(22.2) Ч~2 (%2) 1Р» Йл) Воспользовавшись формулами (4.14), получим, полагая 'р = т + лвм 1 — 42$ . 22$ . 221$ ч,(4) 1 "Рл — и«+~'"Р 1 — м' ""1 — м (22.3) 122 Я) 42422~ 2«л~ 1+ехР 1 44~ — 2ехР 1 М' сее 1 — 12 Знамеяатель полученного выражения всегда больше нуля (так как случай лр» =О исключен из рассмотрения). Если учесть, что и и т в уравнении (22.2) — числа положительные по определению, то, ограничившись пока рассхютрением лишь вещественной части уравнения (22.2), сразу получим: С(1 — ехр ' ', ) — 22(1 — ехр ' ' ', ) =О, (22.4) где С и Ю вЂ” некоторые положительные числа. Прежде чем приступить к анализу полученного соот- ношения, обратим внимание на одно важное обстоятель- ство. Стоящие в показателнх степени величины чл и или, в более общем случае, комплексные частоты Рли р„ входящие в функции лр„лР, и лР», различны для «холод- ного» и «горячего» участков трубы.
Это связано с тем, что для используемой. в настоящей книге системы безразг, мерных переменных (4.8) масштабы времени — различны а по разные стороны 2; вследствие изменения скорости звука а при подогреве газа. В то же время физически очевидно, что размерная частота колебаний должна быть единой для всей трубы. Основываясь на атом, нетрудно 174 возвгждвнив колввлнии ткплоподводом [тз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
