Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Огибающая этого семейства ограничит а' область, изображенную на рис. 27 (эта область построена для опреде'т лепностп применительно к случаю Х=ф). При попадании конца вектора Хв заштрихованную Р область возбуждение си- ,Р стемы становнтся воз- можным. у Реализация этой возможности связана с тем, находится ли конец вектора Х внутри той из рвс. 27. диаграмма устойчивости окружностей семейства, для произвольных р, в о,. которая соответствует фактическому положению поверхности разрыва Х (фактическим р, и О,). Внутрн заштрихованной области может существовать подобласть, принадлежащая всем окружностям семейства. На рис. 27 она заштрихована в клетку.
При попадании конца вектора Х в эту подобласть возбуждение становится возможным вне зависимости от положения поверхности Х вдоль оси трубы. В этом смысле можно говорить о значениях вектора Х, при которых возбуждение особенно вероятно. Положение конца вектора Х' вне заштрихованных областей всегда соответствует устойчивости системы.
Чтобы правильно понимать смысл построенных диаграмм, укажем на одно важное обстоятельство. Каждая окружность — граница устойчивости — строилась для заданных, неизменных значений р, и о,. Но это не означает, что все режимы, соответствующие точкам такой окружности, могут быть фактически реализованы в одной и той же трубе. Действительно, пусть режим колебаний, соответствующий одной из точек некоторой границы устойчи- 157 возвуждение В евшем случАВ 9 191 востн, реализован в трубе с областью теплоподвода, расположенной на расстоянии Ь, от входного конца и Ьз от выходного. Примем, что на концах трубы расположены узлы давления.
Перейдем теперь мысленно в соседнюю точку той же окружности — границы устойчивости. Тогда р, и и, не изменятся, а частота «9 не сможет измениться, так как иначе нарушится краевое условие на входе. (Это видно, например, из формул (4.13) и (4.14).) Таким образом, при переходе в соседн|ою точку границы устойчивости процесс колебаний во входном участке не меняется. Перемещение по окружности границы устойчивости означает в этих условиях только изменение вектора У. Как видно из уравнений (19.6), изменение У нри неиз.
пенных р, и и, неизбежно приводит к изменению р9 и уэ Поскольку размерная частота колебаний одинакова для обеих частей трубы, частота колебаний в горячей части трубы не может измениться. Но тогда функции ~р, и ~рэ для горячей части тоже останутся неизменными и краевое условие па выходном нонце нарушится в силу изменения величин рз н из в плоскости теплоподвода (величины А„и А„в равенствах (4.13)). Чтобы сохранить краевое условие на выходе, необходимо изменить длину Ьэ. Таким образом, двигаясь по окруясности границы устойчивости, приходится мысленно изменять какую-либо характеристику трубы, например длину 19.
Этот странный, на первый взгляд, результат вполне естествен, так как при построении границ устойчивости были использованы только энергетические соображения и краевые условия никак не оговаривались. Если краевые условия заданы, то прп изменении У будут меняться не только р, и эз,но и р„ у, и частота колебаний, а граница устойчивости для подобной труоы Фиксированных размеров будет составляться точками, принадлежащими разным окружностям уже найденного в настоящем параграфе семейства. При этом область неустойчивости окажется внутри заштрихованной части диаграммы на рнс.
27. В заключение следует обратить внимание на внд границ устойчивости рассматриваемого типа в тех случаях, когда 158 РАСЧЕТНАЯ ИДЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ГОРЕНИЯ ~гл. Гу плоскость Х находится точно в узлах скорости или давления. Следует, правда, оговориться, что термин «точно» имеет смысл лишь для элементарных процессов, так как в общем случае возмущение давления или скорости прн Рис. 28. Диаграииы устойчивости при положении плоскости теплопсдзода Х а узле скорости и узле давления. пересечении области теплоподвода О не остается неизменным. Если условиться считать положением плоскости Х в узле совпадение ее с сечением, где р,= 0 или и,= О, то соответствующие границы устойчивости займут, согласно формул (19.13), положения, указанные на рис.
28. Слева дана диаграмма для положения Х в узле скорости, а справа — в узле давления. й 20. Диаграммы границ устойчивости для типичных случаев Настоящий параграф посвящен рассмотрению диаграмм устойчивости для некоторых типичных случаев. Основной задачей будет анализ изменения конфигурации границ устойчивости в зависимости от особенностей процесса теплоподвода в зоне а. Однако прежде чем переходить к такому анализу, сделаем одно замечание.
Приведенная на рис. 27 диаграмма является характер- ной для случая возбуждения колебаний теплоподводом 159 201 ТИПИЧНЫЕ ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ о2 + 1ХР2 М82 = 01 + ЛХр1 ™1 2МС,+(1+М') р — Мзгз= = 2МС1-)- (1+ М') р — Мзз -~- М'Р2 ( ЗМ'+ — ) о, + М (М'+ 2 — ) р, — Мззз = (~М2+ — 2) о1+ -(- М (ЛХ'+ 2 — ) р, — М'з, + ф (20.1) (У=(2). Следует отметить интересную особеяность такого случая — начало координат не попадает в заштрнхованную область. Это означает, что для возбуждения системы надо иметь конечное значение вектора ф при ~3, по абсолютному значению меньшем некоторой величины, система вообще никогда не возбудптся. Следует подчеркнуть, что конечность 2,2 не означает необходимости конечного возмущения теплоподвода в начальный момент времени.
Дело в том, что прн построении диаграмм типа приведенных на рис. 26 и 27, значение суммы Р',+р, 'условно принимается равным единице, подобно тому, как это делалось при построении диаграмм устойчивости для элементарных процессов. Следовательно, в общем случае, говоря о величине У, следует понимать, что речь идет о соотношении между величиной х н величиной, принятой за единицу. В начальный момент, когда истинная амплитуда возмущения давления (условная единица) мала, тот же порядок малости имеет, очевидно, и ф Рассмотрим теперь несколько частных случаев диаграмм устойчивости.
Построенная на рис. 27 диаграьы|а соответствует возбуждению колебаний при У1 = У2 =- Уз = О, т. е. за счет одного лишь возмущения теплоподвода ф Она построена для самого общего случая. Предположим, что в установившемся движении подогрев газа при пересечении им поверхности 2 пренебрежимо мал, так что в уравнениях (15.7) можно положить М, = ЛХ, = М иа1 = а,; это соответствует в первом приближении возбуждению звука в трубе Рийке. Тогда систему (15.7) можно записать в следующем виде: 160 РАсчетнАя идеализация пвоцессов говения 1гл.
1у где для трубы Рийке ~ = 2Мз~', (20.2) Полная симметрия левых и правых частей уравнений (20.1) (с точностью до слагаемого ~ и прп Р, =0) делает исключение переменных чрезвычайно простым. Несложные алгебраические выкладки позволяют получнтэи н — 1 э+ 2(1 — Мэ) н' н — 1 Рл =Рэ М 2(1,у~) (3' (20.3) 2 Рл= Рэ (20.4) Теперь в уравнении (19.8) в нуль обращается А, С, Р и Е, а уравнение окружности (19.10) вырождается в прямую У„= О, т.
е. границей устойчивости становится ось У вне зависимости от Р, и вм Этот вид диагРаммы границ устойчивости показан на рис, 29, в. Очевидно, Сравнивая полученные равенства с равенствами (19.6), видим, что а,, = а„= О, а это приводит в уравнении (19.8) к Й=Е=О. Но равенство нулю П и Е указывает, что окружность, определяемая уравнением (19.10), всегда проходит через начало координат. Таким образом, при малом подогреве в области о все окружности, являющиеся границами устойчивости, пересекаются в одной точке, и эта точка является началом координат. Соответствующее построение приведено на рис. 29, б, причем для полноты картины рядом (рис. 29, а) приведено такое же построение для случая конечного подогрева (М, ( М,), аналогичное диаграмме на рнс.
27. Сравнение диаграмм а и б указывает, что при малом подогреве система становится менее устойчивой в том смысле, что возбуждение ее возможно сколь угодно малыми относительными возмущениями тсплоподвода ф*. Рассмотрим, наконец, третий случай из этой серии. Пусть М, =М, = О, т. е. в основном движении газ недодвижен. Тогда уравнения (20.3) дают 5 203 тнпнчныейгганицы устоичивостн 161 последний случай являотся ' случаем рэлея, поскольку система возбуждается, если фазовый сдвиг между возмущенной составляющей теплоподвода Д и периодической составляющей давления р, менее †.
Этот результат монтно 2 ' было преднидоть, поскольку второе равенство (20.4) указывает на реализаци|о в рассматрпваелюм случае первого элементарного процесса. а/ Л в/ Рнс, 29. Влияние скорости течения на конфигурацию границ устойчивости. Если сравнить трп типа диаграмм устойчивости, приведенных па рис. 29, то, рассматривая пх в обратном порядке, можно видеть, как усложняются условия возбуждения сначала при возникновении течения, а затем при сильном стационарном подогреве.
При этом область, заштрихованная в клетку, все более уменьшается, т. е. наряду со свойствами процесса теплоподвода все ббльшую роль начинает играть и положение плоскости Х относительно стоячей волны, образовавшейся и трубе. Путем построения аналогичных диаграмм устойчивости для того типа теплоподвода, при котором фронт пламени свободно колеблется вместе с течением, моя<но показать, что при подвижном фронте теплоподвода колебательная система в известном смысле более склонна к возбуждению. Обратимся с этой целью к системе уравнений (16.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
