Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(или, в более короткой записи, прямыми а„=О, а„=О, а„=О и аа,=О). Диаграммы устойчивости для простейших случаев. Располагаясь внутри или на границах найденных полос, границы устойчивости, построенные с учетом краевых условий, могут давать различные конфигурации областей устойчивости. Покажем это для предельных случаев. Пусть длина 1,. пренебрежимо мала, т. е. вся труба занята горячими газами, а горение происходит во входном сечении. Тогда перед зоной горения должно выполняться принятое выше краевое условие р, = О. Это сразу приводит к обращению в нуль второго слагаемого уравнения (24.5), и единственными границами устойчивости (вне зависимости от величины У1) будут прямые ап — — 0 и ам = О. Соответствующая диаграмма устойчивости приведена на рис. 35, а.
Поскольку известно, что начало координат соответствует устойчивому режиму, область неустойчивости (заштрихованная часть диаграммы) находится сразу. На том же рисунке (диаграмма б) для полноты приведен случай, когда краевое условие при 1, = 0 имеет вид в1 = 0 (закрытый конец). Тогда совершенно так же получаем границы в виде равенств а„= 0 и аз, = 0 для всех р,. Другим предельным случаем будет труба с пренебрежимо малой длиной горячей части течения: 1 =О. Найдем границы устойчивости для краевого условия рз=О.
С этой целью перепишем уравнения (23.2) следующим ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЦ РСТОЙЧИВОСТИ (89 образом: — 1 = — ("12оа лмР2)1 Р1 ( и21О2 + 11Р2) (24. 6) где ЛЫ Лта 22 = Л21 Яе и предполагается, что 22 Ф О. Взяв, как и раньше, Рис. Зо. Диаграммы устойчивости для предельных случаев. скалярное произведение равенств (24.6) друг на друга (о и Р считаем векторами), вместо уравнения (24.5) получим: иса21а22+ 222а„а12 = О, (24. 7) 190 ВОЗБУжденне колевАний теплопОДВОДОм 1гв.
ч откуда при р,=О сразу находим границы устойчивости Дла пРоизвольных О,: ам — — 0 и а„=О. СоответствУюЩ~й тип диаграммы устойчивости приведен на рнс. 35, в. В отличие от диаграмм типа а и б, область неустойчивости укладывается здесь не внутрь полос, а полностью охватывает два квадранта всей бесконечной плоскости параметров ~1„, ф,. Так же, как и в предыдущем случае, приведем для полноты диаграмму устойчивости, соответствующую краевому условию О,=О.
Тогда для всех р, границами области устойчивости станут прямые ам=О и а„=О, что даст диаграмму г) на рис. 35. Йак видно из приведенного примера, конфигурация областей устойчивости может в рассматриваемом случае изменяться весьма сильно в зависимости от того, каковы величины р„ О„ р, и О, в плоскости подвода тепла. Такое разнообразие конфигураций связано, в частности, с тем, что границы устойчивости могут уходить в бесконечность.
Если построить аналогичные границы в системе координат, принятой в ~ 19, то случаи р, = 0 и о, = 0 дали бы совершенно однотипные конфигурации областей неустойчивости — окружности. Зти окружности приведены, например, на рнс. 28. Что касается случаев р,=О и О,=О, то в системе координат ~ 19 построение областей неустойчивости не дало бы столь простых границ, Дело в том, что зта система предполагает ориентировку векторов уз, и г, в полои<ительных направлениях осей координат, в то время как положение векторов р, и и, остается произвольным.
Это и ряд дополнительных трудностей делает нецелесообразным подробное рассмотрение границ такого рода. Использование переменных ~1р и Д„ хотя и усложняет конфигурации границ устойчивости, но зато может упростить анализ условий возбуждения, как это будет видно из содержания следующего параграфа. Прежде чем перейти к вопросу о конфигурации границ устойчивости в плоскости параметров ~1р, ~„ при 1, и 1„ одновременно отличных от нуля, укажем еще на одно свойство диаграмм устойчивости, приведенных на рпс. 35, 4 241 ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЦ УСТОЙЧИВОСТИ 191 (С,+Се) еА4'созй4ю+С,+С4=0, (24. 8) (С, + С,) еА1т з1п Ь,ю = О. Очевидно, что собственные частоты будут определяться равенством з4п Ь, ю = 0; не уточняя их, заметим лишь, что при этом созй4ю= -)-1. Так как е"1' может быть лишь положительной величиной, то знак соз )г,ю будет совпадать со знаком отношениЯ вЂ” о С, что позволЯет написать с,+с, 1+ а Воспользуемся связью (23.6) между ффСз и С„ с одной стороны, и амо амо а„и а„, с другой, а также формулами (24.3), чтобы придать последнему равенству вид 1 1 ) (а,',+а(а)+аа40„+а12ОР а1 ~ (а~а — а1,) — аПО„+ аыр (24.9) Положив в (24.9) т=-0 (условие существования границы устойчивости), легко найти с учетом (23.2) и (24.3) уже известные границы устойчивости а„= 0 и а„= О, кроме того, еще ~)р —— -)- со и ф, = -)- со .
Совершенно так же доказывается зто положение и для других типов диаграмм, приведенных на рис. 35. Фор44ула (24.9) дает возможность указать на одно обстоятельство, которое надо всегда иметь в виду. При некоторых комбинациях Д„и ~)„числитель или знаменатель дроби, стоящей под знаком абсолютной величины, может обратиться в нуль. Этому будет соответствовать При ()р — > ~ СО нли ~)„— ~*со декремент затухания (пли ннкремент возрастания) колебаний стремится к нулю. Таким образом, в бесконечности как бы располагается еще одна граница устойчивости. Это можно показать различными способами.
Здесь будет дано доказательство етого утверждения путем анализа характеристического уравнения системы (23.7), что позволит попутно осветить еще один вопрос. Возьмем, для примера, диаграмму устойчивости, приведенную на рис. 35, в. Положив 1,=0, получим Ь,=О и равенства (23.7) примут крайне простой внд: 192 возвнждинии колввлнин твплоподводом 1гл. у т — ++ со или т — е — со. Таким образом, рассуждая формально, можно утверждать, что где-то в плоскости параметров ~, ~е расположены две прямые, которым соответствует бесконечно болыпая устойчивость или оесконечно большая неустойчивость течения.
В действительности это связано с тем, что задача об устойчивости течения рассматривается здесь, как и везде в данной книге, рис. 36. Характерные линии на диаграмме устой- чивости. без учета начальных условий. Но подобный подход справедлив лишь для таких режимов колебаний, для которых можно допустить, что рассматриваемый момент времени достаточно удален от начального и вследствие рассеивания энергии, неизбежного в реальной системе, влияние начальных условий достаточно ослаблено. Этим предположениям могут соответствовать только режимы нейтральных или близких к ним колебаний. Если же в результате решения задачи получены значения т = + ою, то это говорит лишь о том, что необходим учет начальных условий и нелинейных свойств системы.
Получив значе- п~а:тяопннн гении~ астончнвостп 103 ння т = ~ со, можно, по-видимому, утверждать, что в окрестности соответствующих значений ~)„и Я, система становится особешю устойчивой илп осооенно неустойчивой. Если с учетом этой оговорки построить линии т= 0 и т = -ь со в плоскости параметров Яа, ()„ то будет получена совершенно симметричная картйна, изображенная на рнс. 36. Прямые т = + со н т = — со идут под 45' к осям координат, поскольку а,", = а,'а = Ьм.
Точно такие жо рассуждения можно было бы провести н для диаграмм Рпс. 37. Паиененне велнчпны т прн двнженлп вдоль пряапах ЛА' и ВВ' па рпб. ХЕ. а, б и е на рис. 35, получив на ннх линии т = + со и т = — со. Эти линии позволяют составить качественно правильную картину изменения т на всей плоскости параметров. Если, например, считать, что ~)„ остается постоянной величиной, а ф, изменяется (линия АА' на рис.
36), то кривая изменения т будет иметь впд, показанный в верхней части рнс. 37, а если смещаться по некоторой прямой ВВ', то иаменение т в зависимости от положения изображающей точки на линии ВВ' будет иметь вид, показанный в нижней части рис. 37. Границы устойчивости для общего случая. Для построения границы устойчивости в общем случае целесообразно поступать следующим ооразом. !3 н. в. Рат~аевбаа 194 везир!клинив колквяния твплоподводом ггз Коэффициенты ффС, н Сз, входящие в систему (23.7), являются линейными функциями ~„и г,г„. В самом деле, указанные коэффициенты составляются из линейных комбинаций 'азм агз, азг и азм которые, как уже указывалось, равны „=;,+ „Ез., =;,+,В (24.10) Поэтому систему (23.7) можно представить как линейную относительно () н г„г, с коэффициентами, зависящими от т и ег, причем т и ю следует рассматривать в качестве параметров системы.
Неслоясные алгебраические преобразования позволяют написать вместо (23.7) следующую систему: () Рн (т, ег) + Д„Рд (т, аг) = Ргз (т, ю), ~ 02Р21 (т ю) + 02Р22 (т !э) = Рзз (т~ !э) 1 (24. 11) Здесь функции Ргд явля!отея сумками вида аге!"1+ьг! ' соя (!11+ Ьз) аг+ азе"1' соя Ьгег+ азе"22 соя Ьзю+ а„ для первого равенства написанной системы и суммами вида Ьега 43 ! 2 я!в (Ь, + 712) а!+ Ьзег' ягп Ьг э! + Ьзечр я(п Ьз ог Ь, — некоторые постоянные ег, можно, вообще говоря, дена: гг„ о (24.12) где Р„(т, аг) Рз, (т, ег) для второго равенства (аг, коэффициенты) . Фиксируя значения т и находить соответствующие пм 113(т ю) Р23 (т' ег) Р„(, эг) Рзг(т, «г) 12( ' ) Рзз (т' ) Р„(т, ог) Рзз( ы) ' Ргз (2 зг) Р з(т зг) ПОСТРОЕНИИ ГРАНИЦ УСТОйь!ИВОСТИ 195 2)) При А=О система подлежит дополнительному исследованию.
Если при этом одновременно оказывается, что Л„=О (или Ь„=О), то, как известно, уравнения (24.11) являются линейно зависимыми и нх совокупность определяет не точку в плоскости параметров фр, ~р), а прямую. Ниже этот случай будет рассмотрен более по. дробно. Если отвлечься от комбинаций значений (т, ю), для которых Л =О, то каждой точке в плоскости (т,го) будет соответствовать точка в плоскости параметров (~)„, (те). При движении по произвольной кривой в плоскости (т, со) равенства (24,12) дают возможность находить соответствующую кривую в плоскости параметров (Др, Г,)„).
Практически чаще всего приходится рассматривать движение в плоскости (т, ю) по прямым, параллельным осн аь Эти прямые соответствуют режимам колебаний с постояннымн значениями т. Здесь можно, в частности, рассмотреть режим с т=-т, (т, (0), т. е. с постоянным декрементом затухания колебаний; режим т = тз (тз ) 0), т. е. постоянным инкрементом возрастания колебаний, и, наконец, режим т= Π— границу устойчивости. Последний режим представляет обычно наибольший интерес. Поскольку во всех этих случаях т = сопИ, то коэффициенты г')з системы (24.11) становятся для каждоп из соответствующих кривых в плоскости (~)„, )3т) функцией только одного параметра — частоты оь Построив сершо таких кривых для различных т = сопзс и для всех значений частот 0 ( ю ( со на каждой кривой '), можно получить полную н весил|а наглядную картину поведения колебательной системы при любых Др и Построение этих диаграмм является несложной, но достаточно утомительной работой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
