Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Принимая во внимание то, что с увеличением ю в реальных системах заметно возрастают потери, при расчетах следует ограничиваться некоторой разумной величиной ю. Обычно для грубого задания верхней границы о) порядок ожидаемых частот можно оценить достаточно точно. ') Из ураннеиий (23.7) видно, что изменение знака ю не нрилодтгг к нарушению равенств, следовательно, достаточно рассматринать интервал О(ю(со вместо — со( е>(ол. 196 возвгькдвпив колввхпиятвплоподводом ~гэ, ч С,е'ь'сов 21га+ (С, + Сз) еь' соя йго+ С, = О., 1 ' ) (24.13) ягп )га (2Сгезга соя Аа+ еьт (С, + Сз)) = О.
) Найдем границу устойчивости. Для этого исследуем систему (24.13) при с =О. Рассмотригг сначала особый случаи: вгика= О. Значению вгп гга = 0 соответствуют два возможных значения сов гга. Прн сов йа = 1 из первого уравнения (24.13) имеем: С,+Се+С,+С.=О, (24.14) или, в соответствии с формулами (23.6) а21 —.-О, что дает на основании равенств (24.10) прямуго И21 а21' (24.15) Для соя Ьа = — 1 С,— (С,+С,)+С.=О, (24.16) что после аналогичных преобразований приводит к а12 = О, т. е. (24.17) Пусть теперь вгп 11а чь О. Тогда, сокращая на этот множитель второе равенство (24.13), найдем путем исключения соя йа из системы уравнений (24.13), следующее условие существования границы устойчивости: — С,+Сз-о, (24.18) Чтобы дать наглядное представление о такого рода диаграммах, рассмотрим пример построения.
Приведенный ниже пример является достаточно типичным, и в то же время выбран так, что построение линий т = сопвФ оказывается возможным провести без утомительного вычисления координат точек этих кривых. Пусть плоскость теплоподвода Х расположена в сечении трубы, которое определяется равенством 1 2 Тогда система уравнений (23.7) заметно упрощается и принимает следующий внд: ' ы ПОСТРОВНИК !'РАПИЦ УСТОЙЧИВОСТИ 197 и:1П (24.19) ам+а, =О. Воспользовавшись формулами (24.10), напишем уравнение этой прямой в плоскости Я„, (74) а,",4'„4 + а,",(7„+ а„+ а,'4 = О. (24. 20) Здесь надо заметить, что если прямые (24.15) п (24.17) целиком являются границами устойчивости, то относительно полученной прямой (24.20) этого сказать нельзя. Последнее связано с тем, что соз )гю в уравнениях (24.13) не может иметь абсолютной величины, превышающей единицу.
Найдем концы отрезка, лежащего на прямой (24.20) и принадлежащего границе устойчивости системы. Второе равенство (24.13) после сокращения на и!и йю и использования (24.18) принимает следующий вид: (С, + С,) соэ йе1 + (С, —; С,) = О. Прп изменении ю от 0 до сю соз 71ю будет периодически меняться от 1 до — 1. В крайних точках соз 7гю, равному -Р ! Илп — 1, будут соответствовать уравнения С1 т С4+ Сз+ Сз — О, С1 + С,1 (С.
+ Сз) — 0 Сравнивая этн равенства с формулами (24.14) и (24.16), нетрудно видеть, что концы искомого отрезка лежат па прямых (24.15) и (24.17). Следовательно, границами устойчивости в рассматриваемом случае будут две прямые, параллельные осям координат, п наклонный отрезок, лежащий между этими прямыми. Построение границ устойчивости бывает полезно дополнить аналогичным вышеприведенному построением линий постоянных т. Следует лишь учесть, что при т ~ 0 во все формулы вместо С, войдет С1ез"", а вместо С,+С, надо будет писать (Сз+Сз) е"У.
Осуществление этих расчетов совершенно элементарно и здесь излагаться не будет. Легко сообразить, что и в этом случае в рассматриваемом примере линиями постоянных т будут служить прямыо линии. 198 возы н дания колввлнтнт типлоподв~ дом 1та. и Диаграмма границ устойчивости и линий, равных т ьт 1 для сь'=1,1 (т ) 0) и в"т= — (т < 0), построенная по указанной здесь методике, дана на рнс. 38. Построение выполнено для ЛХ, = 0,1, ЛХ, = 0,25. Рис. 38. Х!инни равных т вблизи границы устойчивости. Как видно пз приведенной диаграммы, распределенно областей устойчивости (т < 0) и неустойчивости (т ) 0) напоминает распределение их на рис. 35, в и г.
Диаграмма 38 указывает на одно существенное обстоятельство, которое всегда следует иметь н виду. Линии равных т (на рнс. 38 три группы линий, условно помеченные т < О, у=О и т > 0) пересекаются в плоскости параметровколебательной системы (~)~, ф). Следовательно, в точке пересечения линий т ) 0 и т < 0 система должна быть одновремеп- ггг постговник гганггц лстоичнвостп йгй но и неустойчивой и устойчивой, в точке пересечения линий о = О н т > О нейтральной и неустойчивой одновременно и т. д. Зтот вывод не содержит в себе неразрешимого противоречия, как это может показаться на первый взгляд.
Дело в том, что пересекагощимся линиям соответствуют разные частоты, а то, что одна гармоника при заданных Д„гг г,гс может быть более устойчивой, а другая менее устодчггвой, почти очевидно. Пример этого приведен, в частности, на рис. 38. Если бы вместо рис. 38 была построена пространственная диаграмма с частотой ю, отложенной по третьей оси, то линни равных т и не пересекались бы, а перекрещивались на разных высотах (при разных ог). Чтобы дать возможность судить о том, каким частотам соответствуют точки на линиях равных декрементов, вдоль этих линий бывает полезным делать разметку частот.
На рис. 38 такая разметка не сделана, однако читатель без труда может восполнить этот пробел, если учтет, что прямая, идущая вдоль оси г,)„, получена для згп йы = О п соз Ьв = — 1; прямая, идущая вдоль осн г',г — для з1п ггга = О н соз ггю =- 1, а группа наклонных прямых— для всех остальных ьь Не следует думать, что для отделения областей устойчивости от областей неустойчивости необходимо, помимо линий т = О, строить еще линии и ) О и т ( О. Такой более ограниченный результат можно получить и проще, воспользовавшись так называемым правилом штриховки. Это правило часто используется в теории автоматического регулирования, где иногда носит название метода лг-разбиенггя пространства ггараметров системы.
Хотя этот метод используется в теории регулирования для характеристического уравнения, имеющего вид полинома, он остается справедливым и для трансцендентных уравнений. Желающим более полно ознакомиться с этим методом, полезно обратиться к специальным руководствам '). Здесь будет дано лишь краткое понятие об этои методе и указаны практические приемы пользования им. гл1ателгатическую основу описываемого ниже правила штриховки можно изложить следующим образом. Уравне- ') См., например, М. А. А й з е р м а н, Лекции по теории автоматического регулирования, Гостехиздат, Москва, г958 200 воэвтндвнпп полив ытпи тшнтоподподом ыа, ния (24.11), которые будут кратко записаны так: В(Еп, Е„т, )=-О ) 1(е'),, Гт,, т, ы) —.-О, ) можно рассматривать в качестне уравнений преобразований некоторой области в плоскости (т, ю) в область в плоскобтзт (~)„, б)„,) и обратно.
Слева на рнс. 39 дана плоскость (т, оз). Каждой точке этой плоскости соответствует вполне Рпе. 39. Отображение плаекостн (т, и) па плоекость параметров (Ор, Оа). определенное состояние колебательной системы (точнее, определенная частота н темп возрастания илп убывания колебаний). Справа дана плоскость параметров системы ф„, е)т), каждая точка которой определяет некоторый процесс в зоне теплоподзода. Пусть система (24.21) имеет некоторое решение, например, при Д =е,р н ()„=ь)„возникают колебания с т=-тл и оз=- ета. Первой паре чисел соотнетствует точка Л ' на плоскости (~)~, ()т), второй паре — точка А на плоскости (т, от).
Можно поэтому говорить, что точка А ' соответствует точке А и наоборот, Если непрерывно изменять т и оз, двигаясь, например, вдоль кривой АВ на плоскости (т, ев), то соответствующая точка в плоскости (Д„, е',),,) будет тоже смещаться, двигаясь по некоторой кривой А 'В', Это позволяет утверждать, что кривая А 'Л' является отображением кривой АВ. В курсах математического анализа доказывается теорема, согласно которой однозначное выражение () и (7,. как функций от т и ы возможно только !яя т!е!и!!!я !!' !!!!!!! ', ! '!о!!'!!!жя"!!! 201 нрн условии, что функциональный определитель дл зг! зОр зОе д! д! Ол 'Е.
(24. 22) отличен от нуля. При этом оказывается, что знак определителя (24.22) играет важную роль. Пусть, поьщмо кривой АВ, в малой окрестности точки А в плоскости (т, ш) дан еще отрезок А С, который лежит справа от кривой А В, если двигаться от А к В. Отрезку АС в плоскости (~„, Дс) соответствует отрезок 1'С'. Если Л ) О, то преобразование (24.21) обладает тем свойством, что отрезок А 'С' будет лежать тоже справа от А 'В' (движение от А ' к В').
Если же Л < О, то преобразование (24.21) изменит положение точка С' и она будет ориентирована противоположным С образом: если С лежит справа от АВ, то С' будет лежать слева от А'В'. Этим свойством преобразования (24.21) можно воспользоваться следующим образом. Выберем в качестве кривой, пзображенне которой в плоскости ((!р, (!е) ищется, ось ордннат в плоскости (т, ю). При движении от точки Р к точке Е в плоскости ((1„, !тс) будет получен отрезок кривой Р'Е'.
Пусть, для определенности, для всех рассматриваемых значений ш Л ) О. Тогда можно провести такое рассуждение. На лннпп РЕ система нейтральна (т.— --.0), следовательно, линия Р'Е' является границей устойчивости в плоскости параметров ф„, (!т). Справа от линии РЕ лежит область т ) 0 (неустойчивость) . Следовательно, справа от Р'Е' будет лежать область параметров Др, (),, при которых колебательная система будет неустойчивой. Если бы было Л < О, то область неустойчивости лежала бы слева от Р'Е'. Приведенные здесь соображения позволяют сформулировать такое правило штриховки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
