Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Важнейший вывод, который следует из уравнения (27.3), сводится к тому, что при должном изменении ЬЕ плн ЬЛ можно получить любую наперед заданную частоту (этот факт оыл уже использован в $24 для построения границ устойчивости, где определялось изменение ~7„и <',»,. прп непрерывном изменении <э). В отличие от обычных задач акустики частота колеоанпй определяется здесь не только свойствамп колебл<ощего< я газа и размерами трубы, по и характером процесса теплоподвода на к. Поэтому такие понятия как «основной тон колебаний» нли «обертоны» следует употреблять с осторожностью. Эти привычные понятия име<от смысл для наперед заданных фиксированных значений ЬЕ и ЬХ. Действительно, например, при ЬЕ=ЬХ==О из всех частот, приведенных па рис. 46, могут реализоваться только частоты, соответствующие точкам А и Ь'.
Частота <» — 4,82 (точка А) моя<ет рассматриваться как первая гармоника, частота «» =-7,05 (точка В) ка«вторая и т. д. (другпе гармоники на рис. 46 не приведены). При дру>о»< характере процесса на т, например ЬЕ = ЬЕ„те же гармоники будут соответствовать точкам А' и Л'. При непрерывном изменении ЬЕ возможен непрерывный переход от первой гаряюники ко второй. Здесь рассматривались элементарные случаи возбуждения колебаний, при которых ЬЕ пли ЬХ равно нулин Однако полученные выводы не из»<еня<отся и в общем случае, когда между ЬЕ и ЬХ существуют произвольные соотношения.
В этом легко убедиться на основании анализа уравнения (27.3). 4 28. Ступенчатое изменение частот колебаний с изменением положения зоны горения Экспериментаторам хорошо известно о существовании связи между положением зоны горения (длиной «горячей» части трубы) и частотами колебаний. Известно, например, что при распространении пламени в трубе, заполненной горючей смесью, возбуждаемые пламенем частоты скачко- зз~ стхпвпчлток изикнкнпк частот колвваиип 221 образно меняются по мере перемещения фронта пламени вдоль трубы. Это свойство легко поддается анализу на основе характеристического уравнения рассматриваемой задачи.
Замечательным является при этом то обстоятельство, что подобное скачкообразное изменение частот никак не связано с конкретным видом процесса горения; оно можст не наблюдаться лишь тогда, когда механизм возбуждения является функцией положения зоны горения вдоль оси трубы нлп функцией частоты колебаний. Рассмот1пьм зто явление более подробно. В качестве краевых условий выберем узлы давления илп скорости в сечениях $=$, слева от поверхности подвода топча и $=$е справа от пее.
Таким ооразом, р=0 или ~=0 прп $=$, и ~=5,. (28.1) При использовании краевых условий вида (28.1) можно в решении не учитывать волн энтропии, и, если дополнительно условиться, что г, = 0 и формулы связи между о„р, и о„ре па Е ие содержат ни комплексной частоты колебаний р, ни расположения плоскости Х по оси трубы, то величины $ и р будут входить в характеристическое уравнение только через функции ~р, и ф,. Ирп этих предположениях два краевых условия (28.1) дадут два уравнения, связывающие, например, р, и о, в плоскости Х 1подобно тому как это получилось в 1 23 прн составлении характеристического уравнения (23.4)], причем множители прп р, и о, будут линейными функциями ~э, и ~рм Это даст в конечном итоге характеристическое уравнение вида р (з)+,.т,(з,) з р,6)+и" рз(з) = О, (28.2) ~ "зЛ~ Кз) + "зЮз Яз) ам% 6з) + о~Аз (Сз) где вещественные коэффициенты аы будут фуякциямп свойств поверхности Х. Вещественность коэффициентов предполагает запись условий на Х по типу формул 4 23.
Коли учесть, что функции ~р, и 7з линейно зависят от двух выражений, содержащих $ н р (4.14) ех ~~ ех Мь~ р~ — И 222 возвюкдкник колвванин тзплоподводом 1еа. и то, вынося за знак определителя в первой строчке величину ехр , а во второи — величину ехр( Ы Г вЂ” рда ~ М,+1' а+ п сократив на них, получим характеристическое уравнение, зависящее от выраясенпй -2йтЬ, 2М, ехр 1 ате. ' ехр а ц 1 $ Бак известно, величины рт и ра связаны соотношением (22.5), а если начало отсчета с совместить с Х (рис.
22), то з, и э, удовлетворяют равенству $2-1! =) С учетом сказанного характеристическому уравнению (28.2) может быть придан следующий вид: Здесь Р— целая рациональная функция второй степени с вещественными коэффициентами. Проанализируем решение этого уравнения. Оно дает изменение ~, в функции относительной длины «горячего» участка з„которую будем ниже обозначать 1„при заданных неизменных краевых условиях вида (28.() и условиях на Х указанного выше типа. Пусть по мере увеличения 1, величина декремента затухания колебаний т будет увеличиваться, переходя через нуль. Это будет соответствовать переходу от устойчивости (т ( О) к неустойчивости (т ) О).
На границе устойчивости т = 0 и р = (в '). Выберем пару значений 1, и ат, соответствующих границе устойчивости, и обозначим их 1,"' и ет'и. Имея эти две величины, легко определить все множество значений пар чисел 1„ю, соответствующих всем гармоникам системы в момент перехода через границу устойчивости прп увеличении 1,. ') Индекс аединида» у <о далее опускается. 1зв1 сттпвнчлтов измвнвнвв члгтот колввлнпи 223 Действительно, прн р = и» равенство (28.3) становится равенством, связывающим тригонометрические величины 2зз (1 — 1з) .. 2оз (1 — !з) К [соз,' +(в1п 1 2и! 2Ы О (28.4) По условию оно удовлетворяется прн 1, = 1о' и ез = во'. Но тогда оно будет удовлетворяться так же при всех значениях ез и („для которых справедливы равенства; 2вз (1 — 1,) 2К 2зз'и (1 — 1зо) М2 = " + 1 Мз — 2Л з — 2Кп з л(1 — Мз) ~ л(1 — Мз) (28.5) Может оказаться, что величины ез'з'(зо и езо' велики, и для отыскания всех возможных комбинаций 0 <! < 1 и аз ) О, соответствующих границам устойчивости, окажется необходимым брать отрицательные значения целых чисел Л! и К.
Чтобы избежать этого, и иметь в дальнейшем лишь положительные или равные нулзо Л! п К, можно Здесь К и Лз — любые целые числа, ограниченные естественными условиями ез ) 0 и 0 <1, <1. Следует лишь добавить, что знаки у вторых слагаемых надо брать одинаковыми — либо в обоих случаях плюс, либо в обоих случаях минус. В первом случае в левой части равенства (28.4) сохранится то же комплексное число, что и соответствующее 1.,"' и ез"', во втором появится сопряженное комплексное число. Поскольку в правой части равенства (28.4) стоит нуль, это требует равенства нулю вещественной и мнимой частей числа, стоящего слева. Однако абсолютные величины как вещественной, так и мнимой части сопряженных комплексных чисел совпадают. (Зто обстоятельство п позволяет писать в равенствах (28.5) два знака.) Решив систему (28.5), находим: оз = П 1(1 — Лйзз) К + л (1 — М', ) Л'1 -1- «зо', ~ ип (1 — Мз) Л ~ мзщ(о ~ (28.8) 226 )«юв)ж,)вовк ); лвв !нп))ти),) н дв д в применить такой прием.
Запишем Л и К в виде К= =-К'+ К' и Л)=Х' , 'Л". где числа К', К", Х', Л1"— целые неотрицательные. Тогда формулы (28.6) примут следующий впд: 1о = я ((! — М',) К' -'; и ( ! — М„') Л)'] -)- а)'„", 1„= ' ял (! —.Ц1) 11 ~ 0411!(111 Здесь ю'„" = ыо' — л [( ! — М,-") К" + и ( ! — М1) Х" !, Числа Л" и Х" надо выорать так, чтобы О < а).'," < л ( ! — М',); О «о',1'11",' < лл ( ! — 61„'), тогда К' и Л" не смогут быть отрицательными, так как в противном случае е) и 1, стали бы принимать отрицатель- ные значения, что противоречит условиям, принятым выше.
В дальнешпем будем (кроме мест, оговоренных особо) предполагать, что в формулах (28.6) уже произведены со- ответствующие пересчеты, т. е. о)<!) п ю<!) 1з имеют мп- <1) пимально возможные значения. Иногда определенные та- ким формальным методом величины ю<!) и 1з не имеют фв- 11) зического смысла (е)<!) получается очень близким к нулю, а 1'з') ) !). Этим не следует смущаться, так как подобный результат говорпт лишь о том, что реально зти режимы (соответствующие К=О) наблюдаться не будут. Рассмотрим сначала те решения, которые получаются прп использовании знаков плюс в формулах (28.6). Тогда, задаваясь различными значениями К н Л), мон(но полу- чить все границы устойчивости того л)е типа, что и поход- ная граница устойчивости, соответствующая «)!)) и 1а). 11) Это следует понимать в том смысле, что если, например, с увеличением 1, процесс пз устойчивого стал неустойчи- вым, то и все другие границы устойчивости ю; 1„полу- ченные на основе равенств (28.6), будут соответствовать переходу от устопчпвостп к неустойчивости по мере увели- чения 1, $2«) стУпенчАтОе изменение чАстот колевАнии 225 Использование знаков минус в (28.6) приведет к получению границ устойчивости противоположного по сравнению с исходной границей типа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
