Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Такой задачей является, в частности, нсследование колебательной системы прп полном поглощении энергии падающей акустической волны на одном из концов трубы. Пусть в концевом сечении трубы с координатой (рис. 22) импеданц отверстия известен и равен ап На другом конце трубы с координатой $зпусть происходит полное поглощение энергии подходящих к $, акустических волн. В таком случае краевое условие для конца с координатой $з будет: зз — 1.
Действительно, если перейтп к переменным и, и, то формула (30.5) дает: при г 1 ь-=О. Но тогда пз равенств (30.3) следует, что и= — 0 при иФО. Во второй главе говорплось, что величины и и и представляют собой акустическио импульсы, движущиеся по потоку (и) и против потока (и>). Таким образом, при з,=1 получается, что движущийся по потоку отличный от нуля акустический импульс и при взаимодействии с правым концом (в=З,) дает отраженный импульс ю нулевой интенсивности. Это и говорит о полном поглощении акустической энергии у конца с координатой ~=~,. Подставив г,=1 в характеристическое уравнение (31.4), сразу получаем его частный вид, соответствующий рассматриваемой задаче: ( >- - ',.
") 2 „~ — (ь,+1) (ам — а„+ап — ьип) 1 — М (л,— 1) (ам — а„— ап, ам) 268 ВОЗБУЖДЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ПОТЕРЬ ~гл. УЗ Прк заданном процессе в зоне горения (заданных бЬ' п бХ, т. е., в конечном итоге, прн заданных аы, ам, ам, а,,) правая часть уравнения (33.1) полностью определена. В общем случае вычисления дадут некоторое комплексное число А+Вб Тогда вместо (33.1) можно написать: 2 1 (33.3) Приравнивая вещественные и мнимые части, сразу находим: 21 8А 1 — И, В 1 соз ~ Агс18 — ~ А! (33. 3) Не все частоты ы, даваемые первой формулой (33.3), являются решением.
Очевидно, что из множества частот В! следует выбрать те,для которых величина соэ ~ Агота — ~ имеет тот же знак, что и число А, поскольку величина 2 ехр ( ~, у1,) может быть лишь положительной. „1 М; Относительно полученного здесь решения уместно сделать ряд замечаний. Расстояние 1м на которое удалено от зоны горения сечение, где происходит полное поглощение колебательной энергии, не оказывает никакого влияния на решение. Результат этот понятен, поскольку в сечении З, гасятся все волны, идущие из зоны горения, п отраженных волн не возникает.
Поэтому справа от плоскости подвода тепла 2; существуют лишь волны, бегущие в положительном направлении оси $. С этой точки зрения наличие справа от плоскости 2' сечения с импеданцем з = 1 эквивалентно бесконечной протяженности трубы в положительном направлении. В этой связи может показаться неожиданным существование собственных частот, даваемых первой формулой (33.3). Как известно, стоячие волны, типа описываемых решением (33.3), возникают благодаря наличию последовательности отра- зз) пОлнОе пОГлощениР энеРГии ИА конце ТРувы 269 жений акустических импульсов от обоих концов трубы.
В рассматриваемом случае краевое условие гз=1 эквивалентно полубесконечной трубе, в которой отсутствуют волны, отраженные от правого конца. Стоячие волны все же возникают потому, что вторым краевым условием по сути дела являются условия взаимодействия акустических волн н процессов в зоне теплоподвода. Дело в том, что подходящие к аоне теплоподвода волны не только проходят ее, но частично и отражаются. Кроме того, колеблющийся под действием падазощих волн процесс теплоподвода способен сам порождать акустические волны, распространяющиеся в обе стороны. Эти отраженные и генерированные волны возвращаются к сечению п, таким образом, между левым концом трубы и зоной теплоподвода существуют оба типа волн — как бегущие в положительном, так и бегущие в отрицательном направленни.
Их взаимодействие и приводит к образованию стоячей волны. Этим обстоятельством объясняется также тот факт, что собственные частоты зависят лишь от расстояния 1И значения М„импеданца г, и от свойств плоскости теплоподвода Х. Возникает естественный вопрос: может ли подобная система возбуждаться, т. е. могут ли существовать такие условия на Х, которые дадут у>0? Чтобы ответить на этот вопрос, упростим несколько задачу, предположив, что в сечении $, расположен узел давления или скорости (г,=О нчи г,=со).
Из решения (33.1) видно, что эти два случая отличаются лишь знаком правой части решения. Обращаясь к формулам (33.3), легко заметить, что указанное отличие приведет лишь к изменению частот колебаний, но не может изменить величины у. Поэтому оба случая будут рассматрнваться совместно, причем для определенности будет положено г, = со. Этот выбор краевого условия на левом конце трубы диктуется также тем, что известны опыты, на которые ниже будет сделана ссылка, позволяющие сравнить полученное теоретическое решение с экспериментом. Чтобы найти число А+ВЗ =— а„— а,а+ап — аз1 азз — азз — аи+аз1 270 возвуждкнпк пгн и~личин поткгг ыз. уз обратимся к формулам (32.1). После подстановки значе- ний коэффициентов аьо а„, азп а„получим: т — (и +1) — (и +1) а Л,'В(=— — (у — 1)+(х~ — 1) а Рассмотрим, как это делалось п в предыдущей главе, два элементарных процесса в зоне теплоподвода.
Один из нпх характеризуется условием бЕ = 0 (у, = 0), другой — условием 6Х = 0 (у, = 0). Выпшпем значения числа А+В( для этих случаев: (33.4) — — (и +1) А+В(= — — Ьэ — 1) и Сравнение двух выражений (33.4) показывает, что опи имеют соверщенно одинаковую структуру.
Поэтому результаты, полученные при исследовании одного случая, нетрудно перенести и на другой. Для определенности примем, что у, = О. Положим далее (33.5) уз=а+ И. После несложных преобразований получим: [ / а — — ) — 1+Ьэ ) — 2Ы Л+ ВЬ ( — 1 — — )+Ь Обозначим для сокращения записи ехр( т1,) = с. (33.6) Тогда на основании равенства (33.2) можно составить следующую систему уравнений, связывающую веществен- —" — Ь,+1) Л+ В(=— в — (у, — 1] и (у, =О), (у, =0).
1 331 полг10е поглощеннк энеРГни нА конце тРУБы 271 ные переменные а и 6: а — — ) — 1+ 63 = — 26 с18 1 м, ы(г, ( --.)— 2 — 1 с((а — 1 — — ) +63)= (33.7) получаем искомое соотношение, связывающее а и 6: ( (а — — ) — 1+63 ) — с' ((а — 1 — — "') + 6') +46'=О. (33.8) Уравнение (33.8) является уравнением четвертой степени относительно а и Ь. Поэтому можно ожидать сложного впда кривой, определяемой этим уравнением в координатной плоскости (а, 6).
Внимательный анализ позволяет установить, что уравнению (33.8) можно придать следующпй вид: ~(а — 1 — — ) + 6'~ ( ~ (а+1 — — ) -,'- Ь'Д— — с' ~(а — 1 — — ) +63~ ) =О. Таким образом, уравнение (33.8) распадается на два квадратных, и вместо кривой четвертого порядка в пло- Будем искать линни равных т в комплексной плоскости переменного у, (33.5).
Прн заданных значениях 1, и М, для заданного постоянного т величина с тоже будет заданным числом. Пользуясь системой (33.7), можно найти значения а и 6, являюппгеся вещественной и мнимой частями у для серии заданных у. Фггзггческгг это означает нахождение таких относительных значений ЬХ, при которых возникают колебания с наперед заданным инкрементом илн декрементом т. Входящая в систему (33.7) частота ю является параметром, подлежащим исключению.
Возведя равенства (33.7) в квадрат н воспользовавшись известным тригонометрическим соотношением с183 а+ 1= 1 272 ВОЗВЪЧКДВНИВ ПРИ НАЛИЧИИ ПОтНРЬ [гл. ЧГ скости (а, Ь) получим окружность (а+1 — — ) + Ь' — с' ( (а — 1 — — ) +Ьа~ =О, (33.9) положение и радиус которой зависят от параметра с, и окружность, выродившуюся в точку (1+ — "; О). (33.10) Физический интерес представляет окрунтость (33.9). По определению на границе устойчивости т =О, что на основании равенства (33.6) приводит к с = 1.
Но тогда (33.9) вырождается в уравнение прямой и дает а= —. (33.11) Таким образом, границей устойчивости в рассматриваемом случае является прямая, параллельная мнимой оси ш и идущая на расстоянии — от начала координат. В общем л случае семейство окружностей (33.9) характеризуется тем, что центры окружностей всегда лежат на вещественной оси (в уравнении семейства отсутствуют члены, линейно зависящие от Ь). Дальнейший анализ полученного решения удобнее провести на численном примере. Примем, как и в предыдущем примере, — =0,4.
Задавая значения с=2,5; 1,67; 1,25; 1,0; 0,83 и 0,713 (с ) 1— неустойчивость, с < 1 — устойчивость), получим семейство линий т = сопзь, изображенное на рис. 64. Как видно из этой диаграммы, по мере стремления т к —, со или + со ') (соответственно с — г 0 и сь сс) радиусы окружностей уменыпаются, стремясь к нулю. В пределе, при с — ьО из уравнения (33.9) получаем окружность нулевого радиуса (точку) с координатами ( — 1+ —; 0), а при с — ь со точку (1+ —; 0). Эти точки помечены на рис.
64 буквалаи А и В. в Относительно последней точки следует заметить, что она ') Напомним еще раз, что прп ~ т (-г со решение имеет лишь формальный смысл. Чтобы получить истинную картину поведения системы при параметрах, дающих ) т ) — со, следовало бы решить аадачу с учетом начальных условий и нелинейных свойств системы.
з зз) полков поглощвнив энвггии нл концв тггвы 273 является не только предельным значением линии равного инкремента при т-++ со, но и удовлетворяет всем Рис. 64. Диаграмма устойчивости длн случая полного поглощения акустической анергии на одном конце трубы. остальным значениям т, как зто видно из сравнения координат точки В и (ЗЗЛО). Расположение границ устойчивости на рис. 64 указывает на то, что при 6Х=6К=О (начало координат) система устойчива. Напомним, что при отсутствии потерь на 18 в, в. Раушенбах 274 ВОЗБУжДЕ1П1Е ПРИ НАЛИЧИИ ПОТЕРЬ [ги.
Уг концах п при 6Х=бЕ=О она была нейтральна. Таким образом, наличие потерь, как и следовало ожидать, делает колебательную систему более устойчивой, менее склонной к возбуждению. Определим степень устойчивости системы в этом случае. Воспользовавшись формулами (33.3) и (33.4) и положив у,=у,=О, сразу находим: 1 — И1 21 1 где и'=-О, 1, 2, 3, ...; при этом з,=-О соответствуют четные, а г1 — со — нечетные значения й. Вне зависимости от этих значений хы декремент затухания будет равен: 1 — Л11 и 1п— 2г 1+ и Как видно из полученной формулы, степень устойчивости процесса колебаний зависит главным образом от — "', точнее, от и, так как лг ж 1. Величина п равна отношению скоростей звука в горячем и холодном газе и, следовательно, степень устойчивости процесса в рассматриваемой системе прежде всего зависит от отношения температур горячего и холодного газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
