Прикладная гидрогазодинамика Сергель О.С. (1014106), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Однако, нх аналитическое решение, даже для простейшего случая обтекания плоской стенки при Рг=1, весьма трудоемко. В более сложных случаях дифференциальные уравнения (15.15) ... (15.19) решаются численными методами с использованием ЭВМ. С методами решения дифференциальных уравнений можно познакомиться по следующим источникам [1, !8, 21, 22, 30). Интегральный метод решения задач о пограничном слое. Уравнение Кармана. Определение основных характеристик пограничного слоя т, б, б', ба' существенно упрощается, если перейти от дифференциальных уравнений, справедливых для шобой точки в пределах пограничного слоя, к интегральным уравнениям количества движения и у«угла неразрывности, составленным для конечного участка пограничного Л д л и,~ ( слоЯ.
ПРеимУщества метода состоит ф ) р, «р в его простоте, наглядности н унир. Х[ ~ версальностн: ои обеспечивает получение аналитических зависнмостей, как для ламинарного, так и для л турбулентного пограничных слоев. Недостаток метода состоит в Рис. 1з.о. силы, леаствующне на том, что его использование возможвлемент пограничного слоя ио только в том случае, если из- вестно поле скоростей в пограничном слое. Зтнм полем приходится задаваться иа основании обработки табличных данных решений дифференциальных уравнений илн экспериментальных данных, Поэтому этот метод является приближенным.
Получим интегральное уравнение количества движения для участка двухмерного пограничного слоя при установившемся течении сжимаемой вязкой жидкости вдоль стенки малой кривизны (рнс. 15.5). Направим ось х вдоль поверхности стенки, а ось у — по нормали к ней. Размер выделенного объема по нормали к чертежу примем равным единице. Интегральное уравнение количества движения (4.11) для рассматриваемого случая примет вид ~9вх=- '1 йК'лигЮ вЂ” ~ дК'лии8, (15.
31) Лвмл Зви Пренебрегая массовыми силами, выразим в явном виде проекцию на ось х суммы снл, действующих на контрольную поверхность 4 — 2 — 8 — 4 индексы у давления опущены 4гвх=ро+рз(п а«1 — (р+ггр)(о 1-ио) — хнах, где гг( — длина дуги 2 — 3. Учитывая, что з(п а=г45/гг( и пренебрегая гаро(б, получим Йвх= ~з + ож) сгх. (1) «х Проекция иа ось х секундного количества движения жидкости, втекающей в контрольный объем через участки контрольной поверхности! — 2 н 2 — 8 может быть выражена так ь гь г Б ь (ее„ыь=(е маг .[1еигь-'- (1ц аг)г — (ю гг1= о о о о (2) Последний член уравнения (2) представляет произведение скорости жидкости и втекающей через участок контрольной поверх- (3) ности 2 — 3, на ее секундную массу. Эта масса, при установившемся течении, равна разности масс жидкости вытекающей через участок поверхности 3 — 4 и втекающей через участок / — 2.
Через участок контрольной поверхности д — 4 жидкость выносит приращенное на длине дх секундное количество движения. о го ) о'. лг=)о ~и< — 'Ц~ чг) ~. овмс о о Уравнение (15.31), с учетом (1), (2) и (3), примет вид 8' — '+т = — — '~оиЧр+и„—" ~'Ога4у. (4) ох Нх. "ах, о о Для плоской стенки г/р/ох=О, Ь~ Их=О„получим тв,— — — ~ (Олпн — 0лг) гКУ= — ~ йи (и — и) й'р.
(5) о о Разделив обе части (5) иа йи'„и учитывая (15.6), получим интегральное уравнение количества движения для плоской стенки н несжимаемой жидкости «„,/о,и,',= г/О"/г(х. (15. 32) Опуская преобразования уравнения (4), приведем интегральное уравнение количества движения для сжимаемой вязкой жидкости при градиентных течениях, т.
е. когда г/р/Нх, Ыи„Ях, дй„/Нх отличны от нуля а„иг Лх ан ох и„ох В уравнении К а р и а н а (15.33) по=и„(х) и и„=-п„(х) являются известнымн функциями, так как они всегда могут быть определены из расчета обтекания тела, увеличенного в размерах на 6*=6*(х), потоком идеальной жидкости или найдены из эксперимента. Уравнение Кармана это обычное дифференциальное уравнение, Оно справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного пограничных слоев. Уравнение содержит два неизвестных тж и боо, поэтому для его решения необходимо еще одно независимое уравнение, таким уравнением является закон трения тж=р(он/Од)згДля определения (ди/ду)н необходимо уравнение поля скоростей в пограничном слое.
Уравнение поля скоростей для ламииарного погранично го слоя несжимаемой жидкости на плоской стен ке, как показывают опыты, хорошо аппроксимируется полииомом и=Ао+ Ля+ Лгг)г-(-Лгг)г+ ° - ° 283 (15. 35) 1 Ззз=в ! ( — «1 — — з]з) 11 — — т! + — Нз)з/з)=-0,1396. (15. 36) 2~2 2 /! 2 2 а Напряжение трения на поверхности стенки определимм по закону Ньютон а (!.11) с использованием (15.34) «ц — — !з„~ — ") =р и,— ~ — —" — — ~Я = — и„— "" . (15,37) Толщина пограничного слоя б.
В уравнение (1532) подставим значение б"* из (15.36) и тн нз (15.37) и найдем, что з Зиз= —. Проинтегрировав это выражение в пределах 2 0,132 О„и„ 0 — б и 0 — х получим В=4,641/' —" — =ха з," ониц З 4,64 4,б$ (15. 33) (15. 39) х / йх К Ке„ тн Толщины теплового и диффузионного пограничных слоев на плоской стенке при Т,=сонэ(, Тв= сопз! и при С =сопя!, Сн =сопя(, рассчитываются по формулам 130! где й=и/и„, т)=р/б, а коэффициенты А; находятся из следующих граничных условий: и=О, да/дт1з=О при т1=0; и= — 1, ди/дч=О прн з1=1 Условие дзй/дт1з=0 вытекает из уравнения (15.24) при у=О. Используя эти условия, найдем, что Аз=О; А, =3/2; Аз=О; А,= = — 1/2 и профиль скоростей будет — з 1 и= — Ч -„- Ч' ° (15.
34) 2 Уравнение (15.34) показывает, что поля скоростей ламинарного пограничного слоя подобны в заданных условиях, т. е. сливаются в безразмерных координатах. Расчет параметров ла мин арного пограничного слоя при течении несжимаемой жидкости вдоль плоской стенки. Для расчета т о л щ н н и в ы т е си ения используем формулы (15,5) и (15.34) и найдем з Зз З~~1 ' + .„з~д 0375З 3 ! 2 2 о Т о л щ и н а и о т е р и и и и у л ь с а. Используем (15.6) и (15.34), получим (15.
40) (15. 41) (! 5. 44) ~у(о — к>= — ~~укггх= — ~ —,сух= — — е= 2Сук == ° (15 45) о о Сила трения уг'„с которой жидкость действует на стенку длиной х и >пирниой Ь, определим по аг 4,64 х >УКйекрг и 4,б4 Гкйекргл ври Рг„=Рг=!, бг=бд — 3. В газах механизмы переноса количества движения, тепла и вещества примерна одинаковы в тепловое хаотическое движение молекул. Поэтому, приближенно, часто для газов полагают Ргж =Ргиж1, т=хжу> и толщины всех трех пограничных слоев одинаковыми.
Онн увеличиваются вдоль стенки пропорционально хоо Если Рг=Рг,«'1, т. е. д:=УУ и, та зг=бд >3. Если Рг=Ргл~~1, т. е. т=лу«'и, то бг — — бд«" Ь. Напряжение трения в сечении х пластины определим, используя (15.37), (15.39) и (15.36) та,,га„и.' =0,32351 ] 'Ке,. (15, 42) На практике часто используется коэффициент сопротивления трения Су — — 2ъи рй пи О 6474>(ек. (15. 43) Средненнтегральные значения напряжения трения тито „> и коэффициента сопротивления трения Су„ „> для участка стенки 0 — х необходимы для расчета силы трения, действующеи на стенку. Выиалнив интегрирование (15.42) и (15.43), получим о к к $ > г 0,3285 йх О,О47а„и„ тагго-к>= — ') т>гкпх = ' ~, =2т х х „'О.икх 1 Иек о о уу >гк е Для принятого поля скорости в ламинарном пограиинюи слое (>5.34) ггакк гг акк т, акк — = — О,! 39Ь .= 0,5 — и — е — — 0,5— гГх гтх х О„и„х тига > а аул х ' а„и' х ' у(о-к> алии известной формуле г 0»а К.=ти»1о »1хй=С/1е 1 — хб.
2 (15. 46) Задача 13.3. Нарисуйте схематично зависимости тн =тат»(х) и чя(е»~= тат~а *1(х) и объясните физическую причину наблюдаемого изменения. сравните профили скорости в трубе и в пограничном слое арн ламинарном течения прн ан=ааа» н 3=А'. Задача 13.8. /)ля условий рис. 1.3 определите силу треняя аа участке ламинарного пограничного слоя, если щнрипа пластины 2 и, а йе» „,=Ю". Ответ а» =0,883 Н. Таблица 1Б.У ! Прналеменнее решен»а Тонное раман»е 0,3ТБ Б 0,343 В Толщина вытеснения 3» Толщина потери импульса Бее Толщина пограничного своя Интегральный коэффициент сопротивления трения Саа *1 0,138 в Б =4 84/)/ ае» С/1о-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
