Прикладная гидрогазодинамика Сергель О.С. (1014106), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Задача ! З.2. указать методику расчета параметров потока на внешней границе пограничного слоя при течении газа через сонло Лаваля, имеющего сечения л р Лн(х), Толщина вытеснения задана бе=6*(х). 15.2. ЛАМИНАРНЫЙ, ПЕРЕХОДНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ Течение в пограничном слое на стенке (рис. 15.4) может быть ламннарным, переходным и турбулентным, незавнсиело от режима течения певозмущепного потока. Имеется много общего между течениями в трубе и в пограничном слое на стенке. Если Ке<(сел нр—- = (оисф/(х)нр, то течение во всей трубе ламинарное, если Ке> >Кеа „р — турбулентное (см.
и. 6.1). Если для пограничного слоя яа стенке за характерный размер принять толщину пограничного слоя Ь, соответствующую радиусу трубы Ь=с(/2, а за характерную скорость — скорость внешнего потока и„, соответствующую скорости на оси трубы им=и „, то, как показывают эксперименты, переход ламинарного течения в турбулентное будет также определяться критическим числом Рейиольдса Гче Знр —— б„и„Знр(Р.„=. (2,8...
30) 10'. (1г Как видим, значение критического числа Рейнольдса для пограничного слоя иа плоской пластине и для трубы имеют один и тот же порядок. Разница заключается в том„что вдоль достаточно длинной пластины режим течения в пограничном слое изменяется. На малых расстояниях от передней кромки пластины толщина пограничного слоя мала (Ь~б,р) и в пограничном слое сохраняется устойчивое ламинарное течение с молекулярным механизмом переноса. Прн увеличении толщины ламинарного пограничного слоя до критической величины Ь,р при расстоянии хнр устойчивость ламинариого течения в пограничном слое нарушается и появляется участок переходного течения, где хаотически во времени сменяются ламинарный и турбулентный режимы течения, За переходным уча- стком начинается турбулерее ей- Гурурееюпний с е нин, онер«нинин«и еи,й лситНЫЙ пограничный схой ойнаг, нг с турбулентным механизмом переноса.
Характерным признаком перехода является резкое увеличение толщины пограничного слоя и напряжения трения на стенке. Длина переходного участка не велика и течение на этом участке исследовано недостаточно. Поэтому в расчетах принимают, что Ламинор«н й наерониеныд енвй Ке, =о„и„й, /р„=(!...10) 10з; '«о Ке,*«=й„и з„р/р =(4...40)!Ое. «Р (15. 9) Существенное влияние на переход оказывает степень турбулентности набегающего потока, продольный градиент давления е!р/е!х и различные возмущения. Меньшие значения ме„р относятся к более высокой степени турбулентности набегающего потока и к диффузорным течениям (е(р/Ых>0), большие — к мало турбулнзировацным конфузорным течениям (е/рЯх<0).
!5.3. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ Ламинарный пограничный слой имеет место при йе=р и„З/р «.„ <. Йео„,р т. е. вблизи передних кромок обтекаемых тел (малые х н б), при полетах на больших высотах или при течениях разреженных газов (малые о), при повышенной вязкости жидкости и ирн искусственной ламннаризации пограничного слоя (см. п. !5.6). При этом, однако, число Рейнольдса всегда должно оставаться достаточно большим Йе.'>1 и б/хч: 1. Дифференциальные уравнения пограничного ел оя.
Течение жидкости в пограничном слое описывается системой основных дифференциальных уравнений (см. п. 4.14). Рассмотрим установившееся двухмерное течение сжимаемой вязкой жидкости при отсутствии массовых сил вдоль плоской или слабо иск- 276 ламинарныи пограннчныи слой в сечении х«р сразу переходит в турбулентный. В дальнейшем будет установлена количественная связь между б, бо, б'о и х. Каждый из этих параметров может быть принят за характерный размер пограничного слоя, тогда критические числа Рейнольдса для пограничного слоя на плоской пластине будут ! ! ! Ь ! ! Ке= 1/ь» или ь=ь//= 1/у !1е.
(15. ! 4) 'Таким образом, теория пограничного слоя применима только при больших числах Рейнольдса, когда пограничный слой относительно тонок. При этом уравнение количества движения (2) можно упростить, отбросив д»и/дх» и последний член его, как относительно малые величины. Из уравнения (3) следует, что ду/дуж5, Интегрируя это выражение получаем, что величина разности давлений на стенке и иа внешней границе пограничного слоя /!р-б», т. е. очень мала: давление поперек пограничного слоя не меняется и равно давлению на внешней границе пограничного слоя. Это давление определяется течением без трения и может быть рассчитано по уравнению Эйлера (4.39), поэтому его следует рассматривать как известнук! функцию продольной координаты х, Итак, для пограничного слоя уравнение (15.12) преврашается в уравнение (15.3), т.
е. др/ду=0, которое ранее было получено из качественных соображений. Для дальнейшего важно, что продольные градиенты давления во внешнем потоке и в пограничном слое одинаковы. 27а Под членами уравнений указаны относительные порядки их величин .Поясним их определение. Величины и, р, й, Т, ч, у, Гр, х имеют по определению порядок единицы.
Действительно, при у=О й=О, а при у=ь й=!, следовательно мзксимальнос зна- чение й в пределах пограничного слоя имеет порядок единицы и 1 и ди 1 ид»и — 1, При х==О, х=О; при х=/, х=-1 и дх — ! и дх» — 1. При у=0, у=0; при у=В, у=В//, т. е. у — и/1(,1 и ду — И((! и ду»вЂ” — й// С~ 1. Из уравнения неразрывности следует, что до/ду — 1, так как ди дс ди/дх — 1 и о-1, т. е. 1 — =~ —. — ! — 1 или до — ь и в — д(( д-.~ — Ыг~ ((1, поэтому в пограничном слое до/дх — Ь и д'в/дх' — ь.
Используя полученные результаты, найдем, что ди ! д»и ! ди Ь д»и ! — — — а = — = 1 и= — =,т.е. ду Ч ду» Ь» ду Ь дуг й в пограничном слое д»й/ду» принимает наибольшее значение. В вог- раничном слое силы инерции и силы вязкости имеют одинаковый ди ч ! д»и д»и ! порядок, т. е. и = — — ~=+=!. дх Ке ~дХ ду! Из этого условия и уравнения (2) следует, что Определим порядок постоянных сомножителей уравнения (4) ие — =(к — 1)̄— нс зависит от числа Рейнольдса, принимаем поСиете рядок равный единицы — "-= —" — "= — =зз(це=1/зз для газов Рг-1); )!л те 7и„ т„ и„! Ртйе чили т ен (и !) ~н ез. яе Используем для оценки членов уравнения (4) все полученные выше результаты, перейдем в упрощенных уравнениях (1) ...
(4) к размерным координатам и получим дифференциальные уравнения ламинарного пограничного слоя, которые называются уравнениями Прандтля (1904 г.) и замыкаются уравнением состояния (15. 15)' дл ду и — +о — =-и — — — —; ди ди дзи ! др (15. 16) дх ду дне е дл ду 0.
(15, 17). ду дТ+ дТ дтТ+ и др+ ч (ди ~З д.с ду дуз ОСр дх Ср ! ду р=-о~т. (15. 19)' Кроме того, как уже указывалось, зависимость р р(х) счита-. ется заданной. Граничные условия соответствуют (15.2). При выводах принято, как и ранее, считать постоянными т, т и. Ср. Если учесть их изменение от температуры, то уравнения усложнятся, так как т, т и С„войдут под знаки производных. Задача )5.3.
Опишите физический смысл и рззмериесть ураииеиий ()5.)5).... .. ()5ЛЗ) и кеисиете их члеиа. Уравнение энергии, содержащее температуру торможения получим, умножив уравнение (15.16) на и, сложна с (15.18] и чтя, что у г(т =г)т+г( "', 2С получим Приближенно для газов Рг=~/Х=1 и (15.20) принимает вид: дге дТ" дзТз и — + — =Х вЂ”. (15. 21) дх ду дуз 27м На основании (15.21) и того, что при малых числах М Т'=Т нз уравнения (15.18) можно исключить два последних члена, выража- ющих тепло, выделяющееся от сжатия и трения.
В этом случае тепловой поток между жидкостью и телом определяется разностью термодинамичсских температур газа и стенки и определяется из- вестным из курса физики уравнением Ньютона, Дж/(мх/с) г/=а (҄— Т„,), (!5. 22) где а — коэффициент теплопередачн, Дж/(мхсК). При больших М„и Рг=! уравнение энергии (15.21) имеет та- кой же вид, как н при малых скоростях с той разницей, что оно со- держит температуру торможения, а не термодннамическую темпе- ратуру газа. Отсюда заключаем, что при больших Ми и Рг=1 теп- лообмен определяется разностью между температурой торможения газа и температурой стенки в соответствии с уравнением Ньютона у=< (Т„' Т ), (15. 23) Газ будет передавать тепло в стенку, если Т„~>Ттг, Если при этом Ти<:.Тич то стенка будет нагреваться за счет тепла, выделившего- ся в пограничном слое за счет трения. Дифференциальные уравнения пограничного слоя при параллель ноя обтекании плоской стенки и при Рг=!.
Запишем ~равнение Эйлера (4.39) для ди ! др течения вне пограничного слоя и — +о — =- — — — Учитыдх ду а дх вая, что при у>б п=б, и=-и„=сопз1, приходим к выводу, что при данном течении, как во внешнем потоке, так и в пограничном слое, др/дх=-О и уравнения (15.16) и (15.21) принимают вид ди ди дхи и — +и — =х —; дх ду ду'2 дти дТи дат" и — +и — =-Х вЂ” . (!5. 25) дх ду дух При Рг=! т=к и (15.24) н (15.25) одинаковы относительно и и и Т". Однако, решения их различны вследствие разницы в гранич- ных условиях для искомых и и Т'.
Гидродинамическая теория теплообмена и диффузии. Заменим в (!524) и (1525) под знаками производ- ных размерные и и Т* безразмерными т" — Ти, и=и/и„, Т'.= т'„— т„' получим ди ди д2и и — +о — =х дх ду ду~ (15. 26) (15. 27) ЙЮ дт* дТ" д"Ти и — +и — =-Х вЂ”; дх ду дух Следует заметить, что дифференциальное уравнение диффузии дс дС да С а — + и — =Й вЂ” в этих условиях аналогично уравнению дл дп дуа — с — с~ эясргни (15.25), где 0 — коэффициент диффузии, а С = с,— см безразмерная концентрация избыточного элемента.
Три аналогичных уравнения при Рг чф Ргл=ч(0, т. е. прн т=)(=В н прн одинаковых граничных условиях д=О; т1=у/3=0; и=О; Т=О; С=-0; д=о; т1=1; и=0,99; Т=0,99; С=0,99 имеют совершенно одинаковые решения — .— „— и Т" — Тн С вЂ” Сп нь Т „— Ттг С« — Си (15. 29) о =от=од При малых числах М„Т' ж Т и решение будет Т С и Т вЂ” т С в С у-(~) и х х„ ал, (15. 30) н„҄— Тат ф— Сп При Рг=Ргн=1 при больших М„в пограничном слое на плоской стенке имеет место подобие полей скоростей, температур торможения и концентраций, а прн малых М, — полей скоростей, термодинамических температур я концентраций, Безразмерные поли всех трех параметров й, Т и С в обоих случаях сливаются.
Толщины динамического, теплового и диффузионного пограничных слоев совпадают. Задача 1ЗЛ. Оаъясннть в чем причина оонарун.енного подпоим полей скоростей, температур и концентраций в пограничном слое. Гидродинамическая теория теплообмена н диффузии (15.28) и (15.30) позволяет заменить трудно выполнимые измерение и расчет полей температур и концентраций в пограничном слое более простым — измерением н расчетом полей скоростей, Таким образом, анализ дифференциальных уравнений, даже без их решения, привел к практически важному результату, Уравнения пограничного слоя существенно проще общей системы уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
