Прикладная гидрогазодинамика Сергель О.С. (1014106), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Уравнение (7.1) является линейным дифференциальным уравнением относительно переменной и(у, г), так как из него выбылн все квадратичные члены. Задача 7.1. Проанализируйте подробно исходные условия течения и получите из (3.19) н (4.35) уравнение (7.1). Течение в зазоре между плоскими параллельными бесконечными стеагками (~рис. 71). В этом случае скорость и изменяется только вдоль осн у и уравнение (7.1) принимает вид — = — р. — =сопв1. ар (7. 2) дрт Задача 7.2. Выполните последовательное двойное интегрирование (72). Примените граничное условие прилнпаиия.
у ~й12; и О для определения констант интегрированна и получите решение уравнений Навье — Стокса в виде искомого поля скоростей, представляюпгего параболу и = — — ~ — — рт ) . др гйа 2н ! ~4 (7.3) Определим максималыюе значение скорости при у=0 и = — 1Р, лр (7. 4) йн среднюю скорость в. соответствии с (3.14) а/г 1 г 1, 1 Др)йа ~3 пЛ= — 2 3 — — (! — — и ~йур= сг= Л 3 2й 3 2и ! (4 3 е 1 Лр 2 = — — й'= — и иэх 12н ! 3 (7.
5) гидравлическое сопротивление на длине ! нз (7.5) 12)г!игр ар='Р~ Рт = 24 1,р= йел (7. В) 134 Умножив и разделив (7.6) на 2и.вй, получим 24 ! зиса 24 ! й"гр (7. 7) йи,рй й 2 йеа й 2 н Сравнивая (7.7) с формулой (6.34) Дерен — Вейсбаха находим, что при ламинарном течении, коэффициент сопротивления трения ь,р не является постоянной величиной, а обратно пропорционален чнсйи„й лу Рейнольдса )(се = —, определенному по средней скорости н высоте канала 11: Если ось х совместить с нижней стенкой, а ось у направить вверх, то уравнение поля скоростей примет вид: зр ~лу — уе) (7. 9) Задача тлс укззгггте природу гндрнвличеокого сопротивления в ламинарном течении н его действительную зависимость от н,н, й, й р, р.
Обънсннтс, кнк учн.гывнется этн ззвнсимость н формуле Ларси †Вейсбй !7.34), по которой рзссчитывзетсн зто сопротивление. задача 7.4. получите формулу рзспредслсния ннпряжснин трения по сечению канала. Изобразите поле векторов т=/(у). ,гл —,— ин Т е ч ен и с К у э т т а. Это - (У течение в канале высотой Л между бесконечными параллельными плоскими стенками, одна из которых е движется в своей плоскости с постоянной скоростью ие (рис. 7.2). Условия однозначности этого течения такие же, как у предыдущего, гте лт и поэтому оно описывается уравнением (7.2).
Произ- Рнс. ттх течение Куз тн между двумя изводя двойное интегрирова рнлнельпыни плоскннн стенками. Кривые со знзченннмн р>О соответствуют падению ние (7.2) и используя тра- днвления в ннпрнвленнн движения верхничные условия прилнпания ней стенки, н со значениями р<Π— повы- при у=0 н и=и„прн юспню денления н этом иепрнвленни; крну=й, получим искомое поле внн р=о соответствует 'Рздне"'у дннле- ния, равному нулю скоростей и=ив + — — ~ у ! ар гну — уз'1 у йз дру г ут ) =и„— + — — (! — — ~, (7. 10) Й и Г ~ 2,) й 2в Га (, й/ Проанализируем изображенные на рис. 7.2 поля скоростей, даваемые уравнением (7.10) для различных значений гзр/й Течение чистого сдвига или простое течение К у э т т а. Это течение обусловлено прилипанием жидкости к подвижной н неподвижной стенкам н трением между ее слоями при етр/сгх=0, Поле око~растей линейно в соответствии,с первым членом правой части (7.! О) и=и,д/й.
(7. 1 1) Напряжение трения ~в сечениях канала постоянно т = )зс(и/ду = рис/й. (7. 12) Чем меньше расстояние между пластинами, тем больше т. Гребцам хорошо известно резкое увеличение сопротивления лодки при переходе с глубокого места на мелкое. Течение при неподвижных пластин ах но=0. Тече- ние обусловлено только градиентом давления Ьр/1=сопи!. Поле скоростей .оответствует,второму члену (7.10) и уравнению (7.9) уже иоследовэнного течения н является параболическим (см р.ис. 7.1) .
Течение Куэтта прн иечьО и Лр~(чьО описывается уравнением (7.10) н представляет собой наложение течения простого сдвига н течения при Ыр/с(х~О в канале. Возможность применения метода наложении полей объясняется линейностью уравнения (7.2). Вид результирующего поля скорости определяется безразчерным прадиеитом давления Так как у н х имеют, как положительное, так н отрицательное значения, то граничными условиями будут м=О прн «= ч !с', где « — текущий радиус, а 77 — радиус трубы; кроме того с(и/г!«=О при «=О. Решением уравнения (7.13) является поле скоростей в поперечном сечении трубы 1 ЛР а т ! ЛР / «т! и= — — Яэ — «') = — — «гт(1 — — ~, * '=4м ! (, дч~' (7. 14) представляющее параболу в осевом сечении и параболоид враще- 136 При р>0, т.
е. при уменьшении давления в направлении движения верхней стенки, скорость положительна по всей ширине канала к равна сумме скоростей, составляющих течений. При р<0, т. е. прн возрастании давления в направлении движения стенки, скорости этих независимых течений направлены в разные стороны н вычи- таются.
Поэтому в части поперечного сечения возможны отрица- тельные скорости, т, е. возвратное течение. Теория Куэтта используется в теории смазки (см. п. 7.3). Задача ?,5. Определять прн каком аначсннн р ееэннкает аппаратное теченне. Огнет ) — р1>1, Задача 7.6. В теченнс Куэтта ие=.!,5 м/с, й=з мм, раскол масла !)=-бт р =2 ° !Π†' Н с/мэ.
Определять градиент давления н построить поля скоростей. слагаемых течений н рсаультнрующего. Ответ: г!р(ах=2 10' Н(мэ, Течение Пуазейля — Г а ген а. Это пространственное осеп симметричное течение в прямолинейной трубе с круглым попереч- ным сечением. Жидкость движется под действием перепада давле- ния зр/Ых=сопз(<0. Поскольку скорость вдоль оси х нс изменя- ется (с!и,'с(х=О), то силы давления уравновешиваются противопо- ложно направленными силами трения. Силы инерции отсутствуют и движение описывает уравнение (7.1).
Симметрия течения поэводаи дти лает сделать вывод о равноценности производных — и — и„ арп а заменив д и х на «, записать уравнение (7.1) в следующем виде даи ! ар (7. 13) й«т и ния в пространстве. Скорость имеет максимальное значение на оси трубы при г=0 изин утт 1 зр (7. 15) 1 Объемный расход жидкости через сечение трубы равен объему параболоида вращения (7.14), т. е. половине произведения площади основания на высоту, т. е. на и „: иггг нг;Ч ар 32Н1нрр 128р111 Я вЂ” — — и„= — ' —; Ьр= ' = .
(7. 16) 2 Ви 1 аг лоч Формула (7.16) выражает закон Луазейля — Гогена н используется для расчетов трубопроводов, при экспериментальном определении расхода жидкости по измерению скорости на осн трубы н прн экспериментальном определении вязкости жидкости р.. Средняя скорость течения по определению <2 др (7. 17) Вн1 Заменив Гтз=й/2, после несложных преобразований получим нч (7.17) формулу для расчета потерь на трение 64 1 Онср 64 1 Енса йртр исра И 2 йе и 2 Ю Сопоставлеаие (7.18) с формулой Дарси — Вейсбаха (6.34) показывает, что при ламина~рвом течении ьтр обратно пропорционален днсра числу Рейнольдса 1(ел =— 84 (7.
19) йел Равенство (7.19) выражает закон сопротивления для круглой тРУбы аРи ламинаРном сечении, Зависимость Ьтв=1(йе) пРеДставлена на рис. 8.3. Напряжение трения определяется по закону Ньютона т= — р — = — г (7. 20) зги 21 и распределено линейно по радиусу трубы. Знак минус учитывает уменьшение скорости с увеличением и Задача 7.7. При ламинарном течении в трубе расход жидкости увеличили в три раза за счет; увеличении средней скорости; увеличения диаметра трубы нри неизменной н,р.
Определить изменение потерь на трение. Ответ: арйарр=у; Арз1арр=118. Вопрос 7.8. В чем физическая причина увеличения потерь в нервом и уменьзиенне во втором случаях задачи 17.7)? 24 Вопрос 7.9. Почему при течении между стенками с,р=- —, а прн течейеа 64 ННИ В трубЕ Стр= — 7 йег 137 Рис. 7.З. Формирование иарааоли чесиого профиля скоростей („,„/Ы =0,029 Йеи (7. 21) и при Кеи=2300 (ива=66,5 с(, Падение давления на начальном участке больше, чем на участке такой же длины при стабилизированном ламина~рнии течении и рассчнтьивается по скорректированной формуле Дарси — Вейсбаха Точные решения уравнения Навье — Стокса хороню подтверждаются в экспериментах (см. рис. 8.3).
Формула Дарси — Вейсбахв ! яиси фч „=Г,„— — остается расчетной для ламинарных течении, 2 но не выражает в явном виде истияной зависимости потерь на трение от а, с(, р„й, так как для ламнпариого течения ь,р не константа, а зависит от этих параметров (см. формулы (7.8) и (7.!9)!. В действительности, в соответствии с законом Пуазейля, потери на трение при ламинарном течении «,сс пропорциональны первой степени средней скорости, вязкости жидко(в сти и длине канала и обратно пра- пора(иона. льны квадрату диаметра 1б трубы или квадрату вьгсоты канала !» «е и не зависят от плотности, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
