Прикладная гидрогазодинамика Сергель О.С. (1014106), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Подставляя в (5.5) значения констант подобия, найдем, что безразмерное выражение — — з — = 1пч (5. 6) э| ~4 ьэ ьэ сохраняет неизменное (инвариантное) значение для всех фигур, подобных изображенным на рис. 5.1, и называется ииварииптом нли критерием подобия. Следовательно, критерием подобия называется безразмерный комплекс параметров, характеризующих данное авление. Условия подобия гидрогазодннамических процессов гораздо сложнее разобранного элементарного геометрического подобия.
Поэтому критерии гндродинамического подобия являются более сложными безразмсрными комплексами, состоящими обычно нз большего числа размерных параметров, характеризующих эти процессы. 5.2. ТРИ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ Зги теоремы обобщают все сказанное выщс и лежат в основе практического применения теории подооия. Теорема 1. Для подобных процессов индикаторы подобия равны единице, а одноименные критерии подобия одинаковы.
Теорема позволяет установить связь между константами подобия и определить критерии подобия с помощью подобного преобразования уравнений, описывающих подобные процессы. Теорем а 11. Решение любого дифференциального уравнения можно представить в виде обобщенного критериальиого уравнения, устанавливающего связь между критериямн подобия, яолучениыми иа основании теоремы 1 или другим способом: К,= г(К„К,..... К„). (5. 7) Вид функции 1 и значения некоторых констант, входящих в нее, определяются при помощи единичного эксперимента.
Теор ем а ПЕ Для подобна физических процессов необходимо и достаточно подобие условий однозначности н равенство одноименных определякнцих независимых критериев подобия. При этом равенство определяемых критериев подобия обеспечивается автоматически, Определяюи(ими критериями подобия Км Кэ ...
К„называются безразмерные комплексы, составленные иэ параметров, входящих в условня. однозначности. Определяемым критерием подобия к~ называется безразмерный комплекс, включающий определяемый в задаче параметр, Теорема П1 определяет правила проведения единичного эксперимента и обработки его результатов для того, чтобы их можно было распространить на все подобные процессы; а) при единичном эксперименте необходимо выдерживать одноименные определяющие критерии подобия такими же, как иа натуре: б) при эксперименте необходимо .измерять все параметры, входящие в критерии подобия; в) результаты эксперимента необходимо представить в безразмерном критериальном виде.
Теория подобия и единичный эксперимент дают возможность решить задачу для всей группы подобных процессов. Критерии подобия разделяются на: а) тсритерии еидродиналеическоео подобия, получаемые на основании анализа дифференциального уравнения Навье †Сток; б) критерии теплового подобия. получаемые на основании анализа уравнения энергии. 5.3, КРИТЕРИИ ГИДРОДИИАйаИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ На основании первой теоремы подобия получим индикаторы подобия н определяющие критерии гидродинамического подобия. Для этого запишем дифференциальные уравнения Навье — Стокса (4.35) одномерного течения " для натурного (индексы 1) и подобного ему модельного (индексы 2) течений. Полагая, что массовые силы это силы тяжести, т.
е. что Х!=Ха=а, получим ди1 ~ ди1 ! др1 дти1, ! дти1 — +и, — =ту — — — +т, — + — и,—,," (5. 8) дт! ' дх! й~ дх1 ' дх~~ 3 дхт — +и, — =е — — — +тя —,+ — та дит дия ! дря дтит ! Фит (5. 9) дуа дха ат дха дхт ' 3 дх" Оба течения подобны, поэтому, производя преобразования подобия (5.!), (5.2), (5.3),и подставляя значения параметров с индексом 2 в уравнение (5.9), получим уравнение движения, описывающее модельное течение в параметрах натурного: Си сЬ! Спт ди1 Сл ! др! С Са 4 дтя~ —" — + — и,— =С д — — — — + — ", Ст дт! Ст дх! С Ст а~ дх! С!~ 3 дхт (5.
!()) Уравнения (5.8) и (5.!О) справедливы лишь в том случае, если все безразмерные сомножители членов уравнения (5.!О) равны друг другу, т. е. могут быть сокращены. Таким образом, условие гидро- динамического подобия течений принимает внд (5. 11) ' При такой соираитеююй записи в уравнении сохраняются все членм, выражающие действующие в жидкости силы. Это и обеспечивает получение всех критериев гндролинаиичесиото подобия. !04 Выражение (5.11) устанавливает связь между константами подобия и указывает на подобие полей всех сил, действующих в подобных течениях, Действительно, уравнения (5.9) н (5.10) тождсст- С„даЕ ди2 веииы, т. е. почленио равны, например — — = —, следоваС~ дг1 дг~ тельно: С„/С, = (диз/д(з)/(ди,/дг,) — есть отношение локальных сил инерции модельного и натуриого течений, С„з/Се — отношение конвектиаиых снл инерции; Са — отношение массовых сил; С /СчСе— отношсние сил давления; фф/СР— отношение сил, обусловленных вязкостью и сжимаемостью модельного и натурного течений.
Итак, в подобных потоках отношения одноименных сил одинаковы. Для получения индикаторов и критериев подобия все члены (5.11) сравниваются со вторым членом С з/Сн С„/С,=С~/Се и индикатор подобия Се/(С,С„)=1; С =С,",/С, ., „С„/(С,С )=1; С '(С,С,)=С„'/С,, „„С,/(С,С.')=1; С,С„/С,'=С.'/С, „„„С,С„/С„=1. Подставляя в индикаторы подобна значения констант нз (5,1), (5.2), (5.3) и учитывая произвольность выбора процессов Е и 2, получим следующие определяющие критерии гидродииамического подобия. Критерий Стр уха ля илн временной однородности (гомохронностн) У'3 Рг=— ае (5, 13) характеризует отношение конвективных сил инерции к силам тяжести в потоке и является определяющим, если силы тяжести оказываютсуществепное влияние на движение жидкости.
При движении жидкости в горизонтальной плоскости и при движении газов с небольшим изменением высоты этн силы пренебрежимо малы н критерий Фруда выбывает нз определяющих. Если движение жидко- ЯЬ=//(% Е)=/п/%, (5 12) 'где Š— характерный размер обтекаемого тела, канала, путь, проходимый частицей за единицу времени; В' — характерная скорость течения жидкости; Š— характерное время процесса или,время периода явления, происходящего с частотой а=1/Е. Критерий БЬ характеризует отноцеение локальной составляющей силы .инерции к конвектнвной составляющей силы инерции. Его можно рассматривать как отношение ха~рактерного времени движения частиц жидкости 1/)Р' к характерному времени Е нестационарного или периодического процесса. Критерий Струхаля выбывает из числа определяющих при исследовании установившегося течения.
Критерий Ф руда сти возникает вследствие свободной конвекции в среде переменной плотности, то в уравнения Навье — Стокса необходимо добавить силу Архимеда (2.14). В этом случае вместо критерия Фруда в число ппопределяющих вводится к р и т е р и й Г р а с г о ф ф а Сг =йт/зЗЯ')тз, (5. 14) где р = — — коэффициент объемного расширения жидкости; оо — и поит ое и о — плотность холодных и напретых частиц среды; АТ вЂ” разность температур, вызывающая свободную конвскцию, например /ьт = ттт — т Критерий Грасгоффа выражает отношение сил Архимеда, вызывающих конвекцию, к силам вязкости, препятствующих ей. Критерий Эйлера Еп=— Р оптт (5.
15) (5. 16) характеризует отношение сил инерций к силам вязкости в потоке. Итак, все .критерии гидродннамического подобия являются мерой отношений определенных сил, действующих в потоках. Равенство одноименных критериев в подобных течениях означает, по отношения соответственных сил в этих течениях одинаковы.
Задача вд. Докажите, что уравнение неразрывности (3.!6) нри преобразовании подобии дает только критерий Струнили. Аэродинамические коэффициенты — это безразмерные комплексы, содержащие искомые величины и поэтому являющиеся определяемыми критериями подобия.
1. Коэффициент лобового сопроти,вления р» е„п„ 2 3 (5. 17) характеризует отнотпенне сил гндродннамического давления и сил инерции в потоке. В газовой динамике критерий Эйлера представляют с помощью выражений для скорости звука ае=кр/о н числа Маха М=)е'/а в следуюгцем виде Еи=!/(кМт). Следовательно, в газовой динамике вместо критерия Эйлера использу|отся два других критерия: число Пуассона или показатель адиабаты к=Си/Си и число Маха М=))т/а, которые характеризуют сжимаемость газа н в подобных течениях должны быть одинаковы. При исследовании течений несжимаемой жидкости Ец не является определятощим, так как в качестве характерного давления вместо р можно припять скоростной напор й)1тт)2 и тогда Еп=1/2. Если статическое давление заменить разностью статических давлений Лр в разных точках течения, то критерий Эйлера примет вид Ец=бр/(йУт).
В этом виде критерий Эйлера применяется при исследовании гидравлических соцротнвлений в каналах как определяемый критерий. Критерий Рейнольдса Ке=йГр'1/р,. о„я'а где Я„ — сила лобового сопротивления тела; " " — скоростной 2 напор невозмущенного потока, Па; 5 — характерная площадь тела, для шара, например, 5=пЯа, для крыла — площадь его в плане и т. д. 2. Коэффициент подъемной силы » ртт — 8 2 где тг'='» Рх+тт» — полная аэродинамическая сила.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
