Прикладная гидрогазодинамика Сергель О.С. (1014106), страница 17
Текст из файла (страница 17)
41) (4. 42) 2) течение баротропно, т. е. О о(р). В зтом случае существует функция Р(х, у, з), частные производные которой др 1 др дР 1 др дР 1 др —, — = — — и отс!ода дх а дх ду а ду дх я дх — ! — Р Ых+ — Р йу-1- Р йй=гУР= Р; (4.43) ч 1дх ду дх / ч 3) течение потенциально: ы„=а„=уз, О. Это значит, что определитель для всей области течения равен нулю и существует потенциал скорости ф(х, у, г, 1), т. е. дф/!(х=и:дф/ду и:дпдз=и!.
Значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования, т. е. — = — 1 — ! н ( — А + — у+ — Ых) = т ! — ). (4. 44) дм д гдтт гди до до т 'де~ д! дГ ~ д! (, д! д! д! ) ~ д1 ) Подставляя (4.42) ... (4.44) в (4.40), получим уравнение, состоящее только из полных дифференциалов Хда+ — Р+с! ~ — )+д ~ — )=О. (4. 45) Интеграл уравнения (445) называется интегралом Кош и — Л а г р а и ж а для потенциального баротропного в поле сил 78 Интегралы Коши — Л а гр ан жа и Бернулли. Уравнение (4А1) легко интегрируется, если три члена, заключенные в скобки, являются полными днфференциаламн некоторых функций, а определитель равен нулю, т.
е. когда: 1) массовыми силами являются только силы тяжести, имеющие потенциальную силовую функцию с!(х, р, г, 1), частные производные которой по х, р, з равны проекциям ускорения массовой силы тяжести д(Ддх Х, дУ/др=у н дИдг=Х и, следовательно, Хйх+ +Уор+.Ыг И(!.
Если ось з направлена по радиусу земли, то Х= У=О, а Я= — я н дифференциал силовой функции ЛУ = — Хдз! тяжести течения идеальной сжимаемой жидкости. Интегрируя (4.45), получим ух+ 1 — + — + — = с (/). г нр йгз бр (4. 46) й 2 дт' Произвольная функция времени с® в интеграле Коши — Лагранжа (4,46) постоянна для всей области потенциального течения, является функцией только времени и определяется из начальных условий.
Это значит, что сумма четырех членов левой части (4.46).' постоянна во всей области потенциального течения и может изменяться только во времени. Уравненке (4.46) содержит четыре ненз. вестных: р=р(х, у, х, 2); й=й(х, у, х, г)1 % =МУ(х, у, х, т) и ф«» =ф(х, у, х, /). Для их определения необходимо к (4.46) добавить уравнения: Лапласа (3.45~, определяющее ф, определения скоро.
сти через ф: Чга (дф/дх) + (дф/ду) я+ (дф/дх)' и баротропностн а=а(р). Дифференциальное уравнение Бернуллне для установившегося баротропного в поле сил тяжести течения идеальной сжимаемой жидкости получим из уравнения (4.45) пря дф/д/= 0 уг/х+ д р/й+ г/ (Руз/~2) = О. (4. 47) Интеграл Бернулли, называемый также уравнением Бернулли, является результатом интегрирования (4.47) г гр Нгз ях+ ~ — + — =с. р 2 Для потенциального течения константа уравнения Бернулли (4.48) постоянна для всей области течения. Уравнение Бернулли (4.48) остается справедливым и для вихревого течения жидкости, когда определитель (4.41) равен нулю вследствие пропорциональности его строк: ! ) пер~вой и третьей (дх/и=с/у/о=с/х/ж), 2) второй и третьей (ю /и=юя/о=а«/га), 3) первой н второй (Нх/ю,=г/у/юв — — «/г/ю,).
Первое условие есть дифференциальное уравнение линий тока (3.9); второе — условие параллельности векторов скорости 1р' и угловой скорости ю, т. е. условие совпадений линий тока и вихревых линий, когда частицы движутся вдоль линий тока и врашаются вокруг них (виитовое движение; описано впервые проф. Казанского университета И, С. Громана в 1881 г.
и носит его имя); третье — дифференциальное уравнение вих евых линий (3.36)). таи, константа с в интегралах Бернулли при вихревом течении идеальной жидкости сохраняет постоянное значение только » Даниил Вернуллм (!700 †17 г.), академик Российской Академии наук. В 1783 г. была опубликована его книга «Гидродянамика нли записки о силах и движении зкидкости», в которой было приведено полу«свисс им уравнение, связывающее изменение скорости, давления и высоты расяоловгения движущейся жидкости.
Зто уравнение и называется его именем. С выходом в свет этой книги в науке появился термин «Гидродинамика». для данной вихревой линии, а не для всего пространства, как прч безвнхревом течении. Прн переходе к другим линиям тока и вихревым линиям константа изменяет свое значение. Уравнение Бернулли является одним из основных в гидрогазодинамике, так как определяет изменение основных параметров течения — давления, плотности, скорости и высоты положения жидкости. 4.й. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ Проннтеприруем дифференциальное уравнение Бернулли (4.47) для конечного участка струйки 1 — 2 (рис. 4.)0) и получим й' (аи — а~) + р) е//т/и+(%~~ — Ф ~т)/2 = О, 1 2 Работа проталкивания ~с(/и/® т. е. работа сил давления по пере- е мешению килограмма жидкости из области ! с давлением р~ в об- линии иалнаеа нинина и 'Ф нийелирнан линни и Н Рис.
4.!О. Иллюстрация к ураннеиию Бернулли для идеальной жидкости ласть 2 с давлением ри, для несжимаемой и сжимаемой жидкостей представлена на диаграмме ро (см. рнс. 4.10), Сила давления набегающего потока р181 совершает работу, подавая килограмм жидкости через сечение 1 в контрольный объем (линия 1 — 1). В процессе течения давление изменяешься от р~ до ре (в данном случае уменьшается).
Под действием силы давления ра8~ килограмм жидкости выталкивается из контрольного объема 1 — 2 (линия 2 — 2). Для того, чтобы вычислить ) с/р/О и получить возмож- 1 ность использовать уравнение Бернулли (4.49), необходимо знать (4. 51) (4. 55) 81 зависимость о=о(р), т. е. термодннамнческий процесс, происходя- щий в газе одновременно с течением по каналу 2 — 2. Задача 4Л4. Вычислить китырзл ) Фр/а для основных термодииамическнх 1 процессов и объяснять каким образом в уравнении Бернулли учитывается влия- ние теялообмека между газом н внешней средой иа изменение параметров газа пря течении. Ответ.
1, Ивобарный процесс р=сопз1, 'ПР)й = О, (4. 50) 2. Изотермический процесс Т= сова!, ор/О = — 1я — . Р! Рт Ю Р! 3. Аднлбатный процесс р = й~ сооз1, а †! в- —.',—:,~(-;,) -1-,=',-1(-;,) -1 1 4. Политропиый процесс Р= й" сояз!, ),т-.—,-.,~(-;,)-'- 1- —.,- !(-::)='-1 5. Изохорный процесс о= сооз1, 2 л. !е = (4. 54) е ! Уравнение Бернулли для несжимаемой идеальной жидкости при течении без обмена механической работой с внешней средой полу- 2 чим, подставив значение ) ыр!о из (4.54) в (4.49) н производя эле- ментарные преобразования: йг~ йгз Кл!+ — т — =К-2+ — + — = о!'= — сы Р! ! ! Рз 2 о 2 йг2 ОФ'2 или ад!+ Р2+ — '=ОКгт+Рз+ — '=Рм= рот (4.55) 2 2 нли п2+ — + — =аз+ — + — =О,=Н, Р! 1 Р2 52 (4, 57) аз 25 ФК 25 где с — полная мехаин2еская энергия килограмма жидкости или полный напор, Дяс/кг; ро=сб — полная механическая энергия массы жидкости объемом в кубический истр нли подиосй напор, Дзк(мз иди Па) р'= р+— а))та 2 нлн ре~~ц = р/Оа+ )втт/2й (4.
58) * Потенциальная энергия давдения специфическая форма энергии, присущая только жидкости. Оиа равна произведению плотности жидкости на работу проталкиваивя при ее переводе иа области я~=о в область с давлением р (4.54). Под действием статического давления жидкость поднимается в манометре статического давления (см. рис. 4ДО). При этом внергия давления превращается в потенциальную энергию положения р/рд. Потенцкальная энергия давления мо.
жет превращаться в кинетическую, расходоватьгл на совершение внешней работы нли эатрачнваться на преодоление сопротивлепяй. "" Гндростатический напор в поперечном сечения сохраняет для всех точен постоянное аначение, хотя составляющие его нэменяются (см. рис. 4ДО). $2 Н= — = — — полная механнческая энергия 1/и, кг жидкости рэ ек к нлк поливай напор в метрах столба данной жидкости.
Все трн величины имеют одинаковый фнзнческнй смысл, поэтому е учебной и технической литературе можно встретнться с тем, что любой нз нях атрнсванвается назва~нне полного напора. Составляющне полной механической знергнн жидкости наиболее .наглядно изображаются н нзмеряются в метрах столба жидкости (см. рнс. 4.10): дг«, Оя«, г — потенпнальная энергия положення жидкости, отсчитанная от произвольной выбранной ннвелнрованной плоскости, нлн геометрнческнй напор, Дж/ю-, Па; м; —; р; — — потенциальная энергия давления жндкостп нлн е Ф ЮК пьезометрнческнй напор, Дж/кг; Па;м; К«+ —; йк«+р; «+ — — потенциальная энергия жидкости нлн а' * ак гндростатнческнй напор '", Дж/кг; Па; и; )(тт О)(та вта †: — ; — — кинетическая энергия жндкостн нлн скоростной 2 2 2« (динамнческнй) напор, Дж/кг; Па; м.
Пьезометрнческнй напор р может измеряться от полного вакуума р 0 нли, напрнмер, от дазлення окружающей среды Ве (сэр. рнс. 4.10). В первом случае в обеих частях равенства (4.5б) долМ- но подставляться абсолютное давленне, во втором — избыточное. Таким образом, начало отсчета энергии произвольно, но должно быть одннаковым для обеих частей равенства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
